2014张宇考研高数冲刺班讲义

1、2014 考研高等数学冲刺班讲义目录目录备战攻略 1一、函数极限 2二、数列极限 3三、一元函数微分学 4四、中值定理 6五、一元函数积分学（重在计算） 8六、微分方程 10七、多元函数微分学 12八、二重积分（重在计算） 13九、级数（数学一、数学三） 15十、多元函数积分学（数一） 16备战攻略、手段与目的1、 手段全面总结（笔记+书）实战演练（模考题+真题）2、 目的查漏补缺科学预测、关于试卷1、 答题整洁、干净2、 答题顺序选择 填空 线代大题 概统大题 高数大题选择 +填空 60-70分钟大题 110-120分钟、函数极限常规题泰勒洛必达非常规题一一夹逼准则1x , 一 ,3、例 1

2、：求I=lim 1 f(t sint 1,1 t3 11n(1t)dtx 0 X 0其中f(u,v)具有连续偏导数，且f(tu,tv) t2f(u,v) (*) f(1,2) 0, f1 (1,2) 3分析I =1im1 f (x sin x 1, .11)1n(1 x3)f (x sinx 1, 1 x3 1)1n(1 x3)lim 3x20f1 (1 cosx) f2 0 lim ” 2 (II )求 ljm 0 1ntiln(1 t)ndt x3=ex 03x2112 f2 (1,2) 2e(*)式两边同时对t求偏导 f1(tu,tv) u f2(tu,tv) v 2t f(u,v) 取

3、 u 1,v 2,t 13(1,2) 1f2(12) 2 2 f(1,2)3 f2(1,2) 2 0 1I e4，一，、1n ,2n ,，、，、e，例2: (I)比较o(1 sin -t) dt与的大小，并说明理由;(II)求pm n! 1 (1 sin-t)ndt注(真题)11(I)比较 lntln(1 t)ndt与 lnttndt的大小例3： （8套卷）（I）证明积分中值定理5dx、2（11） 求 I= lim arctan nx x 11、重点不回避2、边角知识要考到3、计算量大、数列极限火逼准则定积分定义06年数一 (15)单调有界准则12年数二(21) 8套卷级数求和1 3例(i)证

4、明 x 7x sinx,x(0,T)62 I i、. i(H)求卜m (1 -)sin n i 1 n n分析令 f(x) sin x x 1 x361 9则 f(x) cosx 1 x2f ”(x) sin x x 0f (x)单增f (x) f (0) 0f(x)单增f (x) f (0) 0(ii)n(1i 1L)( ni n23j36n6)(1-)sin ni n2(1L) ni n2limn(1-) ni n2limnlimn10(1limnlimnn(1i 156n(1i 1(1(1_L)Un n n5x)xdx -. 3. 3I/ n 6nn(11) n.3 i一3 n61(10

5、limnx)x3dx(1L) nn.3 i-3 n3( ni2 n(13j36 6 )6ni、.-)sin n(1三、一元函数微分学导数定义 高阶导数 函数状态i 1i n2【例1】设f(x)在x0处可导,lim f(% n) f(x。n【分析】“先造函数，再取极限”i、.-)sin nn)(1都是收敛于0的正项数列，求已知f (Xo)f (X0)f(X0n) f(Xo)lim f (x0n) f (x0)0-f(Xo) 0(1)nf(Xon)f(Xo)f (Xo)n 0( n)(1 式)同理，f(X0n)f(X0)f (xo)lim0 n 0nfn) f(Xo)f(Xo) 0(1)f (Xo

6、(1) (2) f (Xo f (Xonn)f (Xo)f (Xo) n 0( n)(2式)n)f(Xon)f(Xo)( n n) 0( n) 0( n)n) f (Xon)f (Xo)( n n)0( n) 0( n)|0( n) 0( n)| |0( n)|0 n)|0( n)| |0( n)|nI f (Xo)【例2】士)(o)【分析】(2)yy、/Xn!11 ( 3X)5(1)nn o31)n 3531，n1 n nX_ 3n(3)由唯一性y(n)(。)( 1)n f n!5n 1【例 3】设 y x2 sin x ,求 y(n) (x)【分析】莱氏公式：n(n)i (k) (n k)

7、(u v) Cnu vk 0(sin kx)(n)knsin(kx n)2(n) y/ 2(n)(x sin x)sin x(n)n 2x (sin x)(n 1)暝 2 (sin x)(n 2)sin(x n) n 2x sin(x2(n 1) n(n 1)sin(x -(n 2)x2n(n 1)sin( x n) 2nxcos(x n), n 222,3,.四、中值定理好就未考：柯西常规题：“折腾区间”【例11 （8套卷）1 .x y设 y x 0 ,证明：| x y | 1x y e e【分析】y xxe ye 1x yey / y ex / x /11 1y xu/ e令 f(u) ,

8、g(u) u1 ,-,在x, y上用柯西 uyxe / y e / x11y x令 h(u) eu euu, u (x,y)u uuh(u) e e u e 0h(u)单减 h(u) h(0) 1,xb【例2】(i)设f(x)在a,b非负连续且不包为0,证明： f(x)dx 0a(ii)是否存在0,2上的可导函数f(x),满足f(0) 1,f(2)11,| f (x)| 1, 0 f(x)dx 1 ,说明理由【分析】设 x。a,b,使f(%) 0f(x。)0又 lim f (x) f (x0) 0x (x,xx x0进一步，0,使f(x) 0bx0x0f (x)dx f (x)dx dx 0

9、ax0x0),f(x) 0(ii)问法新颖，沉着应对x (0,1, X寸f (x)在0, x上用拉式定理f(x) f(0)f1( 1)x1 x f (x) f ( 1)x 1 1 x(2)x 1,2), X寸f (x)在x,2上用拉式定理f(2) f(x) f1( 2)(2 x)x 1 f (x) 1 f ( 2)(2 x) 3 x于是，122121o(1 x)dx 1 (x 1)dx o f (x)dx o f (x)dx f(x)dx o(1 x)dx21 (3 x)dx212)f(x)dx 0 f (x)dx 1 f(x)dx不存在满足题意的f (x)五、一元函数积分学（重在计算）基本法

10、：凑微分法、换元、分部、有理函数积分法用性质：奇偶性、周期性、绝对值函数特殊通法：区间再现法、Il+l2,I 1-I 2f (a b x)dxb如：（i）证明 f（x）dx a(ii)求 I 04 ln(1 tan x)dx【分析】bf (x)dxabx a b t a f(a b t)dtba f(a b x)dx(11)I 04 1n(1 tan x)dxt o41n(1 tan( x)dx0-(11 tanx、， )dx1 tanx04ln 21n(1 tan x)dxIn 2 041n(1 tan x)dxI -1n 2 I I 1n248n【例1】求 x|sin x|dx,n为正整数

11、i(i 1)x|sinx|dx0 2x2x2nt x (i 1) ot (i 1) sintdt i 1tsintdt(i 1)sintdt)(i【例2】1)(0证明:2)(n 1)dx(ii)计算dxe2 2、2(x 2)【分析】(i)2(0 e x dx)dxe(x2Doy2)d2y dy02d2rdr2(ii)r2 e|0x2,e dx 2(x2dx 2)2d(x2e22x(x2)|02x 2、e (x /2dxx2x(x2J。x2d(-) xx2e2x(x212|0x2e|02x2xdx2x(x1 2x22(x22)x2 .e dxx2e 2x2|02x 12x .2 e dx0六、微

12、分方程以方程为载体考综合体人咨按类求解，对号入座 计算超纲类型+附加条件【例11设q(x) 0,证明y【分析】q(x)y 0的任意非零解至多有一个零点。设方程的任意非零解为y(x)0,其至少有2个零点,记为x1, x2,不妨x, x (x1,x2),y(x) y(xi),y(x2)已知x2,且相邻0y(x1)Vlimx x1y(x)y(xi)y(x2)Vlimx x1y(x) y(x2) 0对y(x)在x1, x2上用拉式定理y()y(X2)y(xi) 0,(xi,x2)X2 xi但，y( ) q( )y( ) 0y( ) 0 矛盾故y(x)至多一个零点。，1 、【例2】设y y q(x)y

13、。有两个互为倒数的特解 力，丫2,求该方程的通 x解。【分析】(1)简单情形：若y1(x) a( 0)常数，y2工代入原方程 aq(x)a 0 q(x) 01y y 0 x试用 y x (1)x 2 x 22取y x2故y通 C1a C2x2,(a0, C1Q2)(2)一般情形:若y(x)不包为常数，则记y, y2代入原方程y1yJv：(y1 )23Vi(yyJy1 -y1x-22(y1)3Vi29必)2Vi1,-y1 Vi x2y1qy12x V1yJ1Vi xy1 y10q 0 y1.0Vi再取yi1 y1-(4)0 x y-ex，则 y22Ciex取左2xy-x2e2C2ex,(CiC)

14、七、多元函数微分学概念(可微、连续、偏导数)计算应用一多元函数极值、最值【例】设f(x,y)(a|x| x2y2 b)2、 sin(xy ),(x,y),(x, y)(0,0)在点(0,0)处(0,0)可微，(i)求常数a, b(ii)求 f y(0,0),【分析If yx(0,0)可微 连续连续：虾。f (0 Vx,0Vy 0Vy) f (0,0)即 Vxm0 aviVxiVy 0取 Vx (Vy)2(Vx)22(Vy)2 bVm0 a |Vy|(Vy)4(Vy)2 b畸 0b - 0 b2可微：0；limVx 0Vy 0Vz AVxBVy.,1(Vx)2 (Vy)2f x(0,0)limn

15、x 0f(x,0)f y(0,0)0limVX 0Vy 0f(Vx,Vy)(Vx)2 (Vy)2a.|VX|即：lim Vx 0Vy 0取 VX (Vy)2(Vx)2(Vy)22 sin(Vx(Vy) (Vx)2 (Vy)4.(Vx)2 (Vy)2a|Vy| (Vy)4 (Vy)2 1 lim -2 0Vy 0 |Vy| (Vy)2 1a 0；22则f(x,y)x2y4Sin(xy2),(x, y) (0,0) x y0,(x, y) (0,0)(ii)f 小0,0)fx(0,y) fx(0,0)fx(0,y) 2x(x2f x(x, y)|(0,y)y4) 2x(x2 y2) . / 2、

16、黄-4- sin(xy )(x y )2 x-2 x2y4 y/2、2 nicos(xy ) y |(0,y)f xy(0,0)lim 1，不存在y 0 y八、二重积分（重在计算）【例】求使fn（X，y）(x y)n x222 ，xx y2,x2y2y0在点（0,0）处连续的正整数0n。222(ii)对上述 n,计算 Infn(x,y)d ,D:x y 1当(x, y) fi(x, y)取y xf2(x, y)取y x(0,0)时,2xlim 2-，不存在，不连续Vx 0 Qv2Vy 0 (xy4(同阶)x ylimVx 0Vy 0(2x)22x2a y xVxm0 270Vy 0匚人不存在，

17、不连续；n 3寸,fn(x, y) (x2 y)2 x y(x y)2(x y)n222x 2xy y故 lim fn(x, y)Vx 0VxVyn(ii)03,4,5,.22x yfn(0,0)y2|xy| 2222x yIn(x y)nD345 d4,D:1rn(cos0sin2 r)nrdr1 nn22n345 (cos4sin )nd3454 n /sin (4)dn22 312 4t 5=n 44 sinntdt4n22nsinn tdt1)当 n 3,5,7,时 In 02)当n 4,6,8，时n 2221n 2 sin tdtn 0n 222 n 1 n 31. n n n 22 2九、级数(数学一、数学三)判敛收敛域（端点）展开与求和例：设f （x）x2 1arctan x, x0求麦克劳林展开式,x【分析】；n kxS(x) aSn anx(t)dt（收敛域）S(a)arc tan xarctan x1 2dt1 t2(n 0x 0f(x)1)n2n 1 x2n 11)n1(x 一)(x n 02n 2x1)n2n 1 x2n 11)n2n 12nx2n 11)n1)n