2022年《概率论与数理统计》完整公式以及知识点归纳

1、精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -概率论与数理统计完整版公式第 1 章随机大事及其概率（ 1 ）排列组合公式nm.Pm mn.从 m个人中挑出n 个人进行排列的可能数；Cnm.mn. mn.从 m个人中挑出n 个人进行组合的可能数；（ 2 ）加法和 乘 法 原理（ 3 ）一些常见排列（ 4 ）随机试 验 和 随机大事（ 5 ）基本领件、样本空 间 和 大事（ 6 ）大事的 关 系 与运算加法原理（两种方法均能完成此事）： m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，其次种方法可由n种方法来完成，就这件事可由m+n 种方法来完成；乘法原理（两

2、个步骤分别不能完成这件事）： m×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，其次个步骤可由n种方法来完成，就这件事可由m× n 种方法来完成；重复排列和非重复排列（有序）对立大事（至少有一个）次序问题假如一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它显现哪个结果，就称这种试验为随机试 验；试验的可能结果称为随机大事；在一个试验下， 不管大事有多少个，总可以从其中找出这样一组大事，它具有如下性质：每进行一次试验，必需发生且只能发生这一组中的一个大事；任何大事，都是由这一组中的部分大事组成的；这样一组大事中的每一个大

3、事称为基本领件，用来表示；基本领件的全体，称为试验的样本空间，用表示；一个大事就是由中的部分点（基本领件）组成的集合；通常用大写字母A，B，C，表示大事，它们是的子集；为必定大事，. 为不行能大事；不行能大事 （.） 的概率为零，而概率为零的大事不肯定是不行能大事；同理，必定大事（ ）的概率为1，而概率为1 的大事也不肯定是必定大事；关系：假如大事A 的组成部分也是大事B的组成部分， （ A发生必有大事B 发生）：AB假如同时有AB ， BA ，就称大事A 与大事 B 等价，或称A 等于 B：A=B；A、B中至少有一个发生的大事：AB，或者 A+B；属于 A而不属于B 的部分所构成的大事，称为

4、A 与 B的差，记为A-B，也可表示为 A-AB 或者 A B ，它表示A 发生而 B不发生的大事；第 1 页 共 27 页精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 1 页，共 27 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -A、B同时发生： AB，或者 AB；AB=.，就表示A 与 B 不行能同时发生，称大事 A 与大事 B 互不相容或者互斥；基本领件是互不相容的；-A 称为大事 A 的逆大事，或称A 的对立大事，记为A ；它表示 A 不发生的大事；互斥未必对立；运算：结合率： ABC=ABC A

5、B C=A B C安排率： AB C=A C B C A B C=AC BCAiAi德摩根率：i 1i 1ABAB ， ABAB设为样本空间，足以下三个条件：1° 0 PA 1，2° P =1A 为大事， 对每一个大事A 都有一个实数PA ，如满（ 7 ）概率的 公 理 化定义3° 对于两两互不相容的大事PA1 ，AiA2 ，有P Ai i 1i 1常称为可列（完全）可加性；就称 PA 为大事A 的概率；1°2° P1 ,21 Pn，12 P n ；n（ 8 ）古典设任一大事A ，它是由1 ,2m 组成的，就有概型PA = 1 2 m = P

6、1 P2 P m m A所包含的基本领件数n 基本领件总数（ 9 ）几何概型如随机试验的结果为无限不行数并且每个结果显现的可能性匀称，同时样本空间中的每一个基本领件可以使用一个有界区域来描述，就称此随机试验为几何概型；对任一大事A，P AL A；其中 L 为几何度量（长度、面积、体积）；L（10）加法公式（11）减法公式PA+B=PA+PB-PAB当 PAB 0 时， PA+B=PA+PBPA-B=PA-PAB当 BA时， PA-B=PA-PB当 A= 时， P B =1- PB第 2 页 共 27 页精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 2 页，共 27 页 - -

7、- - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -定义设 A、B 是两个大事，且PA>0 ，就称P ABP A为大事 A 发生条件下，事（12）条件概率件 B 发生的条件概率，记为P B / AP AB；P A条件概率是概率的一种，全部概率的性质都适合于条件概率；例如 P /B=1P B /A=1-PB/A乘法公式：P ABP A PB / A（13）乘法更一般地，对大事A1， A2，An，如 PA1A2An-1 >0 ，就有公式P A1A2An1 ；AnP A1P A 2 |A1P A3 |A1 A2P An |A1A 2两个

8、大事的独立性设大事A 、B 满意P AB P AP B ，就称大事A 、B 是相互独立的；如大事A 、 B相互独立，且P A0 ，就有P B | AP AB P AP AP B P AP B（14）独立如大事立；A 、 B 相互独立， 就可得到A 与 B 、 A 与B 、 A 与B 也都相互独性必定大事和不行能大事. 与任何大事都相互独立；. 与任何大事都互斥；多个大事的独立性设 ABC是三个大事，假如满意两两独立的条件， PAB=PAPB ； PBC=PBPC ； PCA=PCPA 并且同时满意PABC=PAPBPC那么 A、B、C 相互独立；对于 n 个大事类似；设大事B1, B 2 ,

9、Bn 满意（15）全概公式1° B1, B 2,nA, Bn 两两互不相容， BiPBi 0i1,2, n ，2°i 1，就有P AP B1 P A | B1P B 2 P A |B2P Bn P A | Bn ；设大事B1 ，B2 ，Bn 及A 满意1°B1 ，B2 ，nBn 两两互不相容，P Bi >0， i1，2， n ，（16）贝叶A2°i就Bi1， P A0 ，斯公式P Bi/ APBi P A /nBi ， i=1 ， 2，n；P B j P A /j 1B j 此公式即为贝叶斯公式；P Bi ，（ i1 ， 2 ， n ），通常叫先验

10、概率；P Bi/ A ，（ i1 ， 2 ，第 3 页 共 27 页精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 3 页，共 27 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -n ），通常称为后验概率；贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了 “由果朔因”的推断；我们作了n 次试验，且满意每次试验只有两种可能结果，A 发生或A 不发生；n 次试验是重复进行的，即A 发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验否是互不影响的；A 发生与否与其他次试验A 发生与（17）伯努这种试验称为伯努利概型，或称

11、为n 重伯努利试验；利概型用 p 表示每次试验A 发生的概率，就A 发生的概率为1pq ，用 Pn k 表示 n 重伯努利试验中A 显现k0kn 次的概率，Pn kkknkCn p q， k0,1,2,n ；其次章随机变量及其分布设离散型随机变量件X=Xk 的概率为X 的可能取值为Xkk=1,2, 且取各个值的概率，即事（1）离散PX=xk =p k， k=1,2,，就称上式为离散型随机变量式给出：X 的概率分布或分布律；有时也用分布列的形型随机变量的分布X|x1, x2, xk ,P X律xk p1, p 2, pk ,；明显分布律应满意以下条件：（1） pk0 ， k1,2,pk1，（ 2

12、） k 1；设 F x 是随机变量有xX 的分布函数，如存在非负函数f x ，对任意实数x ，（2）连续F xf xdx，型随机变就称 X为连续型随机变量；f x 称为X 的概率密度函数或密度函数，简称概量的分布密度率密度；密度函数具有下面4 个性质：1°f2° xf0 ； x dx1；（3）离散与连续型P XxP xXx dxf xdx随机变量的关系积分元f xdx 在连续型随机变量理论中所起的作用与P Xxk pk 在离散型随机变量理论中所起的作用相类似；第 4 页 共 27 页精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 4 页，共 27 页 - -

13、- - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -设 X 为随机变量，x 是任意实数，就函数F xP Xx称为随机变量X 的分布函数，本质上是一个累积函数；P aXbF bF a可以得到X 落入区间a , b 的概率；分布函数 F x 表示随机变量落入区间（， x 内的概率；分布函数具有如下性质：1°0F x1,x；（4）分布函数2°F x 是单调不减的函数，即x1x2 时，有F x1F x2 ；3°F limxF x0 ，F limxF x1 ；4°F x0F x ，即F x 是右连续的；5

14、6;P XxF xF x0 ；对于离散型随机变量，F xpk ；x kx对于连续型随机变量，F xxf x dx ；0-1 分布PX=1=p, PX=0=q二项分布在 n 重贝努里试验中，设大事A 发生的概率为p ；大事 A 发生的次数是随机变量，设为X ，就 X 可能取值为0,1,2, n ；Cpq（5）八大P Xk Pnkkkn k n，其中分布q1p,0p1, k0,1,2, n ，就 称 随 机 变 量 X 服 从 参 数 为 n ， p 的 二 项 分 布 ； 记 为X Bn, p ；当 n1时，P Xk p k q 1k ， k0.1 ，这就是（ 0-1 ）分布，所以（ 0-1 ）

15、分布是二项分布的特例；第 5 页 共 27 页精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 5 页，共 27 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -泊松分布设随机变量X 的分布律为P Xkke，0 ， kk.0,1,2，就称随机变量X 听从参数为的泊松分布，记为X 或者 P ；泊松分布为二项分布的极限分布（np=， n）；超几何分布P XkCk Mn kkCN M ,0,1,2, lClNnmin M , n随机变量X 听从参数为n,N,M 的超几何分布，记为Hn,N,M ；几何分布P Xk q k1

16、 p ,k1,2,3,，其中 p0， q=1-p ；随机变量X 听从参数为p 的几何分布，记为Gp ；匀称分布设随机变量X 的值只落在 a ，b 内， 其密度函数f x 在a ，b上为常数1，即ba1,f xba0,a x b其他，就称随机变量分布函数为X 在a ， b 上听从匀称分布，记为XUa ， b ；0，x<a，F xxa,baxf xdxa x b1，x>b ；当 a x 1<x2 b 时， X 落在区间（x1 , x2）内的概率为P x1Xx2 x2x1；ba第 6 页 共 27 页精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 6 页，共 27 页

17、 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -指数分布f xex ,0,x0 ,x0,其中0 ，就称随机变量X 听从参数为的指数分布；X 的分布函数为F x1ex ,0,x0 ,记住积分公式：x<0 ；x n e0x dxn.正态分布设随机变量X 的密度函数为f x x21e2 2，x，2其中、0 为常数， 就称随机变量X 听从参数为、的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为2X N , ；f x具有如下性质：1°f x 的图形是关于x对称的；2°当 x时， f 21为最大值；22如 X N , ，就

18、tX的分布函数为F x1x e2 2dt2；参数0 、1 时的正态分布称为标准正态分布，记为X N 0,1x21，其密度函数记为 xe22，x，分布函数为xt 2 x x1e 2 dt ；2是不行求积函数，其函数值，已编制成表可供查用；1-x 1- x 且 0 ；X2假如 X N ,2 ，就 N 0,1 ；P x1x2x1Xx2 ；第 7 页 共 27 页精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 7 页，共 27 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -（6）分位数下分位表：上分位表：离散型P XP

19、 X；已知 X 的分布列为X P Xxix1,p1,x2,p2 ,xn,，,pn ,Yg X 的分布列（yig xi 互不相等）如下：（7）函数分布YP Yyi g x1,p1,g x2,p 2,g xn,，,pn ,连续型如有某些g xi 相等，就应将对应的p i 相加作为g xi 的概率；先利用 X 的概率密度f Xx 写出 Y 的分布函数FYy PgX y ，再利用变上下限积分的求导公式求出f Yy ；第三章二维随机变量及其分布离散型假如二维随机向量（ X， Y）的全部可能取值为至多可列个有序对（ x,y ），就称为离散型随机量；设=（ X，Y）的全部可能取值为 xi ,y j i, j

20、1,2, ，且大事 = xi ,y j 的概率为 pij, , 称PX , Y xi , y j p iji, j1,2,（ 1）联合为=（ X，Y）的分布律或称为X 和 Y 的联合分布律；联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：分布YXy1y2yjx1p11p12p1jx2p21p22p2jxipi1p ij这里 pij 具有下面两个性质：（ 1） pij 0（ i,j=1,2,）；（ 2）ijpij1.第 8 页 共 27 页精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 8 页，共 27 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - -

21、- - - - - - - -连续型对 于 二 维 随 机 向 量 X ,Y ， 如 果 存 在 非 负 函 数f x,yx,y ，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即 D=X,Y|a<x<b,c<y<d有PX ,YDf x, ydxdy,D就称为连续型随机向量；并称fx,y为=（ X，Y）的分布密度或称为X 和 Y 的联合分布密度；分布密度fx,y具有下面两个性质：（ 1）fx,y 0;（ 2）f x, ydxdy1.（ 2）二维随机变量的本质 Xx,YyXxYy设（ X， Y）为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数F x, yP Xx,Yy称为二

22、维随机向量（X， Y）的分布函数，或称为随机变量X 和 Y 的联合分布函数；分 布 函数是一 个以全平面 为其定义 域 ，以事 件1 ,2 |X 1 x,Y 2 y 的概率为函数值的一个实值函数；分布函数Fx,y具有以下的基本性质：（ 3）联合（ 1） 0F x, y1;分布函数（ 2） F（x,y ）分别对 x 和 y 是非减的，即当 x2>x1 时，有 F（ x2,y ） Fx 1,y;当 y2>y 1 时，有 Fx,y 2 Fx,y 1;（ 3） F（x,y ）分别对 x 和 y 是右连续的，即F x, y F x0, y, F x, yF x, y0;（ 4） F ,F ,

23、 yF x,0, F ,1.（ 5）对于 x1x2， y1y2，F x2， y2 F x2， y1 F x1， y2 F x1， y1 0 .（ 4）离散型与连续型的关系P Xx， Yy) P xXx dx， yYy dy f x， y dxdy第 9 页 共 27 页精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 9 页，共 27 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -离散型X 的边缘分布为PiP Xxi pijji , j1,2, ；Y 的边缘分布为（ 5）边缘P jP Yy j pijii, j1

24、,2, ；分布连续型X 的边缘分布密度为f X xf x,ydy；Y 的边缘分布密度为f Y yf x,ydx.离散型在已知 X=xi 的条件下， Y 取值的条件分布为pijPYy j | Xxi ；pi在已知 Y=yj 的条件下， X 取值的条件分布为pij（ 6）条件PXxi |Yy j ,p j分布连续型在已知 Y=y 的条件下， X 的条件分布密度为f x, yf x | y；fY y在已知 X=x 的条件下， Y 的条件分布密度为f y | xf x, y f X x一般型FX,Y=F XxF Yy离散型pijp i p j（ 7）独立性有零不独立连续型fx,y=fXxfYy直接判定

25、，充要条件：可分别变量正概率密度区间为矩形二维正态分21 x12 x2,1 y2 y2布f x, y211212 12 1e21 22 0第 10 页 共 27 页精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 10 页，共 27 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -随机变量的函数如 X1,X 2,Xm,X m+1,Xn 相互独立，h,g为连续函数，就：h（X1， X2,Xm）和 g（ Xm+1,Xn）相互独立；特例：如X 与 Y 独立，就： h（ X）和 g（Y）独立；例如：如X 与 Y 独立，就：

26、 3X+1 和 5Y-2 独立；设随机向量（X， Y）的分布密度函数为1SDx, yD（ 8）二维匀称分布f x, y0,其他其中 SD 为区域 D的面积， 就称（ X，Y）听从 D 上的匀称分布， 记为（X，Y）U（ D）；设随机向量（X， Y）的分布密度函数为21x12 x21 y2 y2f x, y21121212 1e21 22,其中1 ,2 ,10,20, |1 是 5 个参数，就称（X， Y）听从二维正态（ 9）二维正态分布分布，记为（ X，Y） N（1 ,222,12.122 ,由边缘密度的运算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，1即 X N（,2 , Y N

27、2 .1但是如 X N（,2 , Y N 22,2， X， Y 未必是二维正态分布；1Z=X+Y依据定义运算：F Z zP Zz) P XYz对于连续型， f Zz f x, zxdx（10）函数分布两 个独立的正态 分布的和仍为 正 态分布2（12 ,12 ） ；2n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍听从正态分布；C，2C 22iiiiii第 11 页 共 27 页精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 11 页，共 27 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -Z=max,min X 1,X

28、 2,X n如X 1 , X 2X n相 互 独 立 ， 其 分 布 函 数 分 别 为12F x x， F x xF x x ，就 Z=max,minX 1,X 2,X n的分布n函数为：Fmax xF x1 xF x 2 xF xn xFmin x11Fx x1F x x1F x x12n2 分布设 n 个随机变量X 1 , X 2 , X n 相互独立，且听从标准正态分布，可以证明它们的平方和n2WX ii1的分布密度为f u1n2 2n20,nu1u 2e 2u0,u0.我们称随机变量W 听从自由度为n 的2 分布，记为W2 n ，其中nnx 2 1e20x dx.所谓自由度是指独立正

29、态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数；2分布满意可加性：设iiY2 n ,12就kZYi i 12 nnnk .第 12 页 共 27 页精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 12 页，共 27 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -t 分布设 X， Y 是两个相互独立的随机变量，且X N 0,1, Y 2 n,可以证明函数TXY / n的概率密度为n12n 1t 22f t 1nnn2t.我们称随机变量T 听从自由度为n 的 t 分布，记为T tn；t1ntn F 分布设 X

30、2 n, Y 2 n ，且X 与Y 独立，可以证明12FX / n1 Y / n 2的概率密度函数为n1n 22n1n1n121y 21n1 n22n1 y, y0f yn1n 222n2n 20, y0我们称随机变量F 听从第一个自由度为n1，其次个自由度为n2 的 F 分布，记为F fn 1, n 2.F1n1, n 2 1Fn 2 , n1 第四章随机变量的数字特点（1）离散型连续型第 13 页 共 27 页精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 13 页，共 27 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - -

31、 - - - -一维期望随机期望就是平均值设 X 是离散型随机变量， 其分布设 X 是连续型随机变量，其概率密度律 为PX变量xk pk ，为 fx，的数k=1,2,n ，字特nE X xf xdx征E X xk p kk 1（要求肯定收敛）函数的期望Y=gX（要求肯定收敛）Y=gXE Y ng xk pkk 1EY gx f xdx方差2DX=EX-EX，标准差D X xkkE X 2 pD X xE X 2f xdxk X D X ，矩对于正整数 k ，称随机变量 X的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶原点矩，记为 v k, 即kxp,ii k =EX =k ik=1,2,.对于正整数

32、 k ， 称随机变量 X 的 k次幂的数学期望为X 的 k 阶原点矩，记为 v k, 即k k=EX =对于正整数k ，称随机变量X与 E（X）差的k 次幂的数学期xk f xdx ,望为 X 的 k 阶中心矩，记为k ，即kk=1,2,.对于正整数k ，称随机变量X 与 E（ X）差的 k 次幂的kE X.= xiE X kE X p i数学期望为X 的 k阶 中 心 矩 ， 记 为，k ，即ik=1,2,.kkE XE X .= xE X kf xdx,k=1,2,.第 14 页 共 27 页精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 14 页，共 27 页 - - -

33、- - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -切比雪夫不等式设随机变量X 具有数学期望E（X） = ，方差 D（ X）2= ，就对于任意正数 ，有以下切比雪夫不等式2P X2切比雪夫不等式给出了在未知X 的分布的情形下， 对概率P X（ 1）EC=C（ 2）ECX=CEX（2）的一种估量，它在理论上有重要意义；期望（ 3）EX+Y=EX+EY ， E 的性质nC i X i i 1nCi E X i i 1（ 4）EXY=EX EY，充分条件： X 和 Y 独立；充要条件： X 和 Y 不相关；（ 1）DC=0； EC=C2（ 2）DaX=

34、a DX ； EaX=aEX222（3）（ 3）DaX+b= aDX ； EaX+b=aEX+b方差（ 4）DX=EX-EX的性（ 5）DX± Y=DX+DY ，充分条件：X 和 Y 独立； 质充要条件： X 和 Y 不相关；DX±Y=DX+DY± 2EX-EXY-EY，无条件成立；而 EX+Y=EX+EY ，无条件成立；期望方差0-1 分布B 1, p pp 1p二项分布B n, pnpnp1p（4） 常见泊松分布 P 11p几何分布分布的期望和G ppp2nMnM1MNn方差超几何分布H n, M , N NNNN1匀称分布U a ,bab2ba 212指数分

35、布 e112第 15 页 共 27 页精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 15 页，共 27 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -正态分布N ,2 22 分布n2nt 分布0期望nnn>2n2E X xi p ii 1E X xf X xdxE Y ny j p jj 1EY yfY ydy函数的期望EG X ,Y EG X ,Y （5）2i二维方差G xi ,ijy j pijG x, yf x, ydxdy随机D X 变量 xiiE X 2 pD X xE X f X x dx的

36、数DY字特征 x jjEY 2 pDYj yE Y 2f Y ydy协方差对于随机变量X与 Y，称它们的二阶混合中心矩11 为X 与 Y 的协方差或相关矩，记为XY 或 cov X ,Y ，即XY11E XE X YE Y .与记号XY 相对应， X 与 Y 的方差 D（ X）与 D（ Y）也可分别记为XX 与YY ；第 16 页 共 27 页精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 16 页，共 27 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -相关系数对于随机变量X 与 Y，假如 D（ X）>0, DY>0 ，就称XYD X D Y 为 X 与 Y 的相关系数， 记作XY（有时可简记为）；| 1，当 |=1 时，称X 与 Y 完全相关：P XaYb1完全相关正相关，当负相关，当1时a1时 a0，0，而当0 时，称 X 与 Y 不相关；以下五个命题是等价的：XY0 ；协方差矩阵covX,Y=0;EXY=EXEY;DX+Y=DX+DY;DX-Y=DX+DY.XXXYYXYY混合矩对于随机变量X 与 Y，假如有E Xk Y l 存在，就称之为 X 与 Y 的 k