线性代数课件：2-2 行列式的性质

1、2.2 行列式的性质行列式的性质行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式. TDD记记nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa D2121nnaaannaaa2112 TDnnaaa2211 TDD 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）, ,行列式变号行列式变号. .说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此行列因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.例如例如,571571 266853.825825 361567567361266853推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则

2、如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零此行列式为零. . 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式. .kk行列式的某一行（列）中所有元行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面素的公因子可以提到行列式符号的外面111213111213212223212223313233313233 aaaaaakakakak aaaaaaaaa 如如在应用此性质时常倒过来用，如在应用此性质时常倒过来用，如211121311121302122232122233132333132331r k(

3、 k)aaaaaaaaakakakakaaaaaa 而矩阵提取公因子是提取矩阵中所有元素而矩阵提取公因子是提取矩阵中所有元素的公因子的公因子11122122kakalala 如如: : 11122122aal kaa 1112111221222122kakaaakkakaaa 注意注意:行列式提取公因子是提取某行行列式提取公因子是提取某行(或某列或某列)的公因子的公因子推论推论1行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零行列式为零证明证明nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaa

4、aaaaaaaaak21212111211 . 0 推论推论2 若行列式中某行（列）的元素全为零，则此行列若行列式中某行（列）的元素全为零，则此行列式等于零式等于零. . 性质性质4 4若行列式的某一列（行）的元素都是两若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和数之和. .nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211 则则D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 122211111122211111例如例如 例例635241654321975654321

5、 654654321321654321 000 性质性质5把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式不变列式不变njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111njnjnjni1nj2j2j2i221n1j1j1i111jiaa)kaa(aaa)kaa(aaa)kaa(akcc k例如例如例1. 设 273342731A，求 detA.解. 232017100731det A196001710073110196 例2 计算29031132434124141

6、D解 29035500341281707 D2935508177)1(22 101132575 例例3 3 计算计算 阶行列式阶行列式nabbbbabbbbabbbbaD 解解12ncccabbbbabbDbbabbbba abbbnababbnabbabnabbbbna1111 i1r ri 2,3, nbbb1a ba (n 1)ba ba b .)() 1(1 nbabna 11(1)11bbbabbanbbabbba 例4 计算nnnnaaaaaaaaaD 111212121解加边法加边法 nnnnnaaaaaaaaaaaaD101010121212121100101010011121

7、 naaa1000010000101211nniiaaaa niia11 证证用数学归纳法用数学归纳法21211xxD 12xx , )(12 jijixx）式成立）式成立时（时（当当12 n例例5证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式 1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD)1(，阶范德蒙德行列式成立阶范德蒙德行列式成立）对于）对于假设（假设（11 n)()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn 就就有有提提出出，因

8、因子子列列展展开开，并并把把每每列列的的公公按按第第)(11xxi )()()(211312jjininnxxxxxxxxD ).(1jjinixx 223223211312111)()( nnnnnnxxxxxxxxxxxx n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式例例6计算计算6427811694143211111D4 1ji4ji)(xx12)34)(23)(24)(12)(13)(14( 例例7.)3(,)2(,)1(,),(,31423131501112532423222141311114131211MMMMAAAAAAAAMjiDDijij 求求和和依次记作依次记作式式元的余子式和代

9、数余子元的余子式和代数余子的的设设3142313150111111)1(14131211 AAAA.4 3141313150101251)2(413111 AAA.125 24232221)3(MMMM 24232221AAAA 3142313111111253 .10 性质性质6 6 行列式第行列式第 行的元素与第行的元素与第 行的对应行的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即元素的代数余子式乘积之和等于零，即i()j ji 行列式第行列式第 列的元素与第列的元素与第 列的对应元素的列的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即代数余子式乘积之和等于零，即i()j ji . ji,AaAaAaj

10、ninjiji 02211(2.10)11220 ()1 2,ijijninja Aa Aa A ji i jn , , , , ,(2.11)即即: :行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零素的代数余子式乘积之和等于零,11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaAaAa 行行第第 j行行第第 i,时时当当ji ).(,02211jiAaAaAajninjiji 同理同理).(, 02211jiAaAaAanjnijiji 相同相同例例8 已知五阶行列式已知五阶行列式D D中第一行元素依次为

11、中第一行元素依次为u,2u+1,3,u,2u+1,3,1,u1,u, ,而第三行元素的余子式分别为而第三行元素的余子式分别为2,5,2,1,-3,2,5,2,1,-3,求求u u0)3()1(11)1(23)1()12(5)1(2)1(5343332313 uuu解：解：0 u性质性质7 7 设设 阶方阵，阶方阵， 为为m m阶方阵，则阶方阵，则,A Bn为为C(1) TAA ; (2) nAA ; (4) ABA B , .BAAB (3) ,AOOA A C DCCD (1)mnA C 设设A A为为3 3阶方阵，阶方阵，B B为为2 2阶方阵，且阶方阵，且2,3AB例例9020AB求求24)1(20020202322 BABABA解：解：注意注意1)1)一般地，一般地， 2) 2) 性质性质(4)(4)要求要求A,BA,B都是方阵才成立，因方阵才有都是