(文科)选修坐标系与参数方程

1、选修44坐标系与参数方程1.极坐标系（1）极坐标系的建立：在平面上取一个定点O,叫做，从O点引一条射线Ox,叫做,再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就确定了一个极坐标系.设M是平面内一点，极点。与点M的距离OM叫做点M的，记为p,以极轴Ox 为始边，射线OM为终边的角叫做点M的极角，记为Q有序数对(p,。)叫做点M的极坐标，记作M(p,如(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x,y),极坐标为(p,。，则它们之间的关系为x=,y另种关

2、系为(2=,tan0=.2.简单曲线的极坐标方程(1)直线的极坐标方程0=a(R)表示过极点且与极轴成a角的直线；pcos0=a表示过(a,0)且垂直于极轴的直线；psin0=b表示过b,2且平仃于极轴的直线；psin(a0)=psin(a仇)表不过(何，9i)且与极轴成a角的直线方程.(2)圆的极坐标方程p=2rcos。表示圆心在(r,0)，半径为|r|的圆;兀.，.一、，一一，一p=2rsin。表示圆心在r,丰径为|r|的回；p=r表示圆心在极点，半径为|r|的圆.3.曲线的参数方程x=ft,在平面直角坐标系xOy中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变量t的函数y=gt.并且对于t的

3、每一个允许值上式所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，则称上式为该曲线的中变量t称为4.一些常见曲线的参数方程过点PO(XO,y),且倾斜角为a的直线的参数方程为(t为参数).(2)圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程为(。为参数).x2y2(3)椭圆方程：+京=1(ab0)的参数万程为(。为参数).(4)抛物线方程y2=2px(p0)的参数方程为(t为参数).一兀、.一1.在极坐标系中，直线psin(0+4)=2被圆p=4截碍的弦长为.2.极坐标方程p=sin0+2cos。能表示的曲线的直角坐标方程为x=4t2,3.已知点P(3,m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上，贝UP

4、F=.y=4tx=1+tsin40,4.直线（t为参数）的倾斜角为y=3+tcos40 x=3t,5.已知曲线C的参数方程是(t为参数).则点Mi(0,1),M2(5,4)在曲线C上的是y=2t2+1题型一极坐标与直角坐标的互化在直角坐标系.一兀.xOy中，以。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为cos（。一三）=1,M,N分别为C与3x轴、y轴的交点.（1）写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标；设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.思维升华直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x=pcos。及y=psin。直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变

5、形，构造形如pcos0,in0,廿的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以（或同除以）P及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检已知两曲线参数方程分别为x=.5cos0,y=sin0(0v00,0V仅2四来使平面上的点与它的极坐标之间是对应的，但仍然不包括极点.2在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x,y的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性.x=sina,兀 l2.已知曲线C的参数万程为2众0,2%）曲线D的极坐标万程为psin（0+4）=一寸2（1）将曲线C的参数方程化为普通方程；（2）曲线C

6、与曲线D有无公共点？试说明理由.3. （2013福建）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为（寸2，直线l的极坐标方程为pcos（。一：）=a,且点A在直线l上.（1）求a的值及直线l的直角坐标方程;6.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换X，=；x,i3y后，曲线C:x2+y2=36变为何种曲线，并求曲线的焦X=1+cosa,圆C的参数方程为(a为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系.y=sinaP是曲线p=i2sin。上的动点，Q是曲线斤12cos卜g上的动点，试求PQ的取大值.5.在极坐标系中，已知三点M2,-3、N(2,0)、P2由，

7、6.(1)将M、N、P三点的极坐标化为直角坐标；(2)判断M、N、P三点是否在一条直线上.4.在极坐标系中,点坐标.B组专项能力提升一兀V21.在极坐标系中，已知圆O:斤cos。+sin。和直线l:饵in(04)=?(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当晚(0,兀时，求直线l与圆。公共点的极坐标.2.已知圆Oi和圆O2的极坐标方程分别为p=2,p22y2pcos(04)=2.(1)把圆Oi和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.x=4+5cost,3. （2013课标全国I）已知曲线Ci的参数方程为（t为参数）,以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极y=

8、5+5sint轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为广2sina（1）把Ci的参数方程化为极坐标方程；求Ci与C2交点的极坐标（R0,0仅2兀）4. （2012辽宁）在直角坐标系xOy中，圆Ci:x2+y2=4,圆C2：（x2）2+y2=4.（1）在以。为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆Ci,C2的极坐标方程，并求出圆Ci,C2的交点坐标（用极坐标表示）；（2）求圆Ci与C2的公共弦的参数方程.答案要点梳理1. (1)极点极轴极径ypcos0psin0 x2+y2-x3.参数方程参数x=X0+tcosax=a+rcos04 (1),.，_y=yo+tsinay=b+rsin02x

9、=acos0 x=2pt(4)y=bsin0y=2pt夯基释疑1.4 盔2.x2+y22xy=03.44.505.Mi题型分类深度剖析例1pcos(0-3)=1，口，1.3.碍Pcos。+2sin=1.1.3一从而C的直角坐标万程为必+2y=1，即x+寸3y=2.当0=0时，P=2,所以M(2,0).当。=项寸，P=233,所以N(乎，2).M点的直角坐标为(2,0).2.3N点的直角坐标为(0,-).所以P点的直角坐标为(1,)则P点的极坐标为(233,6),丸所以直线OP的极坐标万程为0=6(pCR).跟踪训练1解将极坐标方程化为直角坐标方程,得圆的方程为x2+y2=2x,即(x1)2+y

10、2=1,直线的方程为3x+4y+a=0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1,|3X1+4X0+a|即有=1,解得a=8或a=2.寸32+42故a的值为一8或2.解将两曲线的参数方程化为普通方程分别为+y2=1(0y/5x寸5)和y2=4x,联立解得交点为1,耳5555E4,4 人2t2跟踪训练2解(1)x=1+t242t241+t26t22t2y=；=4-3X=4-3x.1+121+121+12又x=气=2*2=2-土0,2).1+t21+t21+t2x0,2).所求的普通方程为3x+y-4=0(x60,2).(2)-4cos20=2x,4sin20=4(y+1).-4cos2。+4si

11、n20=2x+4y+4.4yx+2=0.04cos2长4,0v2-x4,.一2x2.所求的普通方程为x-4y-2=0(x62,2).例3解化极坐标方程p=4cos。为直角坐标方程x2+y24x=0,所以曲线C是以（2,0）为圆心，2为半径的圆.。瑚x=3+2t化参数方程（t为参数）为普通方程x一寸3y+3=0.1y=2_|2+3|5圆心到直线l的距离d=1+t2,1+32此时，直线与圆相离，.一.51所以MN的取小值为2=2.跟踪训练3解（1）圆Ci的直角坐标方程为x2+（y-2）2=4,直线C2的直角坐标方程为x+y-4=0.x2+y-22=4,解x+y4=0,x=0,x2=2,得y=4,y

12、2=2.所以C1与C2交点的极坐标为4,寸，2 匝,4,注：极坐标系下点的表示不唯一.由可得，P点与Q点的直角坐标分别为（0,2）,（1,3）.故直线PQ的直角坐标方程为x-y+2=0,由参数方程可得y=：x一亨+1,2=1，所以解得a=1,b=2.ab,.-一2+1=2,练出高分A组x=t+1,1.解因为直线l的参数方程为（t为参数），y=2t由x=t+1得t=x-1,代入y=2t,得到直线l的普通方程为2x-y2=0.同理得到曲线C的普通方程为矿=2x.y=2x-1,联立方程组y2=2x,1解得公共点的坐标为（2,2）,-1.x=sina,2.解（1）由0,2得y=cos2a,x2+y=1

13、,x1,1.由psin（e+j=一/得曲线D的普通方程为x+y+2=0.x+y+2=0,得x2x3=0.x2+y=1解得x=12无?1,1,故曲线C与曲线D无公共点.3.解（1）由点A（2,j在直线pcos（04=a上，可得a=V2.所以直线l的方程可化为pcos。+psirt）=2,从而直线l的直角坐标方程为x+y2=0.由已知得圆C的直角坐标方程为（x-1）2+y2=1,所以圆C的圆心为（1,0）,半径r=1,因为圆心C到直线l的距离d=*=1,所以直线l与圆C相交.4.解广12sin0,-(2=12psin0,x2+y2I2y=0,即x2+(y6)2=36.护=12pcos9cos6+s

14、in0sin&,.(x3艘)2+(y3)2=36,-PQmax=6+6+寸3&2+32=18.pcosf得M的直角坐标为（1,一3）；3(2).kMN=V3,2-1x=2x,6.解圆x2+y2=36上任一点为P（x,y）,伸缩变换后对应的点的坐标为P（x,y）,贝Uy=3y,4x，2+9y,2=36,即x+=1.94y22曲线C在伸缩变换后得椭圆+匕=1,其焦点坐标为（史,0）.1.解(1)圆O：p=cos0+sin。，即p2=pcos0+:sin0,圆O的直角坐标方程为x2+y2=x+y,即x2+y2x-y=0,匹战*.直线l:psin(04)=2，即sin0pcos0=1,

15、则直线l的直角坐标方程为y-x=1,即x-y+1=0.x5.解（1）由公式y= psin0N的直角坐标为（2,0）;P的直角坐标为（3,寸3）.kMN=kNP,-M、N、P三点在一条直线上.4.解（1）圆CI的极坐标方程为p=2,x2+y2xy=0,由得x-y+1=0y=1,.Tt故直线i与圆。公共点的极坐标为(1,分).2.解(1)由p=2知p=4,所以x2+y2=4;因为P22彖pcos(。一2,所以p22寸2p(cos9cos4+sinOsin4)=2,所以x2+y22x-2y-2=0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x+y=1.化为极坐标方程为pcos。+ps

16、in0=1,即珈(0+4)=乎.x=4+5cost3.解(1)C1的参数方程为.y=5+5sint5cost=x4.5sint=y5-(x-4)2+(y-5)2=25(cos2t+sin2t)=25,即C1的直角坐标方程为(x-4)2+(y-5)2=25,才巴x=pcos0,y=psin。代入(x-4)2+(y5)2=25,化简得：Q8pcos010jsin0+16=0.(2)C2的直角坐标方程为x2+y2=2y,x-42+y-52=25解方程组x2+y2=2yx=1x=0得或y=1y=2-CI与C2交点的直角坐标为(1,1),(0,2).-CI与C2交点的极坐标为戒，4,2,2.x=0,圆C2的极坐标方