大一上学期高数期末考试试题(五套)详解答案

1、解:=- 1-a=0 = a=1_b =所上.a.b =0x >= x 1 xb = lim 2x- x 1一 ax. lim£ x x 12010级高等数学（上）A解答、填空题：（每题3分，共18分）（请将正确答案填入下表，否则不给分 ）1.已知极限limx :-ax-b=0,则常数a,b的值分别是（空1）。word文档可自由复制编辑I x2 -x2 -x-x1，=lim | = lim= -lim= -1xT x+1； x-x +1+ 1x或：lim (工-ax-b L lim 仅川2 2 b1ox->x+1xx+1,所以 1-a=0,a+b=0 =a=1,b=-1

2、。或：lim -ax -b x x 1=limx2 -1-ax - b=limix -1 -ax - bX >：x - 3x3 - 2x2 - 3x=lim (1 -a)x -(1b) x 1 x)所以 1-a=0,1+b=0 =a=1,b=-1 。x 32 .函数f（x）=2的第一类间断点是（空2）。x -2x2 -3x解：f（x）在x=3,0,-1 处无定义，是间断点。lim =1x R x(x 1)(x -3)12x=3是第一类间断点。x 3-2x2 -3x=oox=-1是第二类间断点。ximlf(x)im0x3-)2x23-3xx=0是第二类间断点。3 .设函数 f (x)可导，

3、g(x) =。1 + f 2(x),则 g'(x)=(空 3)。解：g'(x) =-r= 2f(x)f (x) :fxfx- 21 f2(x)1 f2(x)4 .设函数y= 2x3+ax2+3在x = 1处取得极值，则a =(空4)。解：y = 6x2 2ax在x=1处取极值，则 y x±1 =°，即6+2a=0,解得a = -325 .设ex是函数f(x)的一个原函数，则不定积分 f f (x)dx =(空5)。2解：f(x)dx=exC2求导得f (x) = 2xe2贝U f (x)dx f(x) C =2xex C6.i定积分 xJ1-xJ解： x 1

4、 -x2 dx =1)dx =(空 6)。1x 2x 1 - x 1 - xdx =11dx =2二、选择题：(每题3分，共15分)(请将正确选项填入下表，否则不给分)1.设函数f(x)=A.不连续也不可导.1sin ,x0,x。0,则 f(x)在 x =0处( x = 0B.连续，但不可导C.不连续，但可导D.连续且可导解：呵f(x)二呵 f(x)在x=0处连续。21x sin x=0=f(0)21 nf(0)=limf(x)-f(0)xT x -0x sin- - 0=limx=lim xsin 0x 0 x - 0 x 0 xf(x)在x=0处可导。2.2.设f(x)可导，函数y= f

5、(sin x),则微分dy=()。22A. 2sinxf (sin x)dxb. sin2xf (sin x)C. sin2xf (sin2 x)dxd. f (sin2 x)dx解：dy = df (sin2 x)=f (sin2 x)dsin2 x=f (sin2x)(2sinxdsinx) = 2sinxf (sin2x)(coxdR 2= sin2xf (sin x)dx3 .若函数f(x) =(x1)(x2)(x3),则方程f'(x) = 0的实根个数是()。A. 3B.2C.1D.0解：函数在(-吟+上连续，且可导，又因为f(1)=f(2)=f(3)，由罗尔定理知在(1,2

6、),(2,3)各区间之间至少各有一个根，即 f'(x)=0至少有2个根。但f'(x)是2次多项式，至多有 2个根。所以f'(x)=0有2个根。)°D. ln x c1C =- Cx4 .设函数f(x)=e",则不定积分,On x)* =( x1 .1A. - +cB. Tn x cC. c-lnx 二exx5.A.在下列反常积分中收敛的是ln x , dx0 x一 二 1C.dxe x ln xD.*bee x(ln x)2)°dx:1e x(ln x)1/2dx解：A. 1二lnx , dxx121ln xdlnx ln x J 21&q

7、uot;-:B.2x(lnx)dx 二(lnx)2d lnx 二C.1 1,dxxlnxd lnx ln xD.1/2x(lnx)1dx 二 e (lnx)IL lnx e-Ilnlnx le 二1/2 dln x = 2(lnx)1三、(6 分)求极限 lim(2x+e3x )xx W1解:lim 2x e3x x = lim1 (2x e3x -1)2x e3x1(2x e3x J) .1 x由于limx p3x2x e-1 =2 lim3x e;2 lim3x=5x-° x1所以lim 2x e3x x = lim1 (2x e3x - 1)2x e3x1(2x e3x J)

8、x 5 =e1=2x e3x x,则ln y = - ln 2x e3x . x3x2 3elim ln y = limx_0x )0ln(2x e3x)limx )03x2x e1所以 lim 2x - e3x x x 0lim lny二 ex0四、（6分）设:t .2 ,= Sinu dua.0 确te函数y = y(x)，求d2y,2y = costdx2解：dx = sint2, dy =-2tsint2dt dydtdy _ _dt22tsint2dxdx dt dsint2-2td2ydydx2dt dx-2dx2 sintdt五、计算下列不定积分：（每题5分，共计10分）/21

9、c0s xdx1 cos2x2分222解:1 cos x1 cos x 11 cos x ,dx2dx2dx 1 cos2x 1 2cos x -12 cos x12=-(se c x 1 )dx 1 一= (tan x x) Cword文档可自由复制编辑2.解:xln(xx2 1)dxx2 1xln(xx2 1).dx =x2 1ln(xx2 1)22 d(x 1)2 x2 1=ln(x + /x2 +1)d x2 3 1=x2 1 ln(xx2 1) - x2 1 dxx2 1二.x2 11n(x . x2 1) - dx=x2 1 ln(x，、x2 1) -x C六、(12分)求函数f(

10、x)=xe -x的单调区间、凹凸区间、极值及拐点。解：f (x) =e'(1-x), f (x)=e*(x-2)令 f '(x) = 0,得 x=1 ；1分1分1分1分1分2分1分x(- g,1)1(1,+ °0)f'(x)+0f(x)增t -1极大值e减1分1分1分1分1分1分1分令 f "(x) =0 ,得 x=2;x(-8,2)2(2,+ 如)f"(x)0+f(x)凸-2拐点2e凹函数f(x)单调增区间是(-g,1)；函数f(x)单调减区间是(1,+m)。当x=1时取极大值 f(1)=e -1函数f(x)的图像在(-9,2)是凸白肉;

11、 函数f(x)的图像在(2,+对 是凹白拐点是(2,2e -2)七、计算下列定积分：(每题5分，共计10分)岂 1.2一*1 -cos2xdx JL231=2 2、1 -cos2xdx 0可:=2 °2、1 -(1 -2sin2x)dx =2 2 = 2sinxdx 0-2 2 Cosx 12=2 2 二 12. 2厂0 1 cos xitdx= 02.221 sec x cos xdx .word文档可自由复制编辑212d tan x .0 2 tan x1 二=2 2=2 201arctanji26分1分1分1分1分f (x)f( )_f () g( ) g ()八、(10分)设

12、平面图形由曲线 y = sinx ( 0 < x < )和直线x = 土及y = 0围成。求: 22此平面图形的面积；此平面图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积。nn解： S = 2sinxdx - L cosx 第=1 - 01 -2 V = 2 二 sin2xdx =-：- 一 二 一x 02 2413九、(8分)证明：当x之0时，sin x>x- x 。6一1 3 证明：当 x=0 时，sinx=x-x 。61 3 当 x>0 时，设 f(x) =sinxx+ x , 6则f(x)在0,+刑上连续,在(0,+电内可导， 且 f(0)=0, f (x) =cosx

13、-1 + x2 o 2f'(x)在0,+ 8)上连续，在(0,+ g)内可导，且f'(0) = 0;f "(x) = -sinx +x。f ”(x)在0,+叼上连续，在(0,+叼内可导，且f"(0)=0,f '"(x) = cosx +1之0 ,因为在任意有限的区间内，f “'(x)只有有限个零点，所以在0,+g)上单调递增， 1分当 x>0 时，f ”(x) Af "(0)=0 ,所以 f'(x)在0,+ g)上单调递增，从而 f'(x) Af'(0) = 0,所以 f(x)在0,+ 9)单

14、调递增,f(x)>f(0)=013即 sinx >x -x 。 1 分6、，、，1 3总之，当x*0时，sinx至x x 。 1分6十、(5分)设函数f(x) , g(x)在a,b上存在二阶导数，且g”(x)#0 ,f (a) = f (b) = g(a) = g(b) = 0。证明：存在 : e (a,b)使得 证：令 F(x) =f(x)g (x) f'(x)g(x), 因为f(x), g(x)在a,b上存在二阶导数，所以F(x)在a,b上连续且可导，F(x) =f (x)g(x) f(x)g (x) -f (x)g(x)-f (x)g(x) =f(x)g (x)-f

15、(x)g(x).又因为 f(a)=f(b) =g(a) =g(b)=0 ；故 F(a)=f(a)ga)(a)g(a)=0； F(b) =f(b)g (b) f'(b)g(b) = 0 .所以由罗尔定理知存在亡w(a,b)使得F'代)= 0,即f( )g ( ) -g( )f ( ) =0所以山二山g( ) g ()2010高等数学（上）B解答 一、填空题：(每题3分，共18分)1、极限 lim fsinx -xsin- i!= -2 。x > x x2 sin x = -22x Jfsinx . 21角牛：lim xsin lim sinx - 2 I x x x >

16、; x2、函数f(x) = x0一的间断点为x=3 。x - 33、设函数 y=sinx2,贝U y卜 2cosx2 - 4x2 sinx2。解：y =(cosx2) 2x = 2xcosx22 2 2 2 2y =2cosx2x(-sinx ) 2x = 2cosx -4x sinx4、设函数y =2x3 +ax2 +3在x=1处取得极值，则 a= -3 。解：y，=6x2+2ax, y|x =0即 6+2a=0,解得 a= -3 225、设ex是函数f(x)的一个原函数，则不定积分 f (x)dx =2xexjC。r解：f(x) = ex=ex 2x = 2xex2f (x)dx =f(x

17、) C =2xex C6、定积分 J+|x boscdx =。解：2n(x 十 x bosxdx = 2x cosxdx712sinxdx0一2r i-=2 02 xdsinx =2xsinx*2,=2 - 2 Cosx 12 =二- 22二、选择题：（每题3分，共15分）11、设函数f(x)=xSinx，x>0在(“)上连续，则a=Aln(a x2), x , 0.1B.eC.2解：f(0 ) = lim f (x)=x )0 D.- e .1clim xsin = 0 x单 xlna=0 ,即 a=1 2、设函数f(x) A. f (x2)dxC. 2xf (x2)dx可导,2f (

18、0 一)= lim f(x) = lim ln(a x ) = ln ax )0 x_ 0 -f(x)在 x=0 连续，f(0)=f(01=f(0) y=f(x 2),则微分 dy=B. f(x2)dxD. 2x(f(x2) dx解：dy =df(x2) =f (x2)dx2 =f (x2) 2xdx = 2xf (x2)dx3、设函数 f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)A.4B.3C.2,则方程f'(x)=0的实根个数是_B_OD.1解：函数在(-8,+9)上连续,且可导，又因为 f(0) = f(1) = f(2) = f(3),由罗尔定理知在(0,1),(1,2),(2,

19、3)各区间之间至少各有一个根，即f'(x) =0至少有3个根。但f'(x)是3次多项式，至多有 3个是实根。所以fix) =0有3个实根。4、不定积分xe“dx =A. (x -1)e"CC. (1 -x)e" CB. -(x 1)e" CD. xe/ C解:xe'dx - - xde，= xe，- ie'dx5、-xe" de : xe x在下列反常积分中收敛的是A.C.ln x , dx0 x1dxxln x如 ln x 解：A.dx = xB.C.12 dx = e x(ln x)<1dx 二D.xln x11

20、x(lnx)2dx 二-x-e_B_-bo-beD. eC = -(x 1)e" Cx(lnx)21dx1dxx(ln x)21 |° lnxd ln x = (ln x)2，心 ,一2 J 二 0二 dln x e (lnx)2 d ln x ln x二 dln x1(lnx)2ILln x-ho=1e1 士心上n ln x Je=、（6分）求极限li213sinx x cos- x o(1 cosx) ln(1 x)3sinx x2cos-解：limx P (1 cosx)ln(1 x)lim 1 x 0 (1 cosx)A .23sinx x cosxx=- lim2

21、 x 0-sinx 3 xxcos1 / x 2四、（6分）设函数y=y（x）由参数方程x = tsinu2du0确定，求二阶导数,2 y = costd2ydx2解：dx=sint2, dy =(-sint2) 2t =-2tsint2 dtdtdy2dy出 sint1=-2 =2 =一 dx dx-2tsint2tdt d dy 1d2ydt dx2t21,2 =.2 = c，2. x2dx dx sint 2t sintdt五、计算下列不定积分：、1 cos2 x ,1dx1 cos2x后力 1 cos2 x 斛： dx 二1 cos2x1 ,2二一 (sec x 1 )dx 21 =-

22、(tan x x) C2、 xtan2xdx（每题5分，共计10分）1 cos2 x7-271 2 cos x -1dx2.,2解： Jxtan xdx = Jx(sec x1)dx=xsec2 xdx - xdx1 2二|xd tanx -x2=xtan x - ftan xdx - 1x22.12-=xtan x+ln |cosx |x +C22分4分2分2分2分2分1分2分1分1分1分1分1分1分1分1分1分1分2分1分1分TL解：A = ；1 SinXMSXdX六、(12分)求函数f (x) = xe2的单调区间、函数曲线的凹凸区间、极值及拐点。解：fx)=e2- +xe2-(-1)

23、= (1-x)e2- 1分令 f '(x) = 0 得 x=1 1分x(-|,1)1(1,+)fix)+0-f(x):增极大值e减在x=1处取得极大值f(1)=e ; 1分所以函数在(-匕1上单调增加；在1,+g)上单调减小； 1分f ”(x)=式23+(1 x)e2)(1) = (x 2)e2/ 1分令 f"(x)=0 得 x=2 1分x(-8,2)2(2,+ 8)f"(x)-0+f(x)凸拐点2凹函数图像在(-8,2上是凸的；在2,+ 8)上是凹的； 1分拐点是(2,2)。 1分七、计算下列定积分：(每题5分，共计10分)j ji 1、2 V1 -sin2xdx

24、 = (2 Vl -2sinxcosxdx 1 分00=J； sinx -cosxdx="(sinx-cosx)dx + J 4(cosx-sinx)dx4_JTL= Lcosx-sinx 2r + Sinx+cosx V_JLu4= 72-1 +Q2 -1 )=2(V2 -1)=1：12、2 22 dx = J 222 dx 0 1 sin x 0 cos x 2sin x21=f 2 d tan x 0 1 2 tan x=上 arctan(J2 tanx 总 21 二 二二忑丁高3T八、(10分)求由曲线 y=sinxcosx,y=1,x=0 和x =二所围成的平面图形的面积，

25、并求由此 2图形绕x轴旋转体的体积。二 _ .“当 xt x0 时，f(x)A 是无穷小”是 lim f(x) = A 的(0。 x )x0A.充分条件应B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件2-设函数 f (x) = (xa)2g(x),其中 g'(x)连续，则 f"(a)为(C)。A.不存在 B.0 C. 2g(a) D. - 2g(a) 解：f (x) =2(x -a)g(x) (x -a)2g (x) 二22_ 4_ _Vx = :二 1 一(sinxcosx) dx = - - 2 (sin x-sin x)dxn1冗3 1n 冗2兀兀(8冗-1)=

26、1 =-= 2<224 22；21616九、证明：当x>0时，1 +xln(x十力：1十x2) 41 +x2。证：设f (x)=1+xln(x + 41+x2) d1+x2,则 f(x)在0,+笛)上连续，在(0,+°o)内可导，且 f(0)=0,f (x) = ln(x 1 x2) x2x2J1 +x2 j2x2、1 x2=ln(x - v 1 x2) xJ1 +x2 +xI V1 + x2x1 x2f (a) = gf (x)- f (a)x - alim2(x-a)g(x) (x-a)2g(x) xax - a= 2g(a)=ln(x 1 x2) 0所以f(x)在0

27、 , +笛)上单调递增，当x>0时，f(x)>f(0)=0,即1 xln(x 1 x2)1 x21， ,十、设f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=f(1)=0, f (3) =1。试证：存在#(0,1) 使得f'(=1。11证：设 F(x)=f(x)-x,则 F(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且 F(_)= >0,221 F(1)=f(1)-1=-1<0，由零点存在7E理知存在x0 ( ,1),使得F(x0)=0。又因为F(0)=0 ,2所以F(x)在区间0,x 0上满足罗尔定理条件，由罗尔定理知，存在 生(0,x 0)使得F(=0

28、, 即f '(=1。2011级高等数学(上)A解答、选择题：每题 3分，共15分(注意：请将把答案填在下表中，否则不给分)题号12345答案CCDAA此区间内(D)。A.单调减少，曲线是凹的 C.单调增加，曲线是凹的 4.设f(x)是连续函数,3.若在(a,b)内函数f (x)的一阶导数f'(x)>0,二阶导数f"(x)<0,则函数f (x)在B.单调减少，曲线是凸的D.单调增加，曲线是凸的F(x)是f(x)的原函数，贝U ( A)。A.当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数；B.当f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数；C.当f(x)是周期函数时，F(

29、x)必是周期函数；D.当f(x)是单调函数时，F(x)必是单调函数。解：A.证明，f(x)是奇函数，则 f(x)=_f(x)。x邛(x)= J0 f(t)dt是f(x)的一个原函数。_x邛(_x)=Jo f(t)dt,设 u = t ,贝U dt = du_xxx(-x) = 0 f(t)dt= 0 - f(-u)du = 0 f(u)du = (x)所以中(x)是偶函数。F(x) = (x) CoF(-x) = (-x) Co = (x) Co =F(x)F(x)是偶函数。B.反例，f(x)=cosx ; F(x)=sinx+1C.反例，f(x)=1+cosx ; F(x)=x+sinx2D

30、.反例，f(x)=2x ; F(x)=x5.如函数y=(Ci+Gx)e2x,满足初始条件：y|x=0=0, y,| x=o=1,则C,C2的值为(A)。A.Ci=0, G=1B.Ci=1, C2=0C.Ci=n, C2=0D.Ci=0, C2F解：y =C2e2x2(C1C2x)e2x，一口 Ci = 0Ci = 0代入初始条件得：11解得1=lim ! x - lim sin2x =1x > x x > x 12. x=0是函数y=ex的第 类间断点。C2 + 2C1 = 1C2 = 1二、填空题：每题 2分，共i2分(注意；请将把答案填在下表中，否则不给分)题号i23456答案

31、i一一冗dx充分发散或QOC x y = e1 sin2xi极限 lim! xsin + i=x x x1 sin2x1 sin2x解：lim 1 xsinlim xsin lim解:lim exx 0x二x x x- x xx=(1 sinx)xiln(1 sinx)dx xdsinx1 sin x、x'，上xcosx，'= (1+sinx) ln(1 +sinx)dx +dx i11 +sinx Jx 'xcosx i= (1+sinx) ln(1+sinx)+ dxI1 +sinx JdyK1+ sinn)" ln(1 +sinn)十二 cos二 dx

32、- - dx1 sin 二4.函数f (x)在a,b上连续是f (x)在a,b上可积的充分 条件。2 dx5.积分 r dx , =0(1 -x)2解:广义积分发散。6.微分方程xy' yln y = 0的通解是y = eCx。解：人 yln y xln ln y = ln x lnCCxy =e三、计算下列极限(每题6分，共18分)1(1) lim(1 +2n +3n 限解：由于31 2n 3n13 31而 lim 3 = 3 , lim 3 3n所以由夹逼准则可得lim 12n 3n n 工1)n = 3 olisinx x2解一人 sin x令 y =(一 x1x21 . sin

33、x)，则 ln y = lnlim ln y = lix01 , sinx _2 ln= limx x x ax x,sinx cosx lnF = liminx- x x 2xxcosx -sinx 1 =-lim2 x a2.2x sinx。xsin x3x2cosx - xsin x - cosx3x21sin x、/所以lim( )xx )0 x3分6分2分5分6分因为lim x 0sin x - x1sin x、滔 )xx=limX 0=lim(1cosx -13x2-1|im3x0 x1 sin x _xx2 x所以xim0(1sin x y2 )xx(3)limx_0x 20 c

34、ost dtln(1 x)解:limx 20 cost dt2cosx ，二 1x 0 ln(1 x)32四、(6分)设函数y = y(x)由万程y +3xy + x = 1确定。求y (0)。解：在方程两边求导可得3y2y+ 6xy+ 3x2y' + 1 = 0 整理得6xy 13(x2y2)注意到当x =0时，y = 1。因此，有y(0)=222(02 12)五、(8分)设函数yy( x)由参数方程xrctan71确定。求二阶导数d2yy = ln(1+t)dx2解：计算得dx 1dt2、t 一12(1 t)t因此,进而,dydy _dtdtdxdx dt2(1 t).td2ydx

35、2ddx<dx )dt dx )dtdx21t -2(1 t) t六、计算下列不定积分积分(每题6分，共12分)(1)dx解一：设Jx = t,则有x=t2 , dx = 2tdt。于是，有dx =21nt 2tdt =4 Intdt=4t1nt -4 dt=4 , x In x - 4 x C =2 x In解二：21n xd 一 x11dx=2 x In=2 x 1n1 cos2x-2 . x dx x-4+反 + C。xdx解：注意到xdx1 cos2x1小二一 xtan x 一2x12 dxxd tan x 2cos x21.tan xdx 21 , 1. 一=一 x tan x

36、 十 一 In cosx + C七、(8分)计算定积分积分212x xcosx11 - x2dx。解一：注意到积分区间对称,而函数f(x)=2x211 - x2是偶函数,xcosxg(x)=21 , 1 - x2是奇函数。因此，- 212x xcosx1 71 - x21dx=4 02 x . dx1 一 1 一 x2i=4 odx1 卜面计算积分0 J -xdx。(1)利用几何意义。知JTdx表示四分之一单位圆的面积。因此,22(11 - x )(1 - 1 - x )1=4 0(1 - . 1 - x )dx1 =4-4! ,1 - x dx - 0n(2)作变换，令 x =sint ,则

37、 dx =cost dt,且 x = 0t t=0, x = 1t t =一。因此,21 2"1f 寸 1 - x dx = J 2 cost cost dt = =一。002 242x2 xcosx dx =4 411 -x21 :2 ,Z-X dx = 4-n。解二：同上212x xcosx11 x2dx =4 0dx2 x作变换，令x =sint,则 dx = cost dt, x = 0Tt=0, x = 1t212x xcosx11 - x21x2dx =4 011dx2-x2X=4 2 cost dt0 1 cost2，21 cos t二4 2cost dt0 1 cos

38、t1 n、=4 1 - - 1=4 -n。<2 2Jn=4 02(1 - cost)cost dt八、（6分）求微分方程y'11，一y二2的通斛。x 1 x解：注意到这是一个一阶线性非齐次方程。其中1-P(x)=, Q(x)x+1 2 1 分x利用同解公式可得dx7J7ej1 dxx dx_ln x 二e2 xdx11-12=C + ln(1 +x2) Ip(1-x) °九、(5 分)若 0cx<1, p > 1 o 证明：pxp"(1 - x) < 1 - xp < 证：设f（t）=tp,则f（t）在x,1上连续，在（x,1）内可导，

39、且f'（t）=ptp,，则拉格朗 日中值定理，存在 ； = (x,1),使得f(1)-f(x): f K)(1 -x)即 1 -xp = pt P'(1 x)。由于-(x,1),所以 xp，< -pj < 1 o 进而，有pxpJ(1 - x) p p(1 - x) p(1 - x)故 pxp4(1x) <1xp < p(1x)说明：若学生采用单调性分别证明两个不等式亦可。请阅卷老师酌情处理。Ji十、（10分）曲线y =sin x （0 W x W ）与直线x = , y = 0围成一平面图形，求：（1）此 22平面图形的面积；（2）绕X轴旋转而成旋转体

40、的体积Vx。n r 产解：(1) S = 02 sin xdx = - cosx J02 =1（2）Vx冗3102 3nx)2dx =二 02 sin2xdx )二210分题号12345答案CACBA1 ."当XT选时,2011级高等数学(上)B卷解答、选择题：每题 3分，共15分(注意：请将把答案填在下表中，否则不给分)f (X) A是无穷小”是lim f (X)=人的(C )。X >XqA.充分条件C.充分必要条件B.必要条件D.既非充分又非必要条件2.若f'(Xo)存在，则蚂f (Xo - X) - f (Xo) _A. - f (Xo)B. f (Xo)XC.

41、2f (X。)D. - 2f (Xo)解：lxmof(Xo - X) -f(Xo)f(Xo - X) -f(Xo)一X=4 (Xo)3. 则 A.B.C.D.若f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且XW(a,b)时，(x)<。，又(C )。f (X)在a,b上单增且 f (x)在a,b上单增且 f (x)在a,b上单减且f(b)>0f(b)<0f(b)<0f (x)在a,b上单增，但f(b)的符号无法确定解：因为f'(x)<o,所以f(x)单调减少；又因为a<b,f(b)<f(a)<04.下列反常积分发散的是(B )。A.1 dx

42、 )X1 dx 解：dx o Xf(a)<0,1 dxC.o Xe dX二 dxD： - x2-1 dx 所以dx发散。X22x5.如函数y=(C1+C2x)e ,满足初始条件:A. C 1=0, C2=1B. C1=1, C2=0C. C1 =几 C2=0D. C1=0, G=n解：y=(C1+Gx)e2x,y|x=0=0, yx=0=1,则 C,C2的值为(Ay =C2e2x+(C1+Cx)e代入初始条件得e =o2x 2=(2C 1+Q+2Qx)e2x一G=0,C2=1题号12345答案30Ji002分，共12分(注意：请将把答案填在下表中，否则不给分)O2C1+C2=1 二、填空

43、题：每题3 sin7x1 .极限 lim ! xsin=X二X X解：lim xsinx53 sin7x=limxsin3 limX >:X X一>二sin7x.3 sin=3lim xx1二33.反常积分dx-x2 2x 2dx解：-2x-2dx 2=arctan(x 1) &(x 1)2 14=C JI-二 2,t24.函数F(x) = J0 te dt的极值是lim - sin7x =30 = 3x，二 xx2 .设 f(x) = arctan x ,则 f"(0) =一1解：f (x) =21 x2一 一 2xf (x) =口(1 x2)2f (0)=0v

44、2解：F(x)=xe ,F (x)=e* xe*(-2x)=(1-2x2)e*令 F'(x)=0 得 x=0。F (0)=1>0F(0)=0。所以F(x)在x=0处取得极小值,x2 一 15.函数 f (x) = 0 < x <1的间断点是1三x 2解：f(0 -) = lim f(x) = lim (x2 -1 )= -1 刊o),x=0 处间断 x )0x W -x-1 一f(1 一)= lim f(x) = lim x = 1 f(1 ) = lim f(x) = lim(2 -x) =1f(1 -)=f(1 +尸f(1),在 x=1 处连续、判断题：每题 2分

45、，共10分 注意：请将答案(对、错)填入下表，否则不给分。题号12345答案错错错对错11 . x=0是函数y=ex的第一类间断点。1解：limfx ,是第二类间断点。x02 .若f(x)在小处可导，则f(x)在处必可导。解：反例,f(x)=x 在 x=0 处。3 .设函数f (x)可导，则f'(x0)=0是f (x)在x0点处有极值的充分条件。解：反例,f(x)=x 在 x=0 处。4 .函数f (x)在a,b上连续是f(x)在a,b上可积的充分条件。ln(1 -) xarctan x。二0in1 - Xlim 1 + x =1。x x(x 1)解:1ln(1 ) lim x xar

46、ctanx四、2求极限（每题6分，共12分）tan x - x解：呵tan x -x2tan x lim 2 x )0 3x2=limx 02x2sec x3x23x2 - 3-12 lim +n- n 1 n 2n 111 n八斛：由于-=<+ <1<1 2 分n 、n n 1 n . 2 n 、n n 1lim 1 =1n二二而 lim -n- = 1 , J n . n所以由夹逼准则可知五、求导数(每题6分，共12分)1.设 y = e2xsin+e2,求 y解：y'= 2e2xsinx+ e2xcosx =e2x(2sinx + cosx) y = e2x(4

47、sinx 2cosx) e2x(2cosx。sinx)2x=e (3sinx +4cosx)、几 x = ln(1 +t2)d2y2.设，'，求一2y = t -arctan t dxdx 2t dy斛：注忌至U =2- , = 1dt 1 t dt1t21 t2 一 1t2 因此,进而,dyt2dy _dt _ 1 t2 二. dx dx 2t2dt 1 t22ddy1d ydt dx2 dx2 dx2t1 1 t21 t2一, 2 2t 4t3分6分2分4分6分2dt 1 t2六、求积分（每题6分，共18分）解：令 Jx =t ,则 dx =2tdt 。于dx1 x2tdt1 tJ 1 、-=2 1 -idt =2t -2ln(1 +t) +C1+tJ=26-2ln(1 +TX) +C。- x > 02.设 f(x)=2求of (x-1)dxo1 +x- x <01 +e解：设 x1 = t,则 x = t+1, dx = dt ,且当 x = 0时，t = 1 ;当 x = 2时,0f(x-1)dx=/f(t)dt =11 ex1 1dxdx01 x.xee” 1dx ln(1 x)