2022年2013版新北师大八年级数学下1.1等腰三角形知识点及典型习题

1、老师张銮同学姓名上课日期学科数学年级教材版本浙教版本月第（）课时可编辑资料 - - - 欢迎下载类型学问讲解 ：考题讲解 :本人课时统计本年度共（）课时可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载教学案主题教学目标教学重点，难点等腰三角形把握三角形的性质把握三角形的判定三角形的性质三角形的判定课时数量（全程或具体时间）授课时段可编辑资料 - - - 欢迎下载考点分析教学过程三角形的性质中位线 30度的直角三角形性质直角三角形的斜边中线三角形的判定同学探究求知增智活动三角形学问回忆考点一，三角形（ 38 分）1，三角形的概念由不在同始终线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫

2、做三角形.组成三角形的线段叫做三角形的边. 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点.相邻两边所组成的角叫做三角形的内角, 简称三角形的角.2，三角形中的主要线段（ 1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的 角平分线.（ 2）在三角形中,连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线.（ 3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线 （简称三角形的高） .教3，三角形的稳固性师三角形的形状是固定的, 三角形的这个性质叫做三角形的稳固性.需要稳固的东西一般都制引成三角形的形状.导4，三角形的特性与表示启三角形有下面三个特性：发

3、（ 1）三角形有三条线段过（ 2）三条线段不在同始终线上三角形是封闭图形程（ 3）首尾顺次相接三角形的分类三角形按边的关系分类如下：不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载等边三角形三角形按角的关系分类如下：直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形） 斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）1可编辑资料 - - - 欢迎下载把边和角联系在一起, 有一种特殊的三角形： 等腰直角三角形. 它是两条直角边相等的直角三角形.6，三角形的三边关系定理及推论（ 1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边.推论：三角

4、形的两边之差小于第三边.（ 2）三角形三边关系定理及推论的作用：判定三条已知线段能否组成三角形当已知两边时,可确定第三边的范畴.证明线段不等关系.7，三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°.推论：直角三角形的两个锐角互余.三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.注： 在同一个三角形中：等角对等边.等边对等角.大角对大边.大边对大角.8，三角形的面积可编辑资料 - - - 欢迎下载三角形的面积 =1 ×底×高2可编辑资料 - - - 欢迎下载2可编辑资料 - - - 欢迎下载新知

5、：等腰三角形1，等腰三角形的性质（ 1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论 1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边.即等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高重合.推论 2：等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于60°.（ 2）等腰三角形的其他性质：等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角（或直角）,但顶角可为钝角（或直角） .等腰三角形的三边关系：设腰长为a,底边长为 b,就 b <a2等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为A ,底角为 B， C,就 A=180

6、° 2B ,B= C= 180A 22，等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理： 假如一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（简称： 等角对等边） .这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等.推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论 2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.推论 3：在直角三角形中,假如一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.等腰三角形的性质与判定等腰三角形性质等腰三角形判定可编辑资料 - - - 欢迎下载中线1，等腰三角形底边上的中线垂直底边,平分顶角.2，等腰三角形两腰上的中线相等,并且它们的

7、交点与底边两端点距离相等.1，两边上中线相等的三角形是等腰三角形.2，假如一个三角形的一边中线垂直 这条边（平分这个边的对角）, 那么这个三角形是等腰三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载角平1，等腰三角形顶角平分线垂直平分底分线边.2，等腰三角形两底角平分线相等,并且它们的交点到底边两端点的距离相等.1，假如三角形的顶角平分线垂直于 这个角的对边（平分对边） ,那么这个三角形是等腰三角形.2，三角形中两个角的平分线相等, 那么这个三角形是等腰三角形.可编辑资料 - - - 欢迎下载高线1，等腰三角形底边上的高平分顶角，平分底边.2，等腰三角形两腰上的高相等,并且它们的交点和底边两端点距离相等

8、.1，假如一个三角形一边上的高平分 这条边（平分这条边的对角）, 那么这个三角形是等腰三角形.2，有两条高相等的三角形是等腰三角形.可编辑资料 - - - 欢迎下载角等边对等角等角对等边边底的一半 <腰长 <周长的一半两边相等的三角形是等腰三角形4，三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.3可编辑资料 - - - 欢迎下载（ 1）三角形共有三条中位线,并且它们又重新构成一个新的三角形.（ 2）要会区分三角形中线与中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半.三角形中位线定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行.数量关系：可以证明线段的

9、倍分关系.常用结论：任一个三角形都有三条中位线,由此有：结论 1：三条中位线组成一个三角形,其周长为原三角形周长的一半.结论 2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形.结论 3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形.结论 4：三角形一条中线和与它相交的中位线相互平分.结论 5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等等腰三角形学问点一 : 等腰三角形的性质等边对等角等腰三角形的两个底角.例 1：（ 2021 年贵州黔东南州）如图,在ABC中, ABAC,点 D 在 AC上,且 BDooooBC AD,就 A 等于（）A 30B 40C 45D 36同步检测

10、一：1. 在 ABC中, AB AC,如 A 70°,就 B°, C°如 B 40°, 就 A°2. ）已知等腰三角形的一个内角为50°,就这个等腰三角形的顶角为（） 50° 80° 50°或 80° 40°或 65°学问点二：等腰三角形的性质三线合一等腰三角形的，相互重合.例 2： 如图,在 ABC中, AD AE, BD CE,求证： AB ACABDFEC同步检测二：1. 在 ABC中,AB AC,D为 BC的中点, B 70°,BC 10 ,就 BD, BA

11、D°4可编辑资料 - - - 欢迎下载学问点三：等腰三角形的判定等角对等边A在 ABC中,假如 A B,就有例 3： 如图,已知BD 是 ABC的角平分线, DE BC交 AB 于 E,求证：EDBED是等腰三角形BC1. 在 ABC中 A 50°, B80°, BC 10 ,就 AB学问点四：等边三角形的性质与判定等边三角形的三条边都相等,三个角都相等且都等于°都相等的三角形是等边三角形.都相等的三角形是等边三角形.有一个角是的等腰三角形是等边三角形例 4: 如图, C 为线段 AB 上一点, ACD, CBE是等边三角形,AE与 CD交于点 M, B

12、D与 CE交于点 N, AE交 BD于点 O求证：E DOAE BDNM AOB 120°ACB CMN是等边三角形同步检测四：1. 如 ABC是等边三角形, D 为 AC的中点,就 DBC°2. 以下三角形：有两个角等于 60°的三角形.有一个角为60°的等腰三角形.三个外角（每个顶点处各取一个外角）均相等的三角形.一腰上的中线也是这条腰上的高的等A腰三角形.其中可以确定是等边三角形的是.E学问点五：含 30°的直角三角形的性质D在 Rt 中, 30°的角所对的直角边等于斜边的例 5： 如图,有一块形状为等边ABC的空地, DE，

13、EF为地块中的两条BFC5可编辑资料 - - - 欢迎下载路,且 D 为 AB的中点, DE AC, EF AB,现已知 AE 5m,你能求出地块EFC的周长吗？同步检测五：B在 Rt ABC中, CD是斜边 AB 上的高,如 A 30°, BC 2 ,就 BDD, ADCA随堂检测：1. 等边三角形ABC中, D 为 AC的中点,延长 BC到 E,使 CE CD,如 AB 10,就 BE可编辑资料 - - - 欢迎下载ADBC第1题图ADCOEB第2题图AEBFC第6题图可编辑资料 - - - 欢迎下载2. 如图,已知OC平分 AOB,CD OB,如 OD 3 ,就 CD3. 等腰

14、三角形的一个外角为140°,就这个三角形的顶角为°4. 等腰三角形的两边长分别为9 和 4,它的周长为5 ABC 中, A B C 1 2 3, AB 10 ,就 BCA6. 如图, ABC中, AB AC, B 30°, EF垂直平分 AB如 CFE可编辑资料 - - - 欢迎下载8,就 BF7. 如图,在 Rt ABC中,A90o, AB=AC 86 ,点 E 为 AC的BFC图可编辑资料 - - - 欢迎下载中点,点 F在底边 BC上,且 FEBE ,就 CEF 的面积是（）A 16B 18C 66D 7 68. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30o,

15、腰长为 4 cm,就其腰上的高为cm.9. 如图,在梯形 ABCD中, ADBC,AB AD DC,B 60o.(1) 求证： AB AC.AD(2) 如 DC 6, 求梯形 ABCD的面积 .BC第 9 题图6可编辑资料 - - - 欢迎下载10. 已知：如图, AF 平分 BAC, BC AF, 垂足为 E,点 D与点 A 关于点 E 对称, PB分别与线段 CF, AF 相交于 P,M(1) 求证： AB=CD.(2) 如 BAC=2 MPC,请你判定 F 与 MCD的数量关系,并说明理由CPAE DMFB同步练习：1. 如图,已知 ABC 是等边三角可编辑资料 - - - 欢迎下载形,

16、 AD BC, CD,如 AD的 周 长为ADBCA第1题图CDB第3题图 AD, 就 ACD 2,就 ABC可编辑资料 - - - 欢迎下载7可编辑资料 - - - 欢迎下载2. 等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（）A顶角B顶角的一半C顶角的两倍D底角的一半3. 如图,在 ABC中 , C 90°, ABC 60°, BD平分 ABC,如 AD 6,就 CD4. 如等腰三角形的一个内角为50°,就其底角为可编辑资料 - - - 欢迎下载5（ 09 青海）方程x29 x180 的两个根是等腰三角形的底和腰,就这个三角形的周长为可编辑资料 - - - 欢迎下载

17、（）A12B12 或 15C 15D不能确定6. 在等腰 ABC中, AB AC,中线 BD将这个三角形的周长分为15 和 12 两个部分,就这个等腰三角形的底边长为（）A 7B11C 7 或 11D 7 或 10A7. 如图,在等边 ABC 中, D，E 分别是 AB，AC 的中点, DE3 ,DE就 ABC 的周长是（）BCA6B 9C 18D 24可编辑资料 - - - 欢迎下载8. 如以下图,ABC 是等边三角形,D 点是 AC 的中点, 延长 BCA可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载到 E ,使 CECD ,（ 1）用尺规作图的方法,过D 点作 DMBE

18、 ,垂足是 M （不写作法,保留作图痕迹） .B（2）求证： BMEM DCE第 8 图可编辑资料 - - - 欢迎下载9. 已知：在 ABC中, AB AC 1 设 ABC的周长为 7, BC y, AB x2 x 3 写出 y 关于x 的函数关系式,并在直角坐标系中画出此函数的图象.A2 如图, D是线段 BC上一点,连接 AD如 B BAD,求证： ABC DBABD8可编辑资料 - - - 欢迎下载随堂检测参考答案：1 15.23.340°或 100°. 417 或 22.5. . 6： 7. 8 .9证明： 1 ADBC,AB=DCB=60° DCB B

19、60°DAC ACB又AD=DC DAC DCA DCA=ACB B+ACB90° ABAC（2）过点 A作 AEBC于 E B 60° BAE30°又 AB=DC6BE=3 ACB30°, ABACBC=2AB=1210. 解： 1 证明： AF平分 BAC, CAD= DAB= BACD与 A 关于 E 对称, E 为 AD中点BC AD, BC为 AD的中垂线, AC=CD在 Rt ACE和 Rt ABE中,（注：证全等也可得到 AC=CD）CAD+ACE= DAB+ABE=90°, CAD=DABACE=ABE, AC=AB

20、（注：证全等也可得到AC=AB）AB=CD2 BAC=2 MPC, 又 BAC=2CAD, MPC= CADAC=CD CAD=CDA MPC= CDA MPF=CDM AC=AB,AE BC,可编辑资料 - - - 欢迎下载CE=BE（ 注：证全等也可得到 CE=BE） AM为 BC的中垂线, CM=BM证全等也可得到 CM=B）MEM BC, EM平分 CMB, 等腰三角形三线合一 （ 注：可编辑资料 - - - 欢迎下载 CME= BME（注：证全等也可得到 CME=BME）BME=PMF, PMF=CME, MCD= F 三角形内角和 注：证三角形相似也可得到 MCD= F同步练习参考

21、答案：1 12.2B.3 3.450°或 65°. 5C.6 .6C.718.8（ 1）作图见答案图,（2） 是等边三角形, 是 的中点, 平分 （三线合一）, ,9可编辑资料 - - - 欢迎下载又 ,又 , ,又 , 9 1 解： y7 2x2 x3画图象略2 证明： ABAC, B C. B BAD, BAD C.又 B B, BAC BDA.可编辑资料 - - - 欢迎下载11. 证 ABD BCESAS. EBC ABC 60° BAP EBC, APE ABE+ BAP ABE+可编辑资料 - - - 欢迎下载运用 30°角所对的直角边等于斜边的一半可得PE 2PF12（ 1） CD=BE理由如下 : ABC和 ADE为等边三角形AB=AC, AE=AD, BAC= EAD=60o BAE = BAC EAC =60o EAC,DAC = DAE EAC =60o EAC,BAE=DAC, ABE ACDCD=BE（2）AMN是等边三角形理由如下：ABE ACD, ABE= ACDM，N 分别是 BE，CD的中点,BM=AB=AC, ABE=ACD, ABM ACNAM=A,N