教你如何填幻方[]

1、3 阶：4 阶：151036451691411271813125 阶：172418152357141646132022101219213111825296 阶：193433322611252414311022161719273018202115729231312268352834536教你如何填幻方幻方最早记载于我国公元前500 年的春秋时期大戴礼中， 这说明我国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律。而在国外，公元130 年，希腊人塞翁才第一次提起幻方。我国不仅拥用幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。公元13 世纪的数学家杨辉已经编制出3 10 阶幻方， 记载在他1275

2、年写的 续古摘厅算法一书中。在欧洲，直到 574 年，德国著名画家丢功才绘制出了完整的4 阶幻方。数学上已经证明，对于n>2 ， n 阶幻方都存在。目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，每类又有各种各样的填写方法。1 、奇数阶幻方n 为奇数 （n=3 ，5，7， 9，11） （n=2 ×k+，1k=1 ，2，3，4，5）奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法（也有人称之为楼梯法）。填写方法是这样：把 1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n× n-1 个数：（1） 每一个数放在前一个数的右上一格；（2） 如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，

3、仍然要放在右一列；（3） 如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；（4） 如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；（5） 如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同（4）。这种写法总是先向“右上 ”的方向，象是在爬楼梯。2、双偶阶幻方n 为偶数，且能被4 整除 （n=4 ， 8， 12， 16， 20） （n=4k ， k=1 ， 2， 3， 4， 5）先说明一个定义。互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即n*n+1 ，称为互补。先看看 4 阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填

4、写：这个方阵的对角线，已经用颜色标出。将对角线上的数字，换成与它互补（同色） 的数字。这里， n× n+1 = 4 ×4+1 = 17 ； 把 1 换成 17-1 = 16 ； 把 6 换成 17-6 = 11 ； 把 11 换成 17-11 = 6 换完后就是一个四阶幻方。也可以保留对角线上的数字不动，而将其它的数换为与它互补的数。对于n=4k 阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按4*4 把它划分成k2个方阵。因为 n 是 4 的倍数，一定能用4*4 的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，象制作4 阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。163

5、624559588561011535214154948181945442223412539382829353432333130363727264024424321204647171650511312545595776606132643、单偶阶幻方n 为偶数，且不能被4 整除 （n=6 ， 10， 14， 18， 22） （n=4k+2 ， k=1 ， 2， 3， 4， 5）这是三种里面最复杂的幻方。以 n=10 为例。这时，k=2（1） 把方阵分为A， B， C， D 四个象限，这样每一个象限肯定是奇数阶。用楼梯法，依次在 A 象限， D 象限， B 象限， C 象限按奇数阶幻方的填法填数。（

6、2） 在 A 象限的中间行、中间格开始，按自左向右的方向，标出k 格。 A 象限的其它行则标出最左边的k 格。将这些格，和C 象限相对位置上的数，互换位置。（3） 在 B 象限任一行的中间格，自右向左，标出k-1 列。（注：6 阶幻方由于k-1=0 ，所以不用再作B 、 D 象限的数据交换），将 B 象限标出的这些数，和D 象限相对位置上的数进行交换，就形成幻方。看起来很麻烦，其实掌握了方法就很简单了。以下是 6 阶幻方填写的两个步骤：81626192435721232549222272035283317101530323412141631362913181135162619243327212

7、3253192222720828331710153053412141643629131811幻方问题教案执教：杜羲传说公元前二千多年，在洛水里浮起一只大乌龟，它的背上有个奇特的图案，（如图 1 ） ，后来人们把它称之为洛书，实际上它是由九个数字排成一定的格式（如图2） ，图中有一个非常有趣的性质：它的横、竖、对角线上的每三个数字之和都是15。许多人产生了这样的问题，图中的九个数字，有没有别的填法？如果把图形变成4×4个方格，是否也可以进行这样的填数游戏？1、 奇偶性规律：偶数是能被2 整除的整数，如 0、 2、 6、 8 等， 奇数是指被2 除余 1 的整数。奇偶数的加法具有下列性质

8、：奇数+奇数=偶数奇数+偶数=奇数偶数+偶数+偶数2、数的整除规律：a 整除b，且a 整除 c，则 a 整除b+c，或a 整除 b-c 。3、商和余数：整数a 除以整数b 时，商数是q，余数是r，必有等式a=b× q+r， 0 r<b，当 r=0 时，就说b 整除a，记为b|a 。如： 30 被 7 除余2，满足关系式30=7× 4+2，又因为2<4，也可以说4 除 30 余 2。4、自然数分类：如果两个整数分别被a 除，所得余数相同，那么我们说这两个整数对于a是同余的。如偶数对于2 是同余的（余数都为零）， 所有奇数对于2 也是同余的，（余数都是1）。由同余，

9、可以对整数进行分类，如整数可按3 分成：被3 除余0，被3 除余 1 ，被 3 除余 2这三类，也可按4 分类，分成被4 除余 0，被 4 除余 1，被 4 除余 2，被 4 除余 3 这四类。5、自然数分拆：将一个自然数写成两个自然数的和，叫做自然数的二分拆，其中一个和的形式称为该自然数的一个分拆。如 9 写成 2+7， 4+5， 1+8 等就是对9 的分拆， 而 2+7（或4+5，1+8） 就是它的一个分拆。一个分拆的被加数和加数调换位置后得到的分拆视为同一个分拆，如 2+7 和 7+2 视为 9 的同一分拆。例 1：将 1-9 这九个数，填入图3 的方格内，使每行、每列、及两条对角线上三

10、个数字的和都相等。分析与解：假设图形中填入的数如图4 所示，并设各边和对角线的三数之和为k，则解法的关键是找出中心数及各顶点的数。我们分三步来完成：1 )求每行、每列三个数的和，即2)确定中心数，即3)试填各顶点数及其它方格内数。k 值。b2=？a 1+b1+c1+a2+b2+c2+a3+b3+c3=3k又a1+b1+c1+a2+b2+c2 +a3+b3+c3=1+2+ +9=45 3k=45 k=15a 1+b2+c3=a2+b2+c2=a3+b2+c1=b1+b2+b3=15 (a 1+b2+c3)+(a 2+b2+c2)+(a 3+b2+c1)+(b 1+b2+b3)=4 ×

11、15(a 1+a2+a3+b1+b2+b3+c1+c2+c3)+3b 2=6045+3b2=60 3b 2=15 b 2=5试填a1，若a1为奇，a1+c3=10，故C3为奇，a2和 a3也应同奇或同偶，若a2、 a3同奇，则为奇，b3为奇，这样就出现了六个奇数，与1-9 的自然数中只有5 个奇数矛盾；若a2和同偶，则c2为偶，b3为偶，c1 也为偶，这样共出现了五个偶数，与1-9 的自然数中只有个偶数矛盾，故a1 不能为奇数，则a1 应填偶数，此时c1、 a3、 c3 也只能取偶数，由于c2a34a1+c3=C1+a3=10，又2+8=4+6=10，故只需取a1=2， C3=8， a3=4，

12、 c1=6即可，其它各方格中的数须填a2=9， b2=3。 C2=1， b1=7。如图5 所示，这样就得到本题的一个解，若取a1=4， c3=6，b3=7， b1=3， c2=1，根据对称轮换，答案是唯一的。说明：此题是引例中的问题，将角线的和相等，这叫做三阶幻方，一般地，在1-9 九个数，填入列3×3个方格内，使每行每列、每条对n×n个方格内，填上n×n个连续自然数，并且每行、每列、每条对角线上n 个自然数的和都相等，则称它为n 阶幻方。解决幻方问题的关键是确定中心数和顶点数。例2：把1 到 6 这六个数分别填在图7-a 中三角形三条边上的六个圆圈内，使每条边上

13、三个圆圈内的数的和都相等。a、 b、 c，其余三个圆圈内的数分别是分析与解：设填入顶点圆圈内的数分别为d、 e、 f 。每条边上三个圆圈内数的和为k，如图7-a 。 a+d+b=k,b+e+c=k,a+f+c=k (a+d+b)+(b+e+c)+(a+b+c)=3k又a+b+c+d+e+f=1+2+ +6=21 (a+b+c+d+e+f)+(a+b+c)=3k21+(a+b+c)=3ka+b+c 最小时，k 值也最小，a+b+c 最大时，k 值也最大，且k 是整数，当10、 11、 12 四种情况。c=3，其余三个圆圈内8）将这个解左、右旋a+b+c=1+2+3=6时，k=9， a+b+c=4

14、+5+6=15时， k=12，所以 k 可取 9、当 k=9 时，a+b+c=6， 6 只有一个三拆分，6=1+2+3，因此a=1， b=2，分别填4、 5、 6、 ，即e=4， f=5 ， d=6。这样就得到一个基本解（如图 转或适当调换后，可以得到其余的五个解。当 k=10 时，a+b+c=9， 9 有三种三拆分，9=1+2+6=1+3+5=2+3+4，当a、 b、 C为 1， 2， 6 时，以2、 6 为顶点的一边只能填时，其余边上的圆圈内约数填上2，如图 9-a， 2 重复了，故此解排除；当a、b、 C为1、 3、 52、 4、 6 即可（如图9-b ） ；当 a、 b、 c 为2、

15、3、 4 时，以 3、4 为顶点的一边只能填上3，如图9-c ， 3 重复了，故此解也排除。说明： 这个数阵问题中各条边是相互连接的，口，是确定各边顶点所应填的数。为确定这些数，封闭型数阵图的解题突破采用的方法是建立有关的等式，通过以最小值到最大值的讨论，来确定每条边上的几个数之和，再将和数进行拆分以找到顶点应填入的数，其余的数再利用和与顶点的数就容易被填出。例3、把1-9 这九个数，分别填入圆10-a 中，使得从中辐射出的每条线上三个圆圈内的数的和相等。分析与解：由图10-a 可知，计算每条线段上的三个圆圈内数的和时都要用到中心数，因此确定中心数是解此题的关键。该中心数为 ，其余各数如图10

16、-b 所示，每条线段上的三数之和为k。 +a1+a2= +b1+b2= +c1+c2= +d1+d2=k( +a1+a2)+( +b1+b2)+( +c1+c2)+( +d1+d2)=4k(a1+a2+b1+b2+c1+c2+d1+d2+ )+3 =4k又 a1+a2+b1+b2+c1+c2+d1+d2+ =1+2+ +9=45 45+3 =4k观察上式，k 是整数，即(45+3 )被 4 整除，而(45+3 )÷4=45÷ 4+3 ÷ 4， 45 除以 4的余数为1，则3 除以 4 的余数应为3，当=1、5、 9 时，3÷4 的余数为3。当 =1 时，

17、k=( 45+3× 1)÷4=12，12 拆分成含有一个1 的三个自然数的和有以下四种形式：12=1+2+9=1+3+8=1+4+7=1+5+6这样就得到一个解(如图11-a ) 。当 =5、 9 时，仿照上面方法可得到相应的解，(如图 11-b ，图 11-c 所示) 。说明：此题中的数阵图，称为辐射型数阵图，解法的关键是确定中心数。具体方法是：通过所给条件建立有关等式，通过整除性的讨论，确定出中心数的取值，然后求出各边上数的和， 最后将和自然数分拆成中心数的若干个自然数之和，确定边上其他的数。1-9例4、 ，如图 12-a 中，以为顶点，有四个小的等腰三角形和三个大的等

18、腰三解形，将这九个数，填入内，使每个三角形的三个顶点的数字之和相等。分析与解：设应填入的数如图12-b 所示，观察可知，在计算每个小三角形和大三角形各顶点数字和时，最中间的小三角形三个顶点分别用了三次，其中各顶点用了二次，设每个三角形的三个顶点数的和为k，即：a+b+c=k,d+e+f=k,c+e+g=k,g+h+I=ka+g+d=k,b+e+h=k,c+f+I=k (a+b+c)+(d+e+f)+(c+e+g)+(g+h+i)+(a+g+d)+(b+e+h)+(c+f+i)=7k即： ( a+b+c+d+e+f+g+h+i ) +(c+e+g)=7ka+b+c+d+e+f+g+h+I=3k又

19、a+b+c+d+e+f+g+h+I=1+2+ +9=45 3k=45k=15在 1-9 这九个数中，15 的三拆分有下列几种情况：15=1+9+5=1+8+6=2+9+4=2+8+5=3+7+5=2+7+6=3+8+4=4+5+6，在这些拆分中，2、 4、 5、 6、 8、出现过三次，其它数字出现过两次，所以C=2， e=8， g=5 或 c=6， e=4， g=5，再将其它数填入，这样就得到本题的两个解(如图13-a ，图 13-b 所示)说明：此题中的数阵图为复合型数阵图，解题的关键是要以中心数和顶点数为突破口。及时练习：1、用九个连续自然数构造一个三阶幻方，使每一横行及每一竖列的三个数之

20、和都等于60。2、将1-9 这九个自然数分别填入如图14 的九个内，使三角形每边上的四数之和都等于19，且有一个顶点的数字为1。3、将1-7 这七个数字填写到如图15 的小圆圈中，使每条直径上的三个数字之和都为10。4、把1-10 这十个数分别填在如图16 的五边形边上的十个圆圈内，使每条边上的三个圆圈内的数的和尽可能最小。5、 把 1-9 这九个数分别填入如图17 的大三角形中的九个小三角形内(每个小三角形只填一个数) ，要求靠近大三角形三条边的每五个数相加的和相等，问怎样填才能使五个数的和尽可能地大一些，这五个数的和的最大值是多少？答案： 1、解：先用1-9 这九个自然数构造一个三阶幻方（如图18-a ） ，这个三阶幻方的每行，每列之和为15，题目要求和为60，只需将每个数都加上15 即可（如图18-b ）2、