第2节多元函数的概念PPT学习教案

1、会计学1第第2节多元函数的概念节多元函数的概念2一、二元函数的定义与几何意义例2在西方经济学中，著名的CobbDouglas生产函数为, LAKy L0，K0分别表示投入的劳力数量和资本数量，y表示产量.当K,L的值给定时，y就有一确定值与之对应，因此称y是K,L的二元函数. 以上是多元函数的实例，下面给出二元函数的定义. 这里 为常数， ,A第1页/共18页3 设设 D 是是平平面面上上的的一一个个点点集集，如如果果对对于于每每个个点点DyxP ),(， 变变量量z按按照照一一定定的的法法则则总总有有确确定定的的值值和和它它对对应应，则则称称z是是变变量量yx,的的二二元元函函数数，记记为为

2、 当当2 n时时，n元元函函数数统统称称为为多多元元函函数数. 类似地可定义三元及三元以上函数 多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念. 定义, ),(yxfz Dyx ),(一、二元函数的定义与几何意义第2页/共18页4二元函数的图形通常是一张曲面.第3页/共18页5xyzoxyzsin 再如,图形如右图.2222azyx 例如,球面.| ),(222ayxyxD 222yxaz 222yxaz 单值分支:第4页/共18页6解 01|3|222yxyx 22242 yxyx所求定义域为., 42| ),(222yxyxyxD 求222)3arcsin(),(yxyxyxf 的定义

3、域例3xyo22第5页/共18页7设设二二元元函函数数),(yxfz 在在点点),(000yxP的的某某一一去去心心邻邻域域内内有有定定义义, ,如如果果存存在在常常数数A，对对0 , ,0 , ,只只要要 2020)()(0yyxx, ,恒恒有有 定义， |),(|Ayxf则称函数则称函数),(yxfz 当当),(),(00yxyx时以时以A为极为极限限, ,记为记为 .),(lim),(),(00Ayxfyxyx 第6页/共18页8证证明 .01sin)(lim2222)0 , 0(),( yxyxyx|01sin)( |2222 yxyx|1sin|2222yxyx ，22yx , 0

4、, ，时时当当 )0()0(022 yx， |01sin)( |2222yxyx证毕例4恒有无穷小乘以有界变量仍为无穷小.第7页/共18页9例52222)0,0(),(cos1limyxyxyx 2222)0,0(),(2/ )(limyxyxyx .21 在二元极限中，变量替换、等价无穷小替换等方法仍然可以使用.第8页/共18页10例6求 .lim222)0 , 0(),(yxyxyx 解由基本不等式, )(21|22yxxy 知|)(|21|2222222yxyxxyxyx |2|x 00)0 , 0(),(yx由夹逼定理，.0lim222)0 , 0(),( yxyxyx第9页/共18页

5、11 在一元函数的极限中在一元函数的极限中, ,0 xx 的方式可以任意； 同理的方式可以任意； 同理, ,在二元函数的极限中在二元函数的极限中, ,),(),(000yxPyxP的方式更为的方式更为复杂复杂, ,它要求它要求P以任何方式趋于以任何方式趋于0P时时, , ),(yxf均趋于均趋于A. .因此因此, ,假如假如P以不同的方式趋于以不同的方式趋于0P时时, ,),(yxf趋于不趋于不同的极限同的极限, ,则说明则说明),(yxf当当0PP 时无极限时无极限. . (1) 令令),(yxP沿沿kxy 趋趋向向于于),(000yxP, 若若极极限限值值与与 k 有有关关，则则可可断断言

6、言极极限限不不存存在在； 确定二重极限不存在的方法：(2) 找两种不同趋近方式，使找两种不同趋近方式，使 存在存在, 但两者不相等但两者不相等, 此时也可断言此时也可断言),(yxf在点在点),(000yxP处处极限不存在极限不存在 ),(lim),(),(00yxfyxyx第10页/共18页12考考察察22),(yxxyyxf 当当)0 , 0(),(yx时时的的极极限限. . 但但如如果果沿沿射射线线)0( kkxy, ,则则 因因此此, ,当当)0 , 0(),(yx时时, ,22yxxy 无无极极限限. . 例7解沿 x 轴考察, ，0),(lim0 )0 , 0(),( yxfyyx

7、沿 y 轴考察, ，0),(lim0 )0 , 0(),( yxfxyx22 )0 , 0(),(limyxxykxyyx 22220limxkxkxx ，012 kk第11页/共18页13设设二二元元函函数数),(yxfz 在在点点),(000yxP的的某某一一邻邻域域内内有有定定义义, ,若若 定义，),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx 则则称称),(yxfz 在在),(00yx处处连连续续. . 一切二元初等函数在其定义域内都是连续的.例如，函函数数221yxz 在在1| ),( 22 yxyxD 内连续. 第12页/共18页14由由例例 7 知知, , 22yxx

8、y 当当)0 , 0(),(yx时时无无极极限限, , 讨论函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在(0,0)的连续性例8故在故在)0 , 0(处不连续处不连续. . 第13页/共18页15在在)0 , 0(处处连连续续. . 注意比较： 0, 00,),(2222222yxyxyxyxyxf(见例6)讨论函数在(0,0)的连续性例8 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf第14页/共18页16xyxyyx11lim)0 , 0(),( )11(11lim)0 , 0(),( xyxyxyyx111lim)0 , 0(),( xyyx.21 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.例9所以对多元初等函数来说, 可以用“代入法”求极限.yxxyyx elim)1 ,0(),(.1 例10第15页/共18页17二元连续函数的性质（3）最值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D上有界