随机事件和样本空间

1、1第一章第一章 随机事件及概率随机事件及概率21.1 随机事件和样本空间1、基本事件和样本空间定义：定义：一个试验如果满足下述条件： （1）试验可以在相同的情形下重复进行； （可重复性） （2）试验的所有可能结果是明确可知道的，并且不止一个； （明确可知性）（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个， （不确定性）但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果，就称这样的试验是一个随机试验随机试验，为方便起见，也简称为试验试验3定义：定义：随机试验的每一个可能的结果, 称为基本事件（样基本事件（样本点）本点）一般用 表示因为随机试验的所有结果是明确的，从而所有的基本事件也是明确的则基本

2、事件的全体所组成的集合，称为样本样本空间空间常用 来表示,即 （1）定义中的每个可能的结果是指每个不能再分或不必再细分的可能结果. （2）对于一个具体的随机试验，我们可以根据试验的条件和观察的目的来确定样本空间 4 例例1.1.1 1.1.1 一盒中有十个完全相同的球，分别有号码1,2,3, ,10，从中任取一球，观察其标号，写出其样本空间. 解：令i=取得球的标号为i，则， 2,3,4,12. 10, 3 , 2 , 1写出下列试验的样本空间：（1）同时抛掷红色与白色的骰子各一粒，记录其向上一面（简称出现）的点数；同时抛掷两粒骰子，记录出现的点数之和解：（1）用有序数组（ i, j）表示红色

3、骰子出现i点，白色骰子出现j点，则样本空间可表示为：(1,1),(1,2),(1,3),(6,6) (2) 试验和（1）类似，但观察的目的不相同，其样本点也不相同， 其样本空间可表示为： 5 例1.1.3 讨论某寻呼台在单位时间内收到的呼叫次数 解：可能结果一定是非负整数而且很难制定一个数为它的上界，这样，可以把样本空间取为 0,1,2,. 注意：注意：对于一个实际问题或一个随机现象，考虑问题的角度不同，样本空间也可能选择得不同. 例1.1.4 讨论某地区的气温时，自然把样本空间取为 ,. 6二、随机事件 在随机试验中，有时关心的是带有某些特征的基本事件是否发生，如在例1.1.1中，关心的问题

4、是：A=球的标号是否为5，B=球的标号是否偶数，C=球的标号是否52196807543其中A是基本事件，而B和C是由多个基本事件所组成的，相对于基本事件，称为复杂事件无论是基本事件还是复杂事件，它们在试验中发生与否，都带有随机性，所以都叫做随机事件或简称为事件，习惯上用A、B、C，来表示 注：1.从集合论的角度来看，一个随机事件不过是样本空间的一个子集而已. 7 2.说某事件A发生当且仅当它所包含的某一个基本事件出现，可用A来表示. 3.基本事件与随机事件是两个不同的概念，基本事件是一个随机事件，而随机事件不一定是基本事件.4.4.必然事件必然事件 , , 用符号 来表示 不可能事件不可能事件

5、 用符号 来表示 例1.1.5 一批产品共10件，其中2件次品，其余为正品，从中任取3件则，恰有一件正品A,B 恰有两件正品至少有两件正品CD= 三件中至少有一件次品.这些都是随机事件，而对于这个随机试验来说，基本事件总数为三件中有正品为必然事件，3 件都是正品为不可能事件，310.C8三、事件的关系与运算三、事件的关系与运算文氏图文氏图 ( Venn diagram ) A CBA,以下设等都是同一样本空间中的事件.9注：注：对任何事情 A，有,.AA A B BA 1. 事件的包含关系AB定义定义1.1.1：若，有（若事件A发生必然导致事件B发生），这时称事件B包含事件A，记作AB 或 B

6、A ，即A是B的子集2. 事件的相等定义：定义：若BA且AB 则称事件A与B相等，记作 .BA 例1.1.6 设某种动物从出生生活至20岁记为 A从出生到25记为 B则.BA 10 定义定义1.1.21.1.2：“事件A、B中至少有一个发生”,这样的一个事件称作事件A与B的并（或和）记作 (或A+B)BA 3 3、并(和)事件与积（交）事件 BAAB注：注：1.,;AA AAAA 2.若BA 则;ABB,AAB BAB.AB 例1.1.7 设某种圆柱形产品，若底面直径和高都合格，则该产品合格.令A=直径不合格，B=高度不合格，则产品合格可以表示为11类似的可以推广到n个事件：中至少有一个发生”

7、,这样的一个事件称作事件 的并（或和），记作12,nA AAnAAA,21nAAA21或niiA1.1niiA或 定义定义1.1.31.1.3：“事件A与B同时发生”, 这样的一个事件称作事件A与B的交（或积）记作 （或AB）BA 类似的“ 同时发生”称为 的交（或积）记作 （简记为 或 ） nAAA,21nAAA,21nAAA21niiA1niiA1BAB A注：1.,AAA AAA ABA ABB 2.若,AB则.ABA124. 4. 差事件.BAABAB定义1.1.4：“事件 发生而不发生”，这样一个与的差，记为事件称作事件BAB A如例1.1.7中 BA=该产品的直径不合格，高度合格

8、5对立事件（逆）AA对立事件与互不相容事件的关系对立事件与互不相容事件的关系： 定义定义1.1.51.1.5：若A是一个事件，令AA称为事件A的对立事件或逆事件 A A AA13AB 6. 事件的互不相容(互斥) 对立事件一定是互不相容的，但互不相容事件不一定是对立的 定义定义1.1.61.1.6：若 ，则称事件A与事件 ABB互不相容（互斥）. 即表示互不相容的两事件不会同时发生。 7. .完备事件组 121,2,2.nijinAAAAAA AA ， ， ，是有限或可列个事件，若其满足: (1)A，i,j=1,2,，则称， ，是一个完备事件组. 显然,A与A 构成一个完备事件组.148.8.

9、事件的运算法则事件的运算法则 在进行运算时，经常要用到下述定律。设在进行运算时，经常要用到下述定律。设A，B，C为事件，则有为事件，则有 交换律交换律 结合律结合律 分配律分配律 德德摩根律摩根律对于对于n个事件，甚至对于可列个事件，德个事件，甚至对于可列个事件，德摩根律摩根律也成立。也成立。,;,;,;ABBA ABBAABCABCABCABCABCABACABCABACABAB ABAB 。15例1.1.9：设A、B、C是样本空间 的三个随机事件，试将下列事件用A、B、C表示出来 （1）A发生，但B、C都不发生 （2）A、B发生，而C不发生 （3）三个事件都发生 （4）三个事件中至少一个发

10、生 （5）三个事件都不发生 （A 或A-B-C或A- ） CB()BC（AB 或AB-C或AB-ABC） C（ABC） （ 或 ） CBACBA（ 或 ）CBACBA16（6）不多于一个事件发生 （7）不多于两个事件发生 （8）三个事件中至少两个发生 （9）恰有一个事件发生 （10）恰有两个事件发生 （ 或 ） CBACBACBACBACABCAB（ 或 ） ABCCABCBABCACBACBACBACBA（ ） CBACBACBA（ 或AB+BC+CA-ABC）BCACBACABCABCAB17 例1.1.10 试验：袋中有三个球编号为,，从中任意摸出一球，观察其号码，记A= 3球的号码小于B=,球的号码为奇数C=3球的号码为试问：2) A与B，A与C，B与是否互不相容？ 3) A,B,C对立事件是什么？ 4) A与B的和事件，积事件，差事件各是什么？ 1) E的样本空间为什么?解(1)设 3 , 2 , 1, iii摸到球的号码为则的样本空间为 321,21,A13,B