圆锥曲线经典题型总结含答案

1、圆锥曲线整理1圆锥曲线的定义：(1)椭圆：|MF1|MF2|2a(2a>|F1F2|)；(2)双曲线：|MF1|MF2|2a(2a<|F1F2|)；(3)抛物线：|MF|d.圆锥曲线的定义是本部分的一个重点内容，在解题中有广泛的应用，在理解时要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段FF，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|FF|，定义中的“绝对值”与|FF|不可忽视。若|FF|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若|FF|，则轨迹不存在。若去掉定义中

2、的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在轴上时（）,焦点在轴上时1（）。（2）双曲线：焦点在轴上： =1，焦点在轴上：1（）。（3）抛物线：开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。注意：1.圆锥曲线中求基本量，必须把圆锥曲线的方程化为标准方程。2.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。在椭圆中，最大，在双

3、曲线中，最大，。3与双曲线1有相同渐近线的双曲线方程也可设为(0)，渐近线方程为y±x的双曲线方程也可设为(0)要求双曲线(0)的渐近线，只需令0即可4直线与圆锥曲线的位置关系的判断是利用代数方法，即将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，根据方程组解的个数判断直线与圆锥曲线的位置关系解决直线与圆锥曲线问题的通法(1)设方程及点的坐标(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程(3)应用韦达定理及判别式(4)结合已知、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解5若直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且直线P1P2的斜率为k，则弦长|P1P2|x1x2| |y1y2|

4、(k0)|x1x2|，|y1y2|的求法，通常使用根与系数的关系，需要作下列变形：|x1x2|，|y1y2|.6与圆锥曲线的弦的中点有关的问题(1)通法联立方程利用根与系数的关系(2)“点差法”点差法的作用是用弦的中点坐标表示弦所在直线的斜率点差法的步骤：将两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)的坐标代入曲线的方程作差消去常数项后分解因式得到关于x1x2，x1x2，y1y2，y1y2的关系式应用斜率公式及中点坐标公式求解特别提醒：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！6求曲线方程的基本方法有：(1)直译法：建系、设动点、列式、化简、证明(可以

5、省略)，此法适用于较简单的问题；(2)定义法：如果能够确定动点的轨迹满足已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出轨迹方程；(3)相关点法(坐标代换法)：若动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x1，y1)，而Q(x1，y1)又在某已知曲线上，则可先写出关于x1，y1的方程，再根据x1，y1与x，y的关系求出P(x，y)的轨迹方程；(4)待定系数法：若已知曲线的形状(如椭圆、双曲线等)，可用待定系数法；(5)点差法：求与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，可以设出两个端点坐标，并将其代入圆锥曲线方程，再作差；(6)交轨法：先根据条件求出两条动曲(直)线的交点，然后消去其中的参数即得轨迹方程.7.常见类型转

6、化： “以弦AB为直径的圆过点0” （提醒：需讨论K是否存在） “点在圆内、圆上、圆外问题”“钝角、直角、锐角问题”“向量的数量积小于、等于、大于0问题”<0；=0; >0 “等角、角平分、角互补问题”斜率关系（或）； 例如： EF平分一、圆锥曲线的定义及标准方程，性质及应用例1. (1)如图，已知圆O的方程为x2+y2=100,点A的坐标为(-6,0),M为圆O上的任意一点,AM的垂直平分线交OM于点P,则点P的轨迹方程（ ） A.+=1B. =1C.+ =1D. - =1解：由于P为AM的垂直平分线上的点，|PA|=|PM|所以|PA|+|PO|=|PM|+|PO|=|OM|=

7、R=10>|OA|=6根据椭圆的定义知:P点轨迹方程为+=1.所以选A (2)设F为抛物线y24x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若0，则|()A9 B6 C4 D3设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，抛物线焦点为F(1,0)，准线方程为x1.由已知得x1x2x33，y1y2y30，而|FA|x1(1)x11，|FB|x2(1)x21，|FC|x3(1)x31，|FA|FB|FC|x11x21x31(x1x2x3)3336.例2.(1)若双曲线1(a>0，b>0)与直线yx无交点，则离心率e的取值范围为()A(1,2) B(1,2 C(1，) D(1，

8、(2)函数y的图象上至少存在不同的三点到(1,0)的距离构成等比数列，则公比的取值范围是_（3）设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）（A） （B） （C） （D）（4）椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）w_w_w.k*s 5*u.c o*m（A） （B） （C） （D） A. B. C. D. (6)一只双曲线O为双曲线的中心，P是双曲线右支上的点，的内切圆的圆心为I,且圆I与x 轴相切与点A,过作直线PI的垂线，垂足为B，若双曲线的离心率e=,则

9、( ) A. B. C. D.解析 (1)因为双曲线的渐近线方程为y±x，要使直线yx与双曲线无交点，则直线yx，应在两渐近线之间，所以有，即ba，所以b23a2，c2a23a2，即c24a2，e24，所以1<e2，选B.(2)函数y可变为1(y0)，(1,0)为椭圆的右焦点，上半椭圆上点到右焦点距离的最大值和最小值分别为3和1.此数列为正项数列；要使等比数列公比最大，只要首项最小，末项最大即可，所以公比最大值为，要使等比数列公比最小，只要首项最大，末项最小即可，所以最小值为.（3）【解析】选D.不妨设双曲线的焦点在轴上，设其方程为：，则一个焦点为一条渐近线斜率为：，直线的斜率

10、为：， 即e2-e-1=0,所以或（舍去）（4）解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点，即F点到P点与A点的距离相等w_w w. k#s5_u.c o*m而|FA| w_w_w.k*s 5*u.c o*m |PF|ac,ac于是ac,ac即acc2b2acc2（5）答案：B(6) 答案：C解析：依题意设内切圆与的切点分别为M,N,A.且。设A的横坐标为x，可得c+x-(c-x)=2a,即x=a,所以；延长则B为中点，O为的中点，又因为三、直线与圆锥曲线的位置关系例3 .过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点若|AF|3，则AOB的面积为()A.

11、B. C. D2变式题 过抛物线y22px焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则OAB为()A锐角三角形 B直角三角形C不确定 D钝角三角形例3答案 C 解析 如图，设A(x0，y0)(y0<0)易知抛物线y24x的焦点为F(1,0)，抛物线的准线方程为x1，故由抛物线的定义得|AF|x0(1)3，解得x02，所以y02，故点A(2，2)则直线AB的斜率为k2，直线AB的方程为y2x2，联立 消去y得2x25x20，由x1x21，得A，B两点横坐标之积为1，所以点B的横坐标为.再由抛物线的定义得，3.又因为点O到直线AB的距离为d，所以SAOB××.变式

12、题 答案 D解析 设点A，B的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则·(x1，y1)·(x2，y2)x1x2y1y2p2p2<0，所以AOB为钝角，故OAB一定为钝角三角形五、圆锥曲线背景下的定点问题例5(2012年·福建卷)如图，椭圆E：1(a>b>0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e.过F1的直线交椭圆于A、B两点，且ABF2的周长为8.(1)求椭圆E的方程；(2)设动直线l：ykxm与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在

13、，说明理由解析(1)因为|AB|AF2|BF2|8，即|AF1|F1B|AF2|BF2|8.又|AF1|AF2|BF1|BF2|2a，所以4a8，a2.又因为e，即，所以c1，所以b.故椭圆E的方程是1.(2)由消去y得(4k23)x28kmx4m2120.因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m0且0，即64k2m24(4k23)(4m212)0，化简得4k2m230. (*)所以P(，)由得Q(4，4km)假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上设M(x1，0)，则对满足(*)式的m，k恒成立因为=(x1，)，=(4x1，4km)，由，得4x1x3

14、0，整理，得(4x14)x4x130.(* *)由于(* *)式对满足(*)式的m，k恒成立，所以解得x11.故存在定点M(1，0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.跟踪练习解析：（1）由题意知，c=1根据椭圆定义得，所以，所以椭圆C的标准方程为（2）假设在x轴上存在定点Q（m,0）,使得恒成立。当直线解得当直线由于当直线与椭圆方程联立得 法二：假设存在，设Q (t,0)则六、圆锥曲线背景下的定值问题例6：(2012·湖南卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x5)2y29外，且对C1上任意一点M，M到直线x2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值(1)求曲线C1的方

15、程；(2)设P(x0，y0)(y0±3)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值解：(1)方法1：设M的坐标为(x，y)，由已知得|x2|3，易知圆C2上的点位于直线x2的右侧，于是x2>0，所以x5.化简得曲线C1的方程为y220x.方法2：由题设知，曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线x5的距离，因此，曲线C1是以(5,0)为焦点，直线x5为准线的抛物线，故其方程为y220x.(2)证明：当点P在直线x4上运动时，P的坐标为(4，y0)，又y0

16、77;3，则过P且与圆C2相切的直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为yy0k(x4)，即kxyy04k0.于是3.整理得72k218y0ky90.设过P所作的两条切线PA，PC的斜率分别为k1，k2，则k1，k2是方程的两个实根，故k1k2.由得k1y220y20(y04k1)0.设四点A，B，C，D的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，则y1，y2是方程的两个实根，所以y1·y2.同理可得 y3·y4.于是由，三式得y1y2y3y46 400.所以，当P在直线x4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6 400.跟踪训练已知双曲线C：

17、x21，过圆O：x2y22上任意一点作圆的切线l，若l交双曲线于A，B两点，证明：AOB的大小为定值证明当切线的斜率不存在时，切线方程为x±.当x时，代入双曲线方程，得y±，即A(，)，B(，)，此时AOB90°.同理当x时，AOB90°.当切线的斜率存在时，设切线方程为ykxb，则，即b22(1k2)由直线方程和双曲线方程消掉y，得(2k2)x22kbx(b22)0，由于直线l与双曲线交于A，B两点，故2k20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，y1y2(kx1b)(kx2b)k2x1x2kb(x1x2)b2，故x1x2y1y

18、2.由于b22(1k2)，故x1x2y1y20，即·0，AOB90°.综上可知，若l交双曲线A，B两点，AOB的大小为定值七、圆锥曲线背景下的最值问题例7 已知圆C的方程为x2y24，过点M(2,4)作圆C的两条切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆T：1(a>b>0)的右顶点和上顶点.(1)求椭圆T的方程;(2)若直线l与椭圆T相交于P，Q两不同点，直线l方程为ykx(k>0)，O为坐标原点，求OPQ面积的最大值.解：(1)由题意：一条切线方程为x2，设另一条切线方程为y4k(x2)，则2，解得k，此时切线方程为yx，切线方程与圆方程联立得：x，y

19、，则直线AB的方程为x2y2.令x0，解得y1，b1；令y0，得x2，a2.故所求椭圆方程为y21.(2)联立整理得(14k2)x28kx80，(8k)232(14k2)>0，即2k21>0.令P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2，x1x2，原点到直线l的距离为d，|PQ|x1x2|，SOPQ|PQ|·d|x1x2|2·2·2·1.当且仅当k时取等号，则OPQ面积的最大值为1.变式：在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x22py(p>0)相交于A，B两点(1)若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求ANB面

20、积的最小值；(2)是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程，若不存在，说明理由(1) 设直线AB的斜率为k，A(x1，y1)B(x2，y2)，由题意知：C(0，p)，N(0，p)，则l的方程为ykxp，与x22py联立消去y得，x22pkx2p20.所以x1x22pk，x1x22p2 2分又因为SANBSANCSBNC，CN2p.所以SANB×2p|x1x2|p2p2.4分所以，当k0时，(SABN)min2p2.6分(2)易得以AC为直径的圆的方程为(x0)(xx1)(yp)·(yy1)0.8分假设满足条件的直线l存在，其方程为ya，代入圆的方程，整理得x2x1x(ap)(ay1)0.设直线l与圆的交点为P(x3，y3)，Q(x4，y4)由弦长公式并结合根与系数的关系，得PQ|x3x4|2.12分由此知，当a时，PQp为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为y.九与圆的综合应用已知直线l1:4x:-3y+6=0和直线l2x=-p/2:.若拋物线C:y2=2px上的点到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2.(I ) 求 抛 物 线C的方程；(II)若以拋 物 线上任意一点M为切点的直线l与直线l2交于点N，试问在x轴上是否存 在定点Q，使Q点在以MN为直径的圆上，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明