随机变量函数的概率分布

1、12.4 2.4 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布离散型离散型连续型连续型定理及其应用定理及其应用2一一. .随机变量函数的概念随机变量函数的概念 ,XgY 设有函数设有函数其定义域为随机变量其定义域为随机变量X的一切可能的一切可能取值构成的集合，取值构成的集合， 如果对于如果对于X的每一个可能取值的每一个可能取值x，个随机变量个随机变量Y相应的取值为相应的取值为y=g(x), 则称则称Y为为X的函数。的函数。另一另一 XgY 记为：记为：随机变量函数的分布随机变量函数的分布本节的任务是：本节的任务是：已知随机变量已知随机变量X的概率分布，并已知的概率分布，并已知Y= =g( (X),

2、),要求随机变量要求随机变量Y的概率分布的概率分布3二、离散型随机变量的函数二、离散型随机变量的函数 , 2, 1 npxXPnnX 1x 2x ， nx P 1p 2p ， np 或或Y )(1xg )(2xg ， )(nxg P 1p 2p ， np 随机变量函数的分布随机变量函数的分布设设X是离散型随机变量，其分布律：是离散型随机变量，其分布律：因因Y=g(X X), 则则Y的概率分布为的概率分布为PY=g(xi)=pi4说明：说明： jijippxgYPxgYP )()( jixgxg 1.若随机变量若随机变量X是离散型，则随机变量函是离散型，则随机变量函数数Y也离散型。也离散型。2.

3、由于随机变量由于随机变量Y Y在取值上有可能相等，在取值上有可能相等，则有则有随机变量函数的分布随机变量函数的分布问：若随机变量问：若随机变量X是连续型，则随机变量函数是连续型，则随机变量函数Y是是否连续型。否连续型。5例例1 1 设有随机变量设有随机变量X的分布律为的分布律为X -2 0 3 P 61 31 21 解：解：. 2, 1, 3 这这些些取取值值两两两两互互不不相相同同Y -3 -1 2 P 61 31 21 随机变量函数的分布随机变量函数的分布随机变量随机变量Y=X-1, ,试求试求Y的分布律的分布律随机变量随机变量Y=X-1的可能取值是的可能取值是由此得随机变量由此得随机变量

4、Y=X-1的分布律的分布律6例例2 设有随机变量设有随机变量X的分布律为的分布律为解：解：pkX-1 0 1 20.2 0.3 0.1 0.4所以，所以，PY=0PY=1PY=4=PX=0+PX=2=0.3+ 0.4=0.7,= PX= -1= 0.2,pkY 0 1 40.1 0.7 0.2Y的分布律为：的分布律为：=PX=1=0.1,随机变量函数的分布随机变量函数的分布随机变量随机变量Y=(X-1)2, ,试求试求Y的分布律的分布律. .随机变量随机变量Y=(X-1)2的可能取值是的可能取值是0,1,47三、连续型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布设设X是连续型随机变量，其概率

5、密度函数为是连续型随机变量，其概率密度函数为fX(x) 的密度函数的密度函数我们要求的是我们要求的是yfXgYY 而设而设y=g(x) 是是X的连续函数，的连续函数，Y=g(X) 是连续型随机是连续型随机变量。变量。解解 题题 思思 路路 yYPyFY yXgP yxgXdxxf)()(随机变量函数的分布随机变量函数的分布1.先求先求Y=g(X)的分布函数的分布函数. 求求Y=g(X)的密度函数的密度函数fY(y)FY(y)利用利用Y=g(X)的分布函数与密度函数的关系的分布函数与密度函数的关系8例例3 设有随机变量设有随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为 ., 0, 10,2)(其它其

6、它xxXfX 4.)()(yXYdxxfyF解：解：(1) 先求先求 Y =X-4 的分布函数的分布函数 FY(y)：)(yYPyFY 44 yXPyXP随机变量函数的分布随机变量函数的分布随机变量随机变量Y=X-4, ,试求试求Y的概率密度的概率密度9 ., 0, 34, 82)(其它其它yyyfY 整理得整理得Y Y= =X X-4 -4 的概率密度为：的概率密度为：本例用到变限的定积分的求导公式本例用到变限的定积分的求导公式 )()(,)()(xxdttfxF 如如果果 , 140 y.其其它它, 1)4(2 y, 0).()()()()(xxfxxfxF 则则随机变量函数的分布随机变量

7、函数的分布)4()4()( yyfyfXY（）利用（）利用FY(y)fY(y)有，有， ., 0, 10,2)(其它其它xxXfX10例例4 4 设有随机变量设有随机变量X X的概率密度函数为的概率密度函数为解：解：先求先求Y=X2 的分布函数的分布函数 FY(y)：,)( xxfX求求 Y=X2的概率密度的概率密度.,020时时当当 y2yXP yXyP yyXdxxf.)(0)( yYPyFY,010时时当当 y不可能事件不可能事件)(yYPyFY 随机变量函数的分布随机变量函数的分布 . 0, 0, 0),()(21)(yyyfyfyyfXXY因因 FY(y)fY(y)11 . 0, 0

8、, 0,21)(22yyeyyfyY 说明：说明：设设 XN(0,1),其概率密度为：其概率密度为：.,21)(22 xexx 则则 Y=X2的概率密度为：的概率密度为：说明：说明：Y服从自由度为服从自由度为1的的2 - 分布分布随机变量函数的分布随机变量函数的分布12定理定理 设设X 是概率密度函数为是概率密度函数为fX(x) (aXb)的连续型随机变量，的连续型随机变量，量量,其概率密其概率密度为度为 ., 0,|,)(|)()(其它其它 yyhyhfyfXY),(),(minbgag ).(),(maxbgag 随机变量函数的分布随机变量函数的分布其它区间为零其它区间为零,(a可以是可以

9、是-,b可以是可以是+).g(x)在在(a,b)内严格单调内严格单调若函数其反函数若函数其反函数x=h(y)有连续导数有连续导数,则则Y=g(X)是一个连续随机变是一个连续随机变 yXgP yYPyFY 证明证明:设随机变量设随机变量Y=g(X)的分布函数为的分布函数为FY(y),则有则有 13 yXgP bgagbgag，maxmin yYPyFY ygXP1 yhXP 随机变量函数的分布随机变量函数的分布 因随机变量因随机变量X在区间在区间(a,b)上变化时上变化时,随机变量随机变量Y在区间在区间()上上变化变化 .其中其中 不妨设不妨设g(x)是严格单调增加的函数是严格单调增加的函数 y

10、haXdxxf 时时，在在 y yhaXYdxxfdydyFyf所所以以， yhyhfX yhyhfX 的的密密度度函函数数为为即即XgY 其它其它0 yyhyhfyfXY14例例5 设随机变量设随机变量XN(,2 2),),试求随机变量试求随机变量Y=eX的的解：解：数数为为是是严严格格增增加加的的，其其反反函函函函数数yxeyxln xexfx22221 密密度度函函数数yfY 时时，所所以以，当当 0y yy12lnexp2122 上上变变化化，在在，上上变变化化时时，在在当当 0XeYX随机变量函数的分布随机变量函数的分布因为因为XN(,2 2), ), X X的概率密度函数的概率密度

11、函数 yfY yyfXlnln 0002lnexp2122yyyyyfY 的密度函数为的密度函数为于是，随机变量于是，随机变量XeY 15例例6 设随机变量设随机变量XN(,2 2),),试证明试证明X的线性函数的线性函数Y=aX+b（a不等于不等于0 0）也服从正态分布。）也服从正态分布。, 0)()( axgbaxxgy,)()(,abyyhxxgy 的反函数存在且为的反函数存在且为于是于是证证: X 的概率密度为的概率密度为.,21)(222)( xexfxX | )(|)()(yhyhfyfXY 由定理得：由定理得：)(|1abyfaX .1)(ayh 随机变量函数的分布随机变量函数的

12、分布222)(21|1 abyea.|2122)(2)( abayea .)( ,2 abaNbaXY 即即有有16小结：小结：1 一般情形下求随机变量函数的分布一般情形下求随机变量函数的分布。2 在函数变换严格单调时利用定理求随机变量函数在函数变换严格单调时利用定理求随机变量函数 的分布。的分布。重点：重点：掌握一般情形下求随机变量函数分布的方掌握一般情形下求随机变量函数分布的方法：法：先求分布函数，再求导，求随机变量函数的先求分布函数，再求导，求随机变量函数的概率密度。概率密度。随机变量函数的分布随机变量函数的分布17 1 1 会用随机变量表示随机事件。会用随机变量表示随机事件。 2 2 理解分布函数的理解分布函数的定义及性质，要会利用分布定义及性质，要会利用分布 函数表示事件的概率。函数表示事件的概率。 3 3 理解离散型随机变量及其分布率的定义、性理解离散型随机变量及其分布率的定义、性 质，会求离散型随机变量的分布率及分布函质，会求离散型随机变量的分布率及分布函 数，掌握常用的离散型随机变量分布：两点分数，掌握常用的离散型随机变量分布：两点分 布、二项分布、泊松分布。布、二项分布、泊松分布。 4 4 理解连续型随机变量及概率密度的定义、性理解连续型随机变量及概