高中物理竞赛讲义

1、力学竞赛辅导漫谈力学竞赛辅导漫谈序序1.物理竞赛辅导的目标物理竞赛辅导的目标2.物理竞赛辅导具体任务物理竞赛辅导具体任务（1）竞赛所需的物理知识；）竞赛所需的物理知识；（3）解决赛题的思路方法；）解决赛题的思路方法；（2）物理问题的思维方法；）物理问题的思维方法；（4）提高选手的赛场情商。）提高选手的赛场情商。 3.竞赛试题与常规考题之间的区别：竞赛试题与常规考题之间的区别： （1）考查的问题原型相同，但是综合性或复杂性更强。）考查的问题原型相同，但是综合性或复杂性更强。 对策：对策：熟悉各种原型问题。熟悉各种原型问题。 （2）在试题的入手上设置障碍，让人难以下手，实际上还是对应于一些）在试题

2、的入手上设置障碍，让人难以下手，实际上还是对应于一些基本的物理原型。基本的物理原型。 对策：对策：识破题目的障眼法，找到原型。识破题目的障眼法，找到原型。 (3) 题目的物理过程较多，有的是同一个物理原型的反复运用，加上各题目的物理过程较多，有的是同一个物理原型的反复运用，加上各种物理情形的讨论，有的是多个不同物理原型的综合。种物理情形的讨论，有的是多个不同物理原型的综合。 对策：对策：养成严谨的思维习惯。对于讨论题不要想当然，问问自己，有几养成严谨的思维习惯。对于讨论题不要想当然，问问自己，有几种可能？都要考虑进去。种可能？都要考虑进去。1、运动学、运动学 参照系。质点运动的位移和路程，速度

3、，加速度。参照系。质点运动的位移和路程，速度，加速度。 相对速度。相对速度。 矢量和标量。矢量的合成和分解。矢量和标量。矢量的合成和分解。 匀速及匀速直线运动及其图象。运动的合成。抛体运动。匀速及匀速直线运动及其图象。运动的合成。抛体运动。圆周运动。圆周运动。 刚体的平动和绕定轴的转动。刚体的平动和绕定轴的转动。力学竞赛内容提要力学竞赛内容提要2、牛顿运动定律、牛顿运动定律 力学中常见的几种力力学中常见的几种力 牛顿第一、二、三运动定律。惯性参照系的概念。牛顿第一、二、三运动定律。惯性参照系的概念。 摩擦力。摩擦力。 弹性力。胡克定律。弹性力。胡克定律。 万有引力定律。均匀球壳对壳内和壳外质点

4、的引力公式万有引力定律。均匀球壳对壳内和壳外质点的引力公式（不要求导出）。开普勒定律。行星和人造卫星的运动。（不要求导出）。开普勒定律。行星和人造卫星的运动。3、物体的平衡、物体的平衡 共点力作用下物体的平衡。力矩。刚体的平衡。重心。共点力作用下物体的平衡。力矩。刚体的平衡。重心。 物体平衡的种类。物体平衡的种类。4、动量、动量 冲量。动量。动量定理。冲量。动量。动量定理。 动量守恒定律。动量守恒定律。 反冲运动及火箭。反冲运动及火箭。5、机械能、机械能 功和功率。动能和动能定理。功和功率。动能和动能定理。 重力势能。引力势能。质点及均匀球壳壳内和壳外的引重力势能。引力势能。质点及均匀球壳壳内

5、和壳外的引力势能公式（不要求导出）。弹簧的弹性势能。力势能公式（不要求导出）。弹簧的弹性势能。 功能原理。机械能守恒定律。功能原理。机械能守恒定律。 碰撞。碰撞。7、振动、振动 简揩振动。振幅。频率和周期。位相。简揩振动。振幅。频率和周期。位相。 振动的图象。振动的图象。 参考圆。振动的速度和加速度。参考圆。振动的速度和加速度。 由动力学方程确定简谐振动的频率。由动力学方程确定简谐振动的频率。 阻尼振动。受迫振动和共振（定性了解）。阻尼振动。受迫振动和共振（定性了解）。8、波和声、波和声 横波和纵波。波长、频率和波速的关系。波的图象。横波和纵波。波长、频率和波速的关系。波的图象。 波的干涉和衍

6、射（定性）。波的干涉和衍射（定性）。 声波。声音的响度、音调和音品。声音的共鸣。乐音声波。声音的响度、音调和音品。声音的共鸣。乐音和噪声。和噪声。6、流体静力学、流体静力学 静止流体中的压强。静止流体中的压强。 浮力。浮力。话题话题1 1 刚体质心的确定：刚体质心的确定： （1）定义法（坐标法）定义法（坐标法）Cm=mixC=mixi/mCC的位置定义在坐标的位置定义在坐标(x,y,z)yC=miyi/mCzC=mixi/mCir 将质点组各质点参量记为将质点组各质点参量记为mi、 ，质，质点组的质心记为点组的质心记为C，则，则 例例1 如图所示，一根竖直悬挂着的无限长细线上等距离如图所示，一

7、根竖直悬挂着的无限长细线上等距离地固定着地固定着n个质量不等的质点小球，相邻两个小球之间的个质量不等的质点小球，相邻两个小球之间的距离为距离为a。已知最上端小球与悬点之间距离也为。已知最上端小球与悬点之间距离也为a，它的质，它的质量为量为m，其余各球的质量依次为，其余各球的质量依次为2m、3m、，一直到，一直到nm。求整个体系的质心位置到天花板的距离。求整个体系的质心位置到天花板的距离。(2n+1)a/3 （2 2）力矩法）力矩法ORR/2例例2 如图所示，一个质量均如图所示，一个质量均匀、半径为匀、半径为R、质量密度为、质量密度为的薄板。现沿着一条半径挖去的薄板。现沿着一条半径挖去其中半径为

8、其中半径为R/2的圆形薄板，的圆形薄板，求剩余薄板的质心位置。求剩余薄板的质心位置。 质心在原来圆心、挖去薄板圆心所在的直径质心在原来圆心、挖去薄板圆心所在的直径上，在圆心上，在圆心O的另一侧，与的另一侧，与O点距离为点距离为 R/6. 例例3 如图所示，一根细长轻质硬棒上等距离地固定着如图所示，一根细长轻质硬棒上等距离地固定着n个质量不等的质点小球，相邻两个小球之间的距离为个质量不等的质点小球，相邻两个小球之间的距离为a。已。已知最左端小球与左端点之间距离也为知最左端小球与左端点之间距离也为a，它的质量为，它的质量为m，其，其余各球的质量依次为余各球的质量依次为2m、3m、，一直到，一直到n

9、m。求整个。求整个体系的质心位置到左端点的距离。体系的质心位置到左端点的距离。(2n+1)a/3 （3）巴普斯定理）巴普斯定理1.内容：一个平面物体，质量均匀分布，令其上各质点沿垂内容：一个平面物体，质量均匀分布，令其上各质点沿垂直于平面的方向运动，在空间扫过一立体体积，则此体积等直于平面的方向运动，在空间扫过一立体体积，则此体积等于面物体面积乘以物体质心在运动中所经过的路程。于面物体面积乘以物体质心在运动中所经过的路程。2.讨论讨论： （1）若面物体上各质点以相同速度沿着一条与物体平面）若面物体上各质点以相同速度沿着一条与物体平面垂直的直线运动时，在空间扫过的体积是柱体垂直的直线运动时，在空

10、间扫过的体积是柱体。定理显然成。定理显然成立。立。 （2）若面物体上各质点速度不等，质心将沿曲线运动，）若面物体上各质点速度不等，质心将沿曲线运动，平面物体在空间扫出一个不规则体积。定理可证成立。平面物体在空间扫出一个不规则体积。定理可证成立。例例4 一直角三角形板质量分布均匀，两直角边长度分别一直角三角形板质量分布均匀，两直角边长度分别为为a和和b，求质心位置。，求质心位置。a b已知结论：已知结论： 质心将位于三中线交点。质心将位于三中线交点。验证：验证：设质心位置坐标为（设质心位置坐标为（x,y) 令直角三角形绕直角边令直角三角形绕直角边a旋旋转一周，形成圆锥。转一周，形成圆锥。 abx

11、ab212312x=b/3同理可得，同理可得，y=a/3.a bxy思考：思考：半径为半径为R、均匀半圆板的质心位置。、均匀半圆板的质心位置。34Rx 设质心离设质心离a边边x，则，则例例5 确定半径为确定半径为R、质量分布均匀半圆形金属线环的质心位置。、质量分布均匀半圆形金属线环的质心位置。A 0 Bx 解析：以解析：以AB为轴将线环旋转为轴将线环旋转360，得一球面，得得一球面，得RxR 242Rx2即：扫过的曲面面积质心在运动中走过的路程即：扫过的曲面面积质心在运动中走过的路程曲线长度。曲线长度。思考：思考：1/4周长的线环呢？周长的线环呢？Ryx2话题话题2. 静力学问题解题思路。静力

12、学问题解题思路。受力分析；受力分析； 写出静力学平衡方程写出静力学平衡方程 ： x方向上的平衡方程；方向上的平衡方程； y方向上的平衡方程；方向上的平衡方程； 力矩平衡方程。力矩平衡方程。确定研究对象；确定研究对象； 在平衡力的作用下，物体保持匀速直线运动或静止状态，在平衡力的作用下，物体保持匀速直线运动或静止状态，因此一个平衡力系统与物体不受力的情况相同，即合外力和合因此一个平衡力系统与物体不受力的情况相同，即合外力和合外力矩为零。外力矩为零。 F=Fi=0 M=Mi i= =0 对于某个力的力矩大小与支点或转轴（或矩心）有关，因对于某个力的力矩大小与支点或转轴（或矩心）有关，因为力矩与力臂

13、成正比，但力矩的平衡条件与支点或转轴无关。为力矩与力臂成正比，但力矩的平衡条件与支点或转轴无关。Fx=Fix=0Fix=0Fy=Fiy=0Fy=Fiy=0Fz=fiz=0fiz=0 F=Fi=0 Mx=Mix=0My=Miy=0Mz=Miz=0 M=Mi=0 平衡条件的解析式为平衡条件的解析式为例例6 一质量分布均匀的梯子一质量分布均匀的梯子AB，一端放在水平地面上，另一，一端放在水平地面上，另一端搁在竖直墙上，梯子与地面、梯子与墙面的动摩擦因数分端搁在竖直墙上，梯子与地面、梯子与墙面的动摩擦因数分别为别为1、2，求梯子平衡时与地面所成的最小夹角，求梯子平衡时与地面所成的最小夹角。关键：关键：

14、判断临界情况下，判断临界情况下，A、B两端同时达两端同时达到临界，到临界，A端达到端达到B端未达到，或是端未达到，或是B端达端达到而到而A端尚未达到？端尚未达到？结论：结论：梯子与地面成最小夹角梯子与地面成最小夹角而平衡而平衡时，时，A、B端同时达到最大静摩擦力。端同时达到最大静摩擦力。N1N2f1f2mg水平：水平：N2f1竖直：竖直：N1f2mg而而 f11N1 f22N2设梯子长度为设梯子长度为l，以，以B为支点，则为支点，则 mg（l/2)cos+ 1N1lcos=N1lcos12121arctan 例例7 三个完全相同的圆柱体，如图所示，叠放在水平桌面上，三个完全相同的圆柱体，如图所

15、示，叠放在水平桌面上，将将C 柱体放上柱体放上 去之前，去之前，A、B两柱体接触但无挤压。两柱体接触但无挤压。 假设桌面与假设桌面与柱体之间的动摩擦因数为柱体之间的动摩擦因数为0，柱体与柱体之间的动摩擦因数为，柱体与柱体之间的动摩擦因数为，若系统若系统 处于平衡状态，处于平衡状态，0和和必须必须满足什么条件？满足什么条件？ GNGNNffffNA对对C：GfN3A的水平方向，有的水平方向，有2123NffA的竖直方向，有的竖直方向，有2123fNGNA解得解得324,21,23GfGNGNA321,32610可以证明，各接触点的摩擦力大小相等。可以证明，各接触点的摩擦力大小相等。话题话题3.虚

16、功原理虚功原理 1.虚位移虚位移 质点或质点系在给定瞬时约束系统许质点或质点系在给定瞬时约束系统许可的微小位移。可的微小位移。 虚位移可以是线位移，也可以是角位移。虚位移可以是线位移，也可以是角位移。 2.虚功虚功 力在虚位移上所做的元功。力在虚位移上所做的元功。 记为记为rFW 3.虚功原理虚功原理 质点或质点系在平衡状态下，所有质点或质点系在平衡状态下，所有力在任何虚位移上的虚功之和为零。力在任何虚位移上的虚功之和为零。0rFin1i静力学的普遍原理静力学的普遍原理虚位移与实位移虚位移与实位移 例例8 重为重为W的的6根均匀刚性棒光滑绞合成正六变形根均匀刚性棒光滑绞合成正六变形ABCDEF

17、,顶边顶边AB棒水平固定在天花板上，问在底边棒水平固定在天花板上，问在底边DE的中点加一个多大的竖直方向的力的中点加一个多大的竖直方向的力F，可维持正六边形，可维持正六边形的平衡？的平衡？ 解析：六根棒的重心在正六边形的解析：六根棒的重心在正六边形的几何中心。几何中心。 设底边设底边DE在外力在外力F作用下缓慢地上作用下缓慢地上升很小的位移升很小的位移x，则其重心升高，则其重心升高x/2。 由虚功原理由虚功原理 有有 F x=6W x/2 故故 F3W 例例9 如图所示，一个半径为如图所示，一个半径为R的四分之一光滑圆柱的四分之一光滑圆柱面固定在水平桌面上，柱面上有一条单位长度质量为面固定在水

18、平桌面上，柱面上有一条单位长度质量为的均匀铁链。铁链因的均匀铁链。铁链因A端受到水平拉力端受到水平拉力F的作用而平的作用而平衡，衡，B刚好与桌面接触，求水平拉力刚好与桌面接触，求水平拉力F的大小。的大小。 设在设在A端施加一个水平力端施加一个水平力F，且有虚位移且有虚位移r。则有。则有0RgrrFgRFFAB话题话题4 非惯性系和惯性力非惯性系和惯性力 牛顿运动定律只在惯性系中成立。相对惯性系做加速平动牛顿运动定律只在惯性系中成立。相对惯性系做加速平动和加速转动的参照系就是非惯性系。和加速转动的参照系就是非惯性系。 如果非惯性系平动加速度为如果非惯性系平动加速度为a，那么只要认为非惯性系中，那

19、么只要认为非惯性系中所有物体都受到一个大小为所有物体都受到一个大小为ma、方向与、方向与a相反的惯性力，牛相反的惯性力，牛顿定律同样适用。顿定律同样适用。 例例10 一个质量为一个质量为M、斜面倾角为、斜面倾角为的劈的劈A放在水平地面上，放在水平地面上，斜面上放上一块质量为斜面上放上一块质量为m的滑块的滑块B。现将系统由静止释放，求释。现将系统由静止释放，求释放后劈放后劈A对物块对物块B的压力、劈的压力、劈A相对地面的加速度各是多少？相对地面的加速度各是多少？（不计一切摩擦）（不计一切摩擦） A B NmgaANsin=MaA, (1)N对对A,2sincossinmMmgaA2sincosm

20、MMmgN解之得解之得aBxaByNsin=maBx, (2)mgNcos=maBy, (3)aBxaByaAaBy = (aBx+aA)tan (4)对对B,A、B加速度关联加速度关联,解析方法解析方法1： 牵连加速度牵连加速度 A B NmgaAF=maANsin=MaA, (1)N对对A, 以以A为参照系为参照系,对对B物引入惯性力物引入惯性力F=maA，在以在以A的坐标系中，物块的坐标系中，物块B沿斜面加速下滑，沿斜面加速下滑，垂直斜面方向加速度为零。（在地面参考垂直斜面方向加速度为零。（在地面参考系中并非如此。）系中并非如此。）NFsin=mgcos, (2)F=maA, (3) 2

21、sincossinmMmgaA2sincosmMMmgN解之得解之得解析方法解析方法2： 引入惯性力引入惯性力sincos212aaaaayx 假设假设m相对相对M的加速度为的加速度为a2，方向沿斜面向下。，方向沿斜面向下。 sincos)cos(sin212maNmgaamN0cossin1NMgNMaN地2221sinsin)(sincossinmMgMmamMmga解析方法解析方法3：Mma1a2MgN地NM：mgNm：axay加速度还原法加速度还原法话题话题5 多物追及和相遇问题多物追及和相遇问题 【源题源题】(全俄中学生物理奥林匹克竞赛题全俄中学生物理奥林匹克竞赛题)两两两两相距均为

22、相距均为l的三个质点的三个质点A、B、C，同时分别以相同的，同时分别以相同的匀速率匀速率v运动，运动过程中运动，运动过程中A的运动速度方向始终指的运动速度方向始终指着当时着当时B所在的位置所在的位置、B始终指着当时始终指着当时C所在的位置、所在的位置、C始终指着当时始终指着当时A所在的位置。试问经过多少时间所在的位置。试问经过多少时间三个质点相遇？三个质点相遇？BC2AClA1A2B1B2C1l2l1 解析：根据题意，三质点均做等速率曲线运动，而且任意时刻解析：根据题意，三质点均做等速率曲线运动，而且任意时刻三个质点的位置分别在正三角形的三个顶点上，但是这个正三角三个质点的位置分别在正三角形的

23、三个顶点上，但是这个正三角形的边长不断缩小，如图所示。现把从开始到追上的时间形的边长不断缩小，如图所示。现把从开始到追上的时间t分成分成n个微小时间间隔个微小时间间隔t（t0），在每个微小时间间隔内，质点的），在每个微小时间间隔内，质点的运动可以近似为直线运动。于是，第一个末三者的位置运动可以近似为直线运动。于是，第一个末三者的位置A1、B1、C1如图所示。这样可依次作出以后每经如图所示。这样可依次作出以后每经t，以三个质点为顶点组，以三个质点为顶点组成的正三角形成的正三角形A2B2C2、A3B3C3、设每个正三角形的边长依次设每个正三角形的边长依次为为l1、l2、l3ln。显然，当。显然，当

24、ln0时，三个质点相遇。时，三个质点相遇。解法一：解法一：由前面分析，结合小量近似有：由前面分析，结合小量近似有：.2360cos0111tvlBBAAll.2322312tvltvll.2332323tvltvll .23tvnlln.23nlltvn 以上各式中，以上各式中，t0，n，并有，并有nt =t，ln0（三人相遇）。（三人相遇）。 所以，三个质点一起运动到目标于原正三角形所以，三个质点一起运动到目标于原正三角形ABC的中心，的中心，所需的时间为所需的时间为 .32vltntBC2AClA1A2B1B2C1l2l1解法二：解法二：设设t时刻三角形边长为时刻三角形边长为x，经极短时间

25、，经极短时间t后边长变为后边长变为x。根据图中的几何关系，应用三角形的余弦定理可得。根据图中的几何关系，应用三角形的余弦定理可得.3360cos)(2)()(222022/2tvtxvxtvxtvtvxtvx在在t0时，可略去二阶小量时，可略去二阶小量t 2项，因此项，因此 txvxx32/2)231 (3132/xtvxtxvxtxvxx.23/tvxx这表明等边三角形边长的收缩率为这表明等边三角形边长的收缩率为3v/2。从初始边长从初始边长l缩短到缩短到0需时间为需时间为 vlvlt3223BC2AClA1A2B1B2C1l2l1解法三：解法三：因为每一时刻三个质点总在正三角形的顶点上，且

26、因为每一时刻三个质点总在正三角形的顶点上，且运动过程中运动过程中A的运动速度方向始终指着当时的运动速度方向始终指着当时B所在的位置，所所在的位置，所以此时质点以此时质点A速度方向与速度方向与AO连线的夹角恒为连线的夹角恒为30（O为中心为中心点），即点），即A的运动速度沿的运动速度沿AO方向的分量方向的分量vcos30。质点。质点B、C也是如此。在下一时刻，因为三质点队形如初，质点运动方也是如此。在下一时刻，因为三质点队形如初，质点运动方向条件如初，所以质点向条件如初，所以质点A、B、C 的运动速度在质点与中心的运动速度在质点与中心O连线方向的分量仍为连线方向的分量仍为vcos30，且为定值。

27、最终三质点相遇在，且为定值。最终三质点相遇在O点，所以每个质点在质点与中心点，所以每个质点在质点与中心O的连线方向上运动了的连线方向上运动了2lsin60/3。.3230cos60sin32vlvltBC2AClA1A2B1B2C1l2l1 O所以根据分运动与和运动的等时性，相遇时间所以根据分运动与和运动的等时性，相遇时间 解法四：解法四：以以B为参照系，在两者连线方向上为参照系，在两者连线方向上A对对B的相对速的相对速率恒为率恒为v+vcos60。最终追及，相对运动距离为。最终追及，相对运动距离为l，所用时，所用时间为间为 vlvlt3223演变演变1：如四个质点从正方形顶点出发，已知正方形

28、边长为如四个质点从正方形顶点出发，已知正方形边长为l，结果如何？结果如何？ BC2AClA1A2B1B2C1l2l1（答案：（答案：t=l/v）演变演变2：有五个花样滑冰运动员表演一种节目，表演有五个花样滑冰运动员表演一种节目，表演的动作规定为：开始时五人分别从正五边形的动作规定为：开始时五人分别从正五边形ABCDE的五个顶点出发，以相同速率的五个顶点出发，以相同速率v运动，如图所示。运运动，如图所示。运动中动中A始终朝着始终朝着C，C始终朝着始终朝着E，E始终朝着始终朝着B，B始始终朝着终朝着D，D始终朝着始终朝着A，问经过多长时间五人相聚？，问经过多长时间五人相聚？（已知圆半径为（已知圆半

29、径为R） ABCDE（答案：（答案：t=1.05R/v） 话题话题6 曲率半径问题曲率半径问题 在向心加速度公式在向心加速度公式an=v2/中中为曲线上该点的曲率半径。圆为曲线上该点的曲率半径。圆上某点的曲率半径与圆半径相等，在中学物理中研究圆周运动上某点的曲率半径与圆半径相等，在中学物理中研究圆周运动问题时利用了这一特性顺利地解决了动力学问题。我们应该注问题时利用了这一特性顺利地解决了动力学问题。我们应该注意到，这也造成了中学生对意到，这也造成了中学生对意义的模糊，从而给其它运动的研意义的模糊，从而给其它运动的研究，如椭圆运动、抛体运动、旋轮线运动中的动力学问题设置究，如椭圆运动、抛体运动、

30、旋轮线运动中的动力学问题设置了障碍。本文拟就曲线上某点曲率半径及确定方法作一些探讨。了障碍。本文拟就曲线上某点曲率半径及确定方法作一些探讨。 曲率半径是微积分概念，中学数学和中学物理都没有介绍。曲率半径是微积分概念，中学数学和中学物理都没有介绍。曲率曲率K是用来描述曲线弯曲程度的概念。曲率越大，圆弯曲得是用来描述曲线弯曲程度的概念。曲率越大，圆弯曲得越厉害，曲率半径越厉害，曲率半径越小，且越小，且 =1/K。这就是说，曲线上一点。这就是说，曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数。处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数。 3曲线上某点曲率半径的确定方法曲线上某点曲率半径的确定方法（

31、1） 从向心加速度从向心加速度an的定义式的定义式an=v2/出发。出发。 将加速度沿着切向和法向进行分解，找到切向速度将加速度沿着切向和法向进行分解，找到切向速度v和和法向加速度法向加速度an，再利用，再利用an=v2/求出该点的曲率半径求出该点的曲率半径。 例例1 将将1kg的小球从的小球从A点以点以10m/s的初速度水平抛出，设的初速度水平抛出，设重力加速度重力加速度g10m/s2，求：（，求：（1）在抛出点的曲率半径；）在抛出点的曲率半径； （2）抛出后）抛出后1s时的曲率半径时的曲率半径。解析解析:（1）初时在）初时在A点向心加速度点向心加速度ang10m/s2，方向竖，方向竖直向下

32、，所以小球在曲线上直向下，所以小球在曲线上A点的曲率半径点的曲率半径A=10m. (2) 如图，抛出后如图，抛出后1s时到达时到达B点，切点，切向速度向速度v=10 m/s，45。 2 向心加速度向心加速度an=gcos45=5 m/s2。 2小球在小球在B点的曲率半径点的曲率半径B=20 m.2(2) 已知曲线已知曲线y=f (x)，由，由 可得某点曲率半径。可得某点曲率半径。yy 232)1 ( 证明：对于任意曲线证明：对于任意曲线y=f (x)，均可理解为，均可理解为x方向的匀速直方向的匀速直线运动及线运动及y方向的变速运动的叠加。方向的变速运动的叠加。0vvx0vydtdxdxdydt

33、dyvy 0 xa20222222vydtdxdxyddtyday 如图，速度如图，速度v沿切向，沿切向， oyxvyvvv21222)1 (2122)1 (tan1cosyaaaayyynyyyvyyvavn 232212202202)1 ()1 ()1 ( 例例2 筑路工人把从山上挖出来的土石，盛在一个箩筐里，沿一筑路工人把从山上挖出来的土石，盛在一个箩筐里，沿一条钢索道滑到山下。如索道形状为条钢索道滑到山下。如索道形状为x2=4ay的抛物线，且箩筐及它的抛物线，且箩筐及它所盛的土石可以看作质量所盛的土石可以看作质量m的质点。求箩筐自的质点。求箩筐自x=2a处自由滑至抛处自由滑至抛物线顶点

34、时箩筐对钢索的压力大小。物线顶点时箩筐对钢索的压力大小。解析：如图所示，建立坐标系，钢索呈顶点为坐标原点解析：如图所示，建立坐标系，钢索呈顶点为坐标原点O、开口、开口向上的抛物线。箩筐自向上的抛物线。箩筐自x=2a处自由滑至抛物线顶点时速度大处自由滑至抛物线顶点时速度大小小 ，方向沿，方向沿-x方向。方向。gav2抛物线抛物线x2=4ay上任意点的曲率半径上任意点的曲率半径aaxyyavn21)2(1 ()1 (2322322 在原点在原点O，x=0，所以，所以2a。 而此时而此时 ，所以，所以F=2mg。2vmmgF(3) 构造运动法构造运动法 构造两个相互垂直的分运动，写出分运动表达式。构

35、造两个相互垂直的分运动，写出分运动表达式。 如图所示为椭圆如图所示为椭圆 ，求椭圆上，求椭圆上A、B两点处的两点处的曲率半径。曲率半径。12222byax 解析：椭圆解析：椭圆 ，我们可，我们可以看成是两个函数的合成。以看成是两个函数的合成。 12222byaxx=acost ,y=bsint则则vx= -asint , vy=bcostax= -2acost ,ay=-2bsint在在A（a，0）处，）处，vy =b，ax=2a,abavn22同理可求得同理可求得B处的曲率半径为处的曲率半径为 . ba23233RGMmrrmMGFRrMVMVM 兰色部分：不贡献引力兰色部分：不贡献引力红色

36、部分：贡献引力，恰如位于球心的一个红色部分：贡献引力，恰如位于球心的一个 质点质点M，M是红色部分的总质量是红色部分的总质量话题话题7 质量均匀球壳（体）内的引力质量均匀球壳（体）内的引力MRrm Rr RGMmrRr rGMmF)()(32ORFr对处于球体内部的质点对处于球体内部的质点m而言而言 证明：证明：一质量分布均匀的球壳对球壳内任一质点的万有引力一质量分布均匀的球壳对球壳内任一质点的万有引力为零。为零。Ar1r2s2s1 解析：如图，设想在一均匀球壳内的任一点解析：如图，设想在一均匀球壳内的任一点A处置一质量为处置一质量为m的质点，在球面上取一极小的的质点，在球面上取一极小的面元面

37、元s1，以以r1表示表示s1与与A点的距离。设此均匀点的距离。设此均匀球面每单位面积的质量为球面每单位面积的质量为，则面元，则面元s1的质量的质量m1= s1，它对，它对A点的吸引力为点的吸引力为2112111rSmGrmGmF 又设想将又设想将s1边界上各点与边界上各点与A点的连线延长分别与点的连线延长分别与s1对面的球对面的球壳相交而围成面元壳相交而围成面元s2，设，设A与与s2的距离为的距离为r2，由于，由于s1 和和s2都都很小，可以把它们看作是一个平面图形，显然可以想象到它们是很小，可以把它们看作是一个平面图形，显然可以想象到它们是相似图形，因而面元面积比例关系为相似图形，因而面元面

38、积比例关系为 .222121rrSS面元面元s2对对A处质点的吸引力为处质点的吸引力为2222222rSmGrmGmF由上述三式得由上述三式得F1= F2. 例例 假设地球半径为假设地球半径为R，质量分布均匀，一隧道沿某条直，质量分布均匀，一隧道沿某条直径穿越地球。现在隧道一个端口从静止释放质量为径穿越地球。现在隧道一个端口从静止释放质量为m的小球，的小球，求小球穿越地球所需的时间。小球运动中的阻力不计。求小球穿越地球所需的时间。小球运动中的阻力不计。Orm设质点设质点m位于位于r处，它受到的引力处，它受到的引力rRMmGrMmRrGF3233 可见，当可见，当r0时，即小球位于地球球心时，即

39、小球位于地球球心O处，处，受到的引力为受到的引力为0。O为小球的平衡位置。为小球的平衡位置。 F是小球受到的回复力，是小球受到的回复力，r为小球离开平衡位置为小球离开平衡位置O 的位的位移大小，小球做简谐运动。移大小，小球做简谐运动。Fr周期周期GMRRMmGmKmT33222GMRTt32 (2003年复赛题）年复赛题）有人提出了一种不用火箭发射人造地球卫星有人提出了一种不用火箭发射人造地球卫星的设想。其设想如下：沿地球的一条弦挖一通道，如图所示。在的设想。其设想如下：沿地球的一条弦挖一通道，如图所示。在通道的两个出口处通道的两个出口处A和和B，分别将质量为，分别将质量为M的物体和质量为的物

40、体和质量为m的的待发射卫星同时自由释放，只要待发射卫星同时自由释放，只要M比比m足够大，碰撞后，质量为足够大，碰撞后，质量为m的物体，即待发射的卫星的物体，即待发射的卫星B就会从通道口冲出通道；设待发卫就会从通道口冲出通道；设待发卫星上有一种装置，在待发卫星刚离开出口星上有一种装置，在待发卫星刚离开出口B时，立即把待发卫星时，立即把待发卫星的速度方向变为沿该处地球切线的方向，但不改变速度的大的速度方向变为沿该处地球切线的方向，但不改变速度的大小这样待发卫星便有可能绕地心运动，成为一个人造卫星。若小这样待发卫星便有可能绕地心运动，成为一个人造卫星。若人造卫星正好沿地球表面绕地心做圆周运动，则地心

41、到该通道的人造卫星正好沿地球表面绕地心做圆周运动，则地心到该通道的距离为多少？已知距离为多少？已知M20m，地球半径，地球半径R06400 km。假定地球。假定地球是质量均匀分布的球体，通道是光滑的，两物体间的碰撞是弹性是质量均匀分布的球体，通道是光滑的，两物体间的碰撞是弹性的。的。 解析：解析：自通道出口处将自通道出口处将M和和m待发射卫星同时自由释放，待发射卫星同时自由释放，在通道中两物均会加速运动，碰撞地点发生在何处将是问题在通道中两物均会加速运动，碰撞地点发生在何处将是问题的关键。联想到沿地球直径开凿一条隧道时物体在其中将做的关键。联想到沿地球直径开凿一条隧道时物体在其中将做简谐运动，

42、我们猜想两物也会做简谐运动。所以，我们从论简谐运动，我们猜想两物也会做简谐运动。所以，我们从论证物体的运动是否为简谐运动入手。证物体的运动是否为简谐运动入手。 质量为质量为m的物体所受地球的引力可以改的物体所受地球的引力可以改写为写为 43FG mr 作用于质量为作用于质量为m的物体的引力在通道方向的物体的引力在通道方向的分力的大小为的分力的大小为 f=Fsin，而，而sinx/r，0mgfxR所以所以 可见，可见，f与弹簧的弹力有同样的性质，相应的与弹簧的弹力有同样的性质，相应的“劲度系劲度系数数”k=mg/R0，物体将以，物体将以C为平衡位置作简谐运动，振动周期为平衡位置作简谐运动，振动周

43、期为为 ，式中，式中g为地球表面处的重力加速度。可见为地球表面处的重力加速度。可见M和和m 在通道中将做周期相同的简谐运动，在通道中点在通道中将做周期相同的简谐运动，在通道中点C处发生碰撞。处发生碰撞。02/TRgf)(8001010640023sgRTt2202121kAmv解析：火车在巴黎和伦敦的地下铁道中作简谐运动。解析：火车在巴黎和伦敦的地下铁道中作简谐运动。巴黎到伦敦的时间巴黎到伦敦的时间在铁道中点在铁道中点C处速度最大。处速度最大。 例题：例题：假定巴黎和伦敦之间由一条笔直的地下铁道连接着。在两假定巴黎和伦敦之间由一条笔直的地下铁道连接着。在两城市之间有一列火车飞驶，仅仅由地球的引

44、力作动力。试计算火城市之间有一列火车飞驶，仅仅由地球的引力作动力。试计算火车的最大速度和巴黎到伦敦的时间。设两城市之间的直线距离为车的最大速度和巴黎到伦敦的时间。设两城市之间的直线距离为300km, 地球的半径为地球的半径为6400km，忽略摩擦力。，忽略摩擦力。)/(5 .1871015016002230smATAAmkv弹性正碰弹性正碰（两球的相对速度沿球心联线）（两球的相对速度沿球心联线） m1u1m2u2(u1u2) 动量守恒原理话题话题8 碰撞问题碰撞问题/vmvmvmvm22112211弹性斜碰呢？弹性斜碰呢？22221122221121212121/vmvmvmvmmmaxsin

45、mmaxsin例题：例题：证明初速度为证明初速度为v、质量为、质量为m的球射向质量为的球射向质量为的静止小球，的静止小球，发生弹性碰撞的最大散射角发生弹性碰撞的最大散射角max满足关系式满足关系式 。mmvv0证明：质心系速度为证明：质心系速度为mmvvmvvm,在质心系中两者速度大小在质心系中两者速度大小r mvx mmvv在质心参照系中散射后两者速度大小不变，方向发生变化，在质心参照系中散射后两者速度大小不变，方向发生变化，所以所以m后来的速度为后来的速度为m球方向最大偏转发生在其速度与球方向最大偏转发生在其速度与vm矢径圆相切的位置，矢径圆相切的位置，如果如果m，则最大散射角为，则最大散

46、射角为180。证明：证明：在质心参照系中运动质点在质心参照系中运动质点m1与静止质点与静止质点m2发生弹性散发生弹性散射后，两者速度大小不变，仅是方向发生变化。射后，两者速度大小不变，仅是方向发生变化。m1m2v0碰前碰前m1m2v1v2碰后碰后设质心参考系的运动速度为设质心参考系的运动速度为vv )mmvm2101（0211vmmmv在质心系中，动量关系有在质心系中，动量关系有02211vmvm（柯尼希定理）（柯尼希定理）动能关系有动能关系有22221122120121212121)v(m)v(mv )mm(vm 由此可见，由此可见， v1、v2大小和方向与质量比值有关，两者的方向大小和方向

47、与质量比值有关，两者的方向一定在同一直线上。一定在同一直线上。 当然，对于每个质点来说，对于地面参照系的速度大小和方向当然，对于每个质点来说，对于地面参照系的速度大小和方向与质量比值有关。与质量比值有关。 例题：例题： N个相同的小球在光滑的水平桌面上均匀地排成半圆，它个相同的小球在光滑的水平桌面上均匀地排成半圆，它们的总质量是们的总质量是M。另外一个质量为。另外一个质量为m 的球从左边以速度的球从左边以速度v射向最射向最边上的小球。在适当的初始条件下，边上的小球。在适当的初始条件下，m与所有的与所有的N个小球依次发个小球依次发生弹性碰撞，最后又径直向左离去。生弹性碰撞，最后又径直向左离去。

48、(1)在在N的极限下，发生上述碰撞的极限下，发生上述碰撞M/m要满足什么条件？要满足什么条件？ （2）m离开半圆的速度是多少？离开半圆的速度是多少？本题中，每次偏角为本题中，每次偏角为N/mNMmNmMmsinmax而质量为而质量为m的质点与质量为的质点与质量为的质点之间发生弹的质点之间发生弹性碰撞时发生的最大偏转角性碰撞时发生的最大偏转角（2） 设质心参考系的运动速度为设质心参考系的运动速度为VV)Mmmv（vMmmV 在质心参照系中在质心参照系中m被被散射后速度大小不变，方向与原入射方散射后速度大小不变，方向与原入射方向相反，所以向相反，所以m后来的速度为后来的速度为 在质心参照系中在质心

49、参照系中m的入射的入射速度大小速度大小vMmMvmvmMmMVvMmMvm 有三个质量相等的质点小球，有三个质量相等的质点小球，1与与2中间夹置一个被充分压中间夹置一个被充分压缩了的轻质短弹簧，并用轻质细线缚在一起缩了的轻质短弹簧，并用轻质细线缚在一起(可视为一个小物体可视为一个小物体)，静止地放置在光滑水平面上另一个小球静止地放置在光滑水平面上另一个小球3沿该光滑水平面射向沿该光滑水平面射向它们它们3和和1相碰撞并粘连在一起运动后轻质细线自动崩断，相碰撞并粘连在一起运动后轻质细线自动崩断，使弹簧释放，三个质点小球分成两部分：一部分为小球使弹簧释放，三个质点小球分成两部分：一部分为小球2，另一

50、，另一部分为粘在一起的部分为粘在一起的1、3已知弹簧被充分压缩时的弹性势能是已知弹簧被充分压缩时的弹性势能是Ep.为了使被释放出的小球为了使被释放出的小球2的散射角保持在的散射角保持在30之内，求小球之内，求小球3入射时的动能应满足什么条件入射时的动能应满足什么条件 231v0Epv0/22Ep显然，质心系速度显然，质心系速度v=v0/3. 因弹簧安置的方向不同等原因，小球因弹簧安置的方向不同等原因，小球2将可能以不将可能以不同的速度向不同方向飞出，设同的速度向不同方向飞出，设v2与与v的夹角为的夹角为在细在细线崩断过程中，小球线崩断过程中，小球2和和1、3合成体由于受到弹力的冲合成体由于受到

51、弹力的冲量作用，都将产生相应的动量的增量，从而有相应的量作用，都将产生相应的动量的增量，从而有相应的速度增量速度增量 设设2的速度增量为的速度增量为v2，则在，则在Ep给定的条件给定的条件下，下，v2的大小是一定的，的大小是一定的，v2的大小和方向与的大小和方向与v2的方向有关，即与弹簧安置的方向有关，如图的方向有关，即与弹簧安置的方向有关，如图所示当所示当v2与与v2垂直时，垂直时，角最大，这时角最大，这时v2的方的方向沿圆的切线方向，所以在弹簧各种可能的安向沿圆的切线方向，所以在弹簧各种可能的安置方向中，以图中所示的沿置方向中，以图中所示的沿v2的方向安置时，的方向安置时，粒子粒子2有最大

52、散射角。要求粒子有最大散射角。要求粒子2的散射角保持的散射角保持在在30以内，必须要求以内，必须要求2|sin30 .vvv0/22Ep6202vvv2200311().4624 2pvEmmv所以要求小球所以要求小球3入射时的动能入射时的动能20124.2pmvE223() .4pEmv话题话题9 牵连冲量牵连冲量 例题：例题：三个质点三个质点A、B和和C ，质量分别为，质量分别为m1 、m2和和m3 ，用拉直，用拉直且不可伸长的绳子且不可伸长的绳子AB和和BC相连，静止在水平面上，如图所示，相连，静止在水平面上，如图所示，AB和和BC之间的夹角为（之间的夹角为（）。现对质点）。现对质点C施

53、加以冲量施加以冲量I ，方向，方向沿沿BC ，试求质点，试求质点A开始运动的速度。开始运动的速度。 分析：分析：首先，注意首先，注意“开始运动开始运动”的理解，的理解，它指绳子恰被拉直，有作用力和冲量产生，它指绳子恰被拉直，有作用力和冲量产生，但是绳子的方位尚未发生变化。其二，对但是绳子的方位尚未发生变化。其二，对三个质点均可用动量定理，但是，三个质点均可用动量定理，但是， B质点质点受到的两个冲量不在一条直线上，受到的两个冲量不在一条直线上， 故最为故最为复杂，可采用分方向的形式表达。其三，复杂，可采用分方向的形式表达。其三，由于两段绳子不可伸长，故三质由于两段绳子不可伸长，故三质 点的瞬点

54、的瞬时速度可以寻求到两个约束关系。时速度可以寻求到两个约束关系。 设质点设质点A开始运动时运动速度为开始运动时运动速度为v，AB绳中的冲量为绳中的冲量为I2, BC绳中的冲量为绳中的冲量为I1,对对A球，球，I2m1v对对B球，球，I1cosI2m2v对对B球，球，I1I2cosm2v 设质点设质点C开始运动时运动速度为开始运动时运动速度为v，对对C球，球，II1m3v23132122sinmm)mmm(mcosImv另解：另解： 绳拉直瞬间，绳拉直瞬间，AB绳对绳对A、B两质点的冲量大小相等（方向相两质点的冲量大小相等（方向相反），设为反），设为I1 ，BC绳对绳对B、C两质点的冲量大小相等（方向相两质点的冲量大小相等（方向相反），设为反），设为I2 ；设；设A获得速度获得速度v1（由于（由于A受合冲量只有受合冲量只有I1 ,方向沿方向沿AB ，故，故v1的反向沿的反向沿AB