高等数学上册04极限存在准则与两个重要极限ppt课件

1、内容回顾内容回顾一、极限的运算法则一、极限的运算法则 1、极限的四则运算法则；、极限的四则运算法则； 2、复合函数的极限运算法则。、复合函数的极限运算法则。二、极限的性质二、极限的性质 1、唯一性；、唯一性； 2、局部有界性；、局部有界性； 3、局部保号性。、局部保号性。和和求求、设设)1()1(,)(1 ffxxf习题演练习题演练时时的的极极限限是是否否存存在在。并并说说明明它它们们在在时时的的左左右右极极限限，当当、求求函函数数00)(,)(2 xxxxxgxxxf、求下列极限：、求下列极限：3;122lim)1(221 xxxx;112lim)2(221 xxxx;21lim)3(22x

2、xxx ;1lim)4(42 xxxxx;)(lim)5(220hxhxh .11321211lim)6( nnn1221021021；答答案案：x、计算下列极限：、计算下列极限：4;1lim)1(0 xexx;arcsinlim)2(221xx;lim)3(21nne ;coslnlim)4(4xx ;131lim)5(1 xxxx.lim)6(axaxax 0222ln21162；答答案案： 主要内容：主要内容：一、极限存在准则一、极限存在准则二、两个重要极限二、两个重要极限 第一章第一章 函数与极限函数与极限 第四节第四节 极限存在准则与两个重要极限存在准则与两个重要极限极限一、极限存在

3、准则1.夹逼准则夹逼准则准准则则 如如果果数数列列nnyx ,及及nz满满足足下下列列条条件件: :,lim,lim)2()3 , 2 , 1()1(azaynzxynnnnnnn 那那末末数数列列nx的的极极限限存存在在, , 且且axnn lim. .上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限注意注意: :.,的的极极限限是是容容易易求求的的与与并并且且与与键键是是构构造造出出利利用用夹夹逼逼准准则则求求极极限限关关nnnnzyzy原则原则 I和准则和准则 I称为夹逼准则称为夹逼准则.例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11

4、112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夹逼定理得由夹逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnnx1x2x3x1 nxnx2.单调有界准则单调有界准则满满足足条条件件如如果果数数列列nx,121 nnxxxx单调增加单调增加,121 nnxxxx单调减少单调减少单调数列单调数列准准则则 单单调调有有界界数数列列必必有有极极限限.几何解释几何解释:AM例例2 2.)(333的的极极限限存存在在式式重重根根证证明明数数列列nxn 证证,1nnxx 显然显然 ;是单调递增的是单调递增的nx, 331 x又又,

5、 3 kx假假定定kkxx 3133 , 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2131 AA解解得得(舍去舍去).2131lim nnxAC二、两个重要极限(1)1sinlim0 xxx)20(, xxAOBO 圆圆心心角角设设单单位位圆圆,tan,sinACxABxBDx 弧弧于是有于是有xoBD.ACO ，得，得作单位圆的切线作单位圆的切线,xOAB的圆心角为的圆心角为扇形扇形,BDOAB的高为的高为 ,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也也成成立立上上式式对对

6、于于 x,20时时当当 x, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx例例3 3.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 1) 1sin(lim. 22sinlim . 1231xxxxxx计算下列极限计算下列极限随堂练习(2)exxx )11(lim定义定义ennn )11(limnnnx)11( 设设 21! 2)1(1! 11nnnnn).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!)1()1(

7、).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(! 21111 nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 显然显然 ;是是单单调调递递增增的的nx!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ennn )11(lim记为记为)71828. 2( e类似地类似地,1时时当当 x, 1 xxx有有,)11()11()111(1 xxxxxx)11(lim)11(lim)11(lim1xxxxxxxx 而而, e 11)111(lim)111(lim)111(lim xxxxxxxx, e .)11(li

8、mexxx , xt 令令ttxxtx )11(lim)11(limttt)111(lim )111()111(lim1 tttt. e exxx )11(lim,1xt 令令ttxxtx)11(lim)1(lim10 . e exxx 10)1(limttttttttttttt)111()111()1()1()11( 例例4 4.)11(limxxx 求求解解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e 例例5 5.)23(lim2xxxx 求求解解422)211()211(lim xxxx原原式式.2e 内容小结内容小结1.两个准则两个准则2.两个重要极限两个重要极限夹逼准则夹逼准则; 单调有界准则单调有界准则 .; 1sinlim10 xxx、;)11(lim2exxx 、.)1(lim10exxx 习题演练xxx1sin1211lim1、计算、计算、计算下列极限：、计算下列极限：2,2tanlim)1(0 xxx),0(sinsinlim)2(0 xxx,sin2cos1lim)4(0 xxxx ,sinlim)5(nxnn ,cotlim)3(0 xxx x；答答案案：2121 、计算下列极限：、计算下列极限：3