第4节全概率公式与贝叶斯公式

1、1第四节第四节2 全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率较复杂事件的概率, 它们实质上是加法公式和它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用乘法公式的综合运用. 综合运用综合运用加法公式加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互不相容互不相容乘法公式乘法公式P(AB)= P(A) P(B | A)P(A)03设设nAAA,21为为一一个个完完备备事事件件组组, ,对对任任一一事事件件B, ,有有 BB 显显然然BABABAn,21也也两两两两互互不不相相容容， ,21BABABAn BAAAn)(21 A1A2A3A4A6A7A5A8B4由

2、概率的由概率的可加性可加性及及乘法公式乘法公式, , 有有 )()(21BABABAPBPn niiBAP1)(. )|()(1 niiiABPAP这个公式称为这个公式称为全概率公式全概率公式，它是概率论的基本公式，它是概率论的基本公式. . 设设nAAA,21为为一一个个完完备备事事件件组组, ,对对任任一一事事件件B, ,有有 BB 显显然然BABABAn,21也也两两两两互互不不相相容容， ,21BABABAn BAAAn)(21 5 niiiABPAPBP1)|()()(全概率公式全概率公式 利用全概率公式，可以把较复杂事件概率的利用全概率公式，可以把较复杂事件概率的计算问题，化为若干

3、互不相容的较简单情形，分计算问题，化为若干互不相容的较简单情形，分别求概率然后求和别求概率然后求和 6例例1 1 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品产品, ,已知三家工厂的市场占有率分别为已知三家工厂的市场占有率分别为30、20、 50, ,且三家工厂的次品率分别为且三家工厂的次品率分别为 3、3、1 ， 试 求 市 场 上 该 品 牌 产 品 的 次 品 率， 试 求 市 场 上 该 品 牌 产 品 的 次 品 率 . .设设A1 1、A2 2 、A3 3分别表示买到一件甲、乙、丙的产品；分别表示买到一件甲、乙、丙的产品；B表示买到一件次品，

4、表示买到一件次品，解解.02. 001. 05 . 003. 02 . 003. 03 . 0 ,5 . 0)(,2 . 0)(,3 . 0)(321 APAPAP加权平均加权平均显然显然A1 1、A2 2 、A3 3 构成一个完备构成一个完备事件组，事件组，由题意有由题意有 31)|()()(iiiABPAPBP,01. 0)|(,03. 0)|(,03. 0)|(321 ABPABPABP由全概率公式，由全概率公式，7例例2 2 袋中有袋中有a个白球个白球b个黑球，不放回摸球两次，问个黑球，不放回摸球两次，问第二次摸出白球的概率为多少？第二次摸出白球的概率为多少？解解 分别记分别记A, ,

5、B为第一次、第二次摸到白球，为第一次、第二次摸到白球，由全概率公式由全概率公式, , )|()()|()()(ABPAPABPAPBP baa .baa 可可以以想想见见，第第三三次次、第第四四次次摸摸出出白白球球的的概概率率仍仍为为baa ，这这体体现现了了抽抽签签好好坏坏与与先先后后次次序序无无关关的的公公平平性性. . 11 baabab 1 baa8解解例例3 3 袋中有袋中有a个白球个白球b个黑球，分别以个黑球，分别以A, ,B记第一次、记第一次、第二次摸得白球，第二次摸得白球，(1)(1)采用有放回摸球；采用有放回摸球；(2)(2)采用无采用无放回摸球放回摸球，试分别判断试分别判断

6、A, ,B的独立性的独立性. .(1) (1) 有放回摸球有放回摸球, ,，baaAP )(，22)()(baaABP ，2)()(baabBAP )()()|(APABPABP )()()(BAPABPBP 而而.baa , )()|(BPABP 由由于于所以所以A, ,B相互独立相互独立. .全概率公式全概率公式.baa 222)()(baabbaa 9(2) (2) 无放回摸球无放回摸球, ,，baaAP )()()()|(APABPABP )()()(BAPABPBP 而而, )()|(BPABP 由由于于所以所以A, ,B不相互独立不相互独立. .,)1)()1()( babaaaA

7、BP,)1)()( babaabBAP)1)()1)()1( babaabbabaaa.11 baa,baa 10 在上面例在上面例1 1中，如中，如买到买到一件次品，问它是甲厂生产一件次品，问它是甲厂生产的概率为多大？这就要用到贝叶斯公式的概率为多大？这就要用到贝叶斯公式. . )()()|(BPBAPBAPkk ,)|()()|()(1 niiikkABPAPABPAP), 2 , 1(nk ( (贝叶斯公式贝叶斯公式) ) 设设nAAA,21为为一一个个完完备备事事件件组组, , 定理定理0)( iAP, ,ni, 1 , ,对对任任一一事事件件B, ,若若0)( BP, ,有有 11

8、niiikkkABPAPABPAPBAP1)|()()|()()|(贝叶斯公式贝叶斯公式 该公式于该公式于1763年由贝叶斯年由贝叶斯(Bayes)给出给出. 它是在它是在观察到事件观察到事件B已发生的条件下，寻找导致已发生的条件下，寻找导致B发生的发生的每个原因每个原因Ak的概率的概率.), 2 , 1(nk 12贝叶斯贝叶斯 Thomas Bayes，英国数英国数学家，学家，1702年出生于伦敦，做过年出生于伦敦，做过神甫神甫. 1742年成为英国皇家学会年成为英国皇家学会会员会员. 1763年年4月月7日逝世日逝世. 贝叶斯贝叶斯在数学方面主要研究概率论在数学方面主要研究概率论. 他他对

9、统计推理的主要贡献是使用了对统计推理的主要贡献是使用了“逆概率逆概率”这个概念这个概念, , 在在1763年年提出了著名的贝叶斯公式提出了著名的贝叶斯公式. . niiikkkABPAPABPAPBAP1)|()()|()()|(), 2 , 1(nk 13)()|()()|(111BPABPAPBAP ,3 . 002. 003. 02 . 0)|(2 BAP.25. 002. 001. 05 . 0)|(3 BAP所以这件商品最有可能是甲厂生产的所以这件商品最有可能是甲厂生产的. . 例例4 4 已知三家工厂的市场占有率分别为已知三家工厂的市场占有率分别为30、20、50, , 次品率分别

10、为次品率分别为3、3、1. .如果买了一件商如果买了一件商品，发现是次品，问它是甲、乙、丙厂生产的概率分品，发现是次品，问它是甲、乙、丙厂生产的概率分别为多少别为多少? ? ,45. 002. 003. 03 . 0 :)(iAP0.3, 0.2, 0.5:)|(BAPi0.45, 0.3, 0.25解解14 全概率公式可看成全概率公式可看成 “ “由原因推结果由原因推结果” ,” ,而贝叶斯公式的而贝叶斯公式的作用在于作用在于 “ “由结果推原因由结果推原因” :” :现在一个现在一个 “ “结果结果” ” A 已经发已经发生了，在众多可能的生了，在众多可能的 “ “原因原因” ” 中中,

11、,到底是哪一个导致了这一到底是哪一个导致了这一结果？结果？ 故故贝叶斯公式贝叶斯公式也称为也称为“逆概公式逆概公式”. .15 在不了解案情细节在不了解案情细节(事件事件A)之前，之前，侦破人员根据过去的前科，对侦破人员根据过去的前科，对他们作案的可能性有一个估计，他们作案的可能性有一个估计，设为设为比如原来认为作案可能性较小的某丙比如原来认为作案可能性较小的某丙，现在变成了重现在变成了重点嫌疑犯点嫌疑犯.例如，某地发生了一个案件，怀疑例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有甲、乙、丙三人对象有甲、乙、丙三人.丙丙乙乙甲甲P(A1) P(A2) P(A3)但在知道案情细节后但在知道案情细节后, 这

12、个估计就有了变化这个估计就有了变化.P(A1 | B)知道知道B发生后发生后P(A2 | B) P(A3 | B)偏偏小小最最大大16 在实际工作中检查的指标在实际工作中检查的指标 B 一般有多个，综合这些后验一般有多个，综合这些后验概率，当然会对诊断有很大帮助，在实现计算机自动诊断或概率，当然会对诊断有很大帮助，在实现计算机自动诊断或辅助诊断中，这一方法是有实用价值的辅助诊断中，这一方法是有实用价值的. .17 下面举一个下面举一个实际的实际的医学例子，说明贝叶斯公式在医学例子，说明贝叶斯公式在解决解决实际实际问题中的作用问题中的作用. . )|()()|()()|()()|(ABPAPAB

13、PAPABPAPBAP 解解1 . 09996. 095. 00004. 095. 00004. 0 .0038. 0 例例5 518 因此，虽然检验法相当可靠，但被诊断为患肝癌的人真正因此，虽然检验法相当可靠，但被诊断为患肝癌的人真正患病的概率并不大，其主要原因是人群中患患病的概率并不大，其主要原因是人群中患 肝癌的比例相当肝癌的比例相当小小. .当然，医生在公布某人患肝癌之前，是不会只做一次或一当然，医生在公布某人患肝癌之前，是不会只做一次或一种检验，还会辅以其他检验手段种检验，还会辅以其他检验手段. . 思考思考：诊断为无病：诊断为无病, ,而确实没有患病的概率为多少？而确实没有患病的概

14、率为多少？19 贝叶斯公式在商业决策及其他企业管理学科中贝叶斯公式在商业决策及其他企业管理学科中也也有重要应用有重要应用. .有人有人依据贝叶斯公式的思想发展了一整依据贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断方法套统计推断方法, ,叫作叫作“贝叶斯统计贝叶斯统计”. ”. 可见贝叶斯可见贝叶斯公式的影响公式的影响. .20解解设设iA为第一次取到为第一次取到 i 个新球，个新球，2 , 1 , 0 i， 例例6 6 1010个乒乓球有个乒乓球有7 7个新球个新球3 3个旧球个旧球. .第一次比赛时随第一次比赛时随机取出机取出2 2个，用过后放回个，用过后放回. . 现在第二次比赛现在第二次比赛 又

15、取出又取出 2 2个，问第二次取到几个新球的概率最大？个，问第二次取到几个新球的概率最大？ jB为为第第二二次次取取到到 i 个个新新球球，2 , 1 , 0 j， 210,AAA构构成成一一个个完完备备事事件件组组， 210237)(CCCAPiii ，2 , 1 , 0 i, , 210237)|(CCCABPjijiij ，2 , 1 , 0, ji， 21210237)(CCCAPiii ，210237)|(CCCABPjijiij ，2 , 1 , 0, ji， 具体计算得具体计算得 151)(0 AP，157)(1 AP，157)(2 AP, 151)|(00 ABP，152)|(

16、10 ABP，92)|(20 ABP, 157)|(01 ABP，158)|(11 ABP，95)|(21 ABP, 157)|(02 ABP，31)|(12 ABP，92)|(22 ABP， 22由全概率公式，由全概率公式， 2000)|()()(iiiABPAPBP,17. 092157152157151151 ,54. 095157158157157151)(1 BP,29. 09215731157157151)(2 BP所以第二次取到一个新球的概率最大所以第二次取到一个新球的概率最大. . 23 如果发现第二次取到的是两个新球，问第一次没如果发现第二次取到的是两个新球，问第一次没有取到

17、新球的概率为多大？有取到新球的概率为多大？ 由贝叶斯公式，由贝叶斯公式， 20202020)|()()|()()|(iiiABPAPABPAPBAP.11. 09215731157157151157151 24解解)()()()()(3213210APAPAPAAAPBP ,09. 03 . 05 . 06 . 0 例例7 7 甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别为的概率分别为0.4, 0.5, 0.7如果只有一人击中，则飞机如果只有一人击中，则飞机被击落的概率为被击落的概率为0.2；如果有两人击中，则飞机如果有两人击中，则飞机 被击落

18、被击落的的 概率为概率为0.6；如果三人都击中，则飞机一定被如果三人都击中，则飞机一定被 击落击落. . (1)(1)求飞机被击落的概率；求飞机被击落的概率；(2)(2)若飞机被击落，求是若飞机被击落，求是 三三人同时击中的概率人同时击中的概率 由独立性由独立性25)()()()(3213213211AAAPAAAPAAAPBP 36. 07 . 05 . 06 . 03 . 05 . 06 . 03 . 05 . 04 . 0 ,09. 0)(0 BP)()()()(3213213212AAAPAAAPAAAPBP ,41. 07 . 05 . 06 . 07 . 05 . 04 . 03 . 05 . 04 . 0 )()(3213AAAPBP ,1