椭圆的简单几何性质习题

1、学业水平训练1已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于()A.B.C. D.解析：选D.由题意知，2a4b，又b2a2c2，得到4c23a2，e2，e.2已知椭圆x2my21的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m()A. B.C2 D4解析：选A.将椭圆方程化为标准方程为x21，焦点在y轴上，1，0m1.由方程得a，b1.a2b，m.3已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是()A. B.C. D.解析：选A.设|AF1|1，由ABF2是正三角形知，|AF2|2，|F1F2|，椭圆的离心率e.4如

2、图所示，边长为a的正方形组成的网格中，设椭圆C1，C2，C3的离心率分别为e1，e2，e3，则()Ae1e2e3 Be2e3e1Ce1e2e3 De2e3e1解析：选D.由题意，可得e，e，而e，故e2e3e1.5中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点(2,0)的椭圆的方程是()A.y21B.y21或x21Cx24y21Dx24y24或4x2y216解析：选D.若焦点在x轴上，则a2.又e，c.b2a2c21，方程为y21，即x24y24；若焦点在y轴上，则b2.又e，1，a24b216，方程为1，即4x2y216.6椭圆x24y216的短轴长为_解析：由1可知b2，短轴长2b4.答案：

3、47已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率等于_解析：根据题意得2b6，ac9或ac9(舍去)所以a5，c4，故e.答案：8与椭圆9x24y236有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是_解析：椭圆9x24y236可化为1，因此可设待求椭圆为1.又b2，故m20，得1.答案：19已知椭圆C1：1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质解：(1)由椭圆C1：1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(6,0)，离心率e.(

4、2)椭圆C2：1，性质：范围：8x8，10y10；对称性：关于x轴、y轴、原点对称；顶点：长轴端点(0,10)，(0，10)，短轴端点(8,0)，(8,0)；离心率：e.10已知椭圆1(ab0)的离心率e，过点A(0，b)和B(a,0)的直线与原点的距离为，求椭圆的标准方程解：e，.a23b2，即ab.过A(0，b)，B(a,0)的直线为1，把ab代入，即xyb0.又由点到直线的距离公式得，解得：b1，a.所求方程为y21.高考水平训练1若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为()A2 B3C6 D8解析：选C.由题意得F(1,0)，设点P(x0

5、，y0)，则y3(1)(2x02)，·x0(x01)yxx0yxx03(1)(x02)22，当x02时，·取得最大值为6.2在平面直角坐标系中，椭圆1(ab0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半径作圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率e_.解析：如图，切线PA、PB互相垂直，半径OA垂直于PA，所以OAP是等腰直角三角形，故a，解得e.答案：3A为y轴上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，AF1F2为正三角形，且AF1的中点B恰好在椭圆上，求此椭圆的离心率解：如图，连接BF2.AF1F2为正三角形，且B为线段AF1的中点，F2BBF1.又BF2F130°，|F1F2|2c，|BF1|c，|BF2|c.据椭圆定义得|BF1|BF2|2a，即cc2a，1.椭圆的离心率e1.4已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为A(1，0)，B(1,0)，一个顶点为H(2,0)(1)求椭圆E的标准方程；(2)对于x轴上的点P(t,0)，椭圆E上存在点M，使得MPMH，求实数t的取值范围解：(1)由题意可得，c1，a2，b.所求椭圆E的标准方程为1.(2)设M(x0，y0)(x0±2)，则1.(tx0，y0)，