专题1+由面面垂直引发的证明问题案例-备战2018高考数学棘手问题大归纳与大通透+版含解析

1、专题01thUllil垂直”引发的证明问题案例1.在如图如示的多面体中，平面AEFD_L平面BEFC,四边形AEFD是边长为2的正方形，EFIIBC,一一1一-且BE=CF=BC=2.2(1)若M,N分别是AE,CF中点，求证：MN/平面ABCD(2)求此多面体ABCDEF的体积【答案】(1)见解析(2)V=8匝3【解析】试题分析：(1)在平面UDF中，作加交DC于连接也，根据条件可得四边形皿仃是平行四边形,千是AH,由线面平行的判定定理可得结论成立.C)结合图形将条面体四CDW的体积分为%.比4口皿两部分求解，由题意分别求得两个椎体的高即可.试题解析：(1)证明：在平面CDF中，作NH_LC

2、F交DC于H，连接AHM,N是AE,CF中点，且AEFD是正方形，1一二NH/DF,NH=DF,21又AM/DF,AM=DF,2二NH=AM,NH/AM,四边形AMNH是平行四边形,二MN/AH,又AH仁平面ABCD,MN红平面ABCD,mMN/平面ABCD.(2)解：如图，连BD,BF,过F作FGLEF,交BC于点G.丁四边形befc是等股梯形,ACG=1,FG=.2丁平面空ED，平面EERC"平面的Dc平面刀即。=昉，FG1EF,DF1EF,GF_L平面/FED,DF，平面BERC.二勿fl=-5AnCF-PF=ixix4x73x2=,JLr-uL'J?aLEfIL*&#

3、165;7,口.以布=L2*2地=姓873T3止万？3.3故多面体的CD即的体积产一5CF+弓?tBTO2.如图，在斜三棱柱ABC-ABC中，侧面AABiB,底面ABC侧棱AA与底面ABC成600的角，AAi=2,底面ABC是边长为2的正三角形，其重心为G点。E是线段BC上一点，且BEBC.(1)求证：GE/侧面AABiB;(2)求平面BGE与底面ABC所成锐二面角的正切值.【答案】（i）见解析；（n）23.3【解析】试题分析：（1）延长BE交BC于F,根据所得的ABEGsAFEB可证得F为BC的中点，结合G为AABC的重心，可得GEAB,根据线面平行的判定定理可得结论成立.（2）在侧面AAB

4、B内，过Bi作BHAB于H,过H作HTLAF于T,连BiT,根据二面角的定义可得ZBTH即为所求，解三角形可得正切值为23试题解析：Q）延长B正交BC于F,则ABiECiAFEB,'BE=EC,，F为BC的中点.TG为AAEC的重心，儿GF三点共线，且FGFE西一函一3/.GE/ABi,又GEcX侧面AAiBiB；ABiU侧面AAiBiB,.GE/侧面AABB.(2)在侧面AABiB内，过Bi作BHLAB,垂足为H,侧面AABiB,底面ABG侧面AABBC底面ABC=AB,，BiH，底面ABC又侧棱AA与底面ABC成600的角，AAi=2,，/BiBH=60°,BH=1,Bi

5、H=用.在底面ABC内，过H作HT，AF于T,连BiT.由三垂线定理有BTXAF,又平面BiGE与底面ABC的交线为AF,为所求二面角的平面角.AH=AB+BH=3,/HAT=30。,.HT=AHsin30Q=2，2在RtAB】H丁中,2即=篝=咨即平面BiGE与底面ABC所成锐二面角的正切值为3.如图，在四棱锥PABCD中，平面PAB_L平面ABCD,AB_LBC,ADBC,AD=3,PA=BC=2AB=2,PB=出.（I）求证：BC_LPB；（n）求二面角P-CD-A的余弦值；（出）若点E在PA上，且BE平面PCD,求线段BE的长.【答案】（I）见解析.（n）如.（出）53【解析】试题分析

6、：第一问根据面面垂直的性质和线面垂直的性质得出线线垂直的结论，注意在书写的时候条件不要丢就行；第二问建立空间直角坐标系，利用法向量所成角的余弦值来求得二面角的余弦值；第三问利用向量共线的关系，得出向量的坐标，根据线面平行得出向量垂直，利用其数量积等于零，求得结果.(I)证明：因为平面PAB，平面ABCD,S且平面PABn平面ABCD=AB,因为BC，AB,且BCu平面ABCD所以BC，平面PAB.因为PBu平面PAB,所以BC±PB.(n)解：在PAB中，因为PA=2,PB=J3,AB=1,所以A建立空间直角坐标系刀-秘，如图所示.所以/(一1£0卜2(000卜CpZO),

7、D(L3,0),尸(Q(X招卜=(-LL。)，正=(oj电易知平面ABCD的一个法向量为用=(Q0,1).即设平面PCD的一个法向量为心=(见乂z),/M-PC02y=yl3z令z=2,则m=(石石2).10设二面角P-CD-A的平面角为a,可知口为锐角,cosa=cos(n,m)='=|n|m|,3+3+45即二面角P-CD-A的余弦值为上”.5(III)解：因为点牙在棱RG所以万=4万，AeOJ.因为据(g®所以存=(几0：四)>赤=诙+万=(7-1,0,招4).又因为刀王"平面产，布为平面尸5的一个法向量，所以而m=0>即+2之=0,所以尤=.所以

8、而=|二6等)，所以刀豆=庐司=*.4.如图所示的几何体中，四边形BCQB1为正方形，AD/BB1,平面ABCL平面BCQB1,AB=AC=/2,AD=1,/ABC=45。(1)求证：AB!CD(2)求点C到平面DB1cl的距离。【答案】(1)见解析；(2)J2【解析】试题分析：(1)三角形ABCf可得AB_LAC；由题意可得CC1.L平面ABC，进而CC11AB,故得AB_L平面ACD,于是可证得AB_LCD.(2)取BC的中点QB1C1的中点M连接DQDMOM在三角形DOMK可证得DO_LDM；在三角形DB1cl中，可得DM_LB1C1,故可得B1C1_L平面DOM,于是得DO1B1C1,

9、从而得到DO，平面DB1C1,又由BC|_平面DBC1得点C到平面DB1G的距离为DO=&.试题解析：(1)证明：在三角形ABC,AB=AC=J2,/ABC=45-.BAC=90,AB_LAC. 平面ABC_L平面BCQBi,平面ABCc平面BCCiB=BC,CCi_LBC,CC1_L平面ABC,又ABu平面ABC,CC1_LAB.又ACFC1=C,AB_L平面ACD,又CDu平面ACD,AB_CD.(2)解：如图，取BC的中点QBG的中点M连接DQDMOM在三角形D0V中，DO-DMOM-2DO1+DM1MO1,ODM=90口，,DO1DM,又在三角形DB1cl中，DB1=DC1,

10、DMBiCi,又OM_B1c1,OM-DM二M, BG，平面DOM,DOB1c1,又ODcDM=D,DO_L平面DB1G.BC|_平面DBC1,，点C到平面DB1cl的距离为DO=J2.5.在四棱锥P-ABCD中，平面PAD_L平面ABCD,AB/CD,AB_LAD,O为AD中点,PA=PD=AD=AB=2CD=2.(1)求证：平面POB_L平面PAC;(2)求二面角A-PC-D的余弦值.【答案】(1)见解析;(2),10535【解析】试题分析：(1)由RtAADC©RtABAO并结合平面几何知识可得AC_LBO.又由PO_LAD及平面PAD_L平面ABCD可得PO_L平面ABCD,

11、于是得AC-LPO,由线面垂直的判定定理可得AC_L平面POB,进而可得平面POB_L平面PAC.(2)根据PO_LAD,建立以O为坐标原点的空间直角坐标系，通过求出平面PAC和平面PDC法向量的夹角并结合图形可得所求二面角的余弦值.试题解析；(1)由条件可知,RthADCRtBAO?.ZDAC=ZABO,二ZDAC+ZAOB=ZABO+ZAOB=90。,.AC1BO.-PA=PDf且。为如中点“：.PO±AD.;平面P4D_L平面4BCD,平面凡4Dc平面加CD=4DpPO±AD二PO_L平面ABCD.又ACu平面ABCD,aAC_LPO.BBO-PO=O,二AC_L平面

12、POB.AAC仁平面PAC,平面POB_L平面PAC.(2)由(1)知PO_LAD,以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则产(0Q2),/(LQO"少(TO.%C(-LLO),/=(1.0-2),C=(-2;L0),PD=(1£-2),丽=(OLO)，设%=(xytz)为平面PAC的一个法向量，1PA=x-2z=D曰/=丁由11>得:2AC=-2x+y=0_丘令工=2,得%=(241).同理可得平面PDC的一个法向量%=(一工0),-310535由图形知二面角A-PC-D为锐角,二面角A-PC-D的余弦值为乂105356.如图1,在矩形ABCD中，

13、AB=2,BC=4,E为AD的中点，O为BE的中点.将ABE沿BE折起到ABE，使得平面ABE_L平面BCDE(如图2).图1图2(I)求证：A'O_LCD；(n)求直线A'C与平面A'DE所成角的正弦值；AP(m)在线段AC上是否存在点P,使得OP/平面ADE?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.AC【答案】（i）证明见解析；（n）玄；（田）1.32【解析】试题分析：（I）根据等腰三角形的性质可得AO1BE,由平面ABEJ,平面BCDE可彳导AO±平面BCDE,从而可得AO_LCD；（n）取BC中点为F,连结OF,由矩形ABCD性质,AB=2,BC=4,

14、可知OF_LBE,由（i）可知，AO_LBE,AO_LOF,以O为原点，OA'为z轴，OF为x轴，OE为y轴建立坐标系，求出平面ADE的一个法向量及直线AC的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果；（出）假设在线段AC上存在点P,满足OP/平面ADE,设理“RC（0W九W1）,禾用直线与平面的法向量垂直，数量积为零，列方程求解即可.试题解析：（I）如图，在矩形期5中，AB=2C=4fE为中点,=二0为方王的中点、，:厉由题意可知，ArO±BE平面平面3平面ABEc平面BCDE=BE,A'Ou平面A,BE,图*CD仁平面BCDE,<ID取HC中点为连结由矩形4

15、SCD性质，AB=zEC=4,可知OF出E,由（I）可知，±BE.AfO±OF,学喇网以。为原点，CW为工轴r0?为无轴，OX为尸轴建立坐标系,在直抬fiXE中，由期=2：/E=2,则/豆=2或=OZ=J5,胞，（0闾闻6戊0）尸（"叫.川0,-0）,。（271五0。（62710港=（Q立-闾设平面HDE的一个法向量为rn=(x,z),则mW=0，/丫-号=0令y=z=l,则x=.l,mED=0.2x、2y=0所以M=(1,1,1),设直线AC与平面ADE所成角为9,cosACm1,2所以直线AC与平面ADE所成角的正弦值为(Ill)假设在线段HC上存在点P，满足

16、。尸"平面ADE设而=人就(0K/IW1),由次=(%反,所以7?=(2JLUQZ"4),尸卜应儿&九母一及八夜=(iTLtd叵儿&-"),若0P/平面AfDEm-OP=Q,所以一2衣i+2A+点一及/=0,解得/=：eQ1,所以7.如图1,在梯形ABCD中，BC/AD,BC=1,AD=3,BE_LAD于E,BE=AE=1.将ABE沿BE折起至|_ABE,使得平面ABE_L平面BCDE(如图2),M为线段A,D上一点.图l图2(I)求证：A'E_LCD；(n)若M为线段AD中点，求多面体A'BCME与多面体MCDE的体积之比；(出)

17、是否存在一点M,使得A'B/平面MCE?若存在，求A'M的长.若不存在，请说明理由.【答案】(I)证明见解析；(n)2:1；(出)3【解析】试题分析：(I)折起后仍有A'E_LBE,由面面垂直的性质可得A'E_L平面BCDE,；CDU平面BCDE,二A'E_LCD；(n)直接求出三棱锥M-CDE的体积，利用分割法求出1OD2Va,BCME=VCAE忧V,ABC音，从而可得结果；(出)根据三角形相似可得=一，由线面平行的性质定3BD3理可得A'B/OM,由中位线定理可得OM/A'B，二A'MBO1A'D=一，二在BD3RA&

18、#39;ED中，1，=21=1,211-32A'ESDCEVA'_BCE1-&AESBCE3A'D=,5,.A'M=立3试题解析：(I)在梯形3CD中，因为方豆_LKE,所以4EJ3后丫平面dBE_L平面BCDE,BE=平面HBEr平面BCDE、丫K'E仁平面H3瓦二E_L平面3CDE,丫CDu平面夕CDE,二4'矛，CD.(n)：M为A'D中点,_，_1二M到底面BCDE的距离为一A'E,21在梯形ABCD中，SDCE=-DEBE'：A'E_LDE,.在RJA'DE中，*a，emAA'E_

19、L平面BCDE,A'E二平面A'DE,，二平面A'DE_L平面BCDE,BE_LED,平面A'DEc平面BCDE=ED,BC/AD,，C到平面A'DE的距离为BE=1.-VCAEM1。匚o二=BESA'EM36，VA'BCME=VCA'EMVA'BCE(出)连结BD交CE于O,连结OM,A'在四边形BCDE中,图I-ECIIDE,飞B06G0E、OD2»-1._7BD3：A'BH平面CME,平面/3Dc平面CEM=OA/,.A'BHOM,在J'RD中，OMHWB,AM_B0_1_H

20、D_而一才-A'E=lDE=2zAlE±EDr二在五以HED中,A'D=出二M=吏38 .如图，在四棱锥PABCDK底面ABC比菱形，/ADG=60°,侧面PDB正三角形，平面PDC1平面ABCDCD=2,M为PB的中点.（1）求证：PA1平面CDM（2）求二面角D-MC-B的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）巫5【解析】试题分析:（1）取DC中点Q连接PO根据题意可证得OAOCOP两两垂直，建立空间直角坐标系，运用坐标法可II=（石,0,J3）,求出两向量夹角证彳导PA_lBM,PA_lDC,从而PALDMPALDC根据线面垂直的判定定理可得结论.（2）

21、结合（1）可求得平面BMCJ一个法向量n=（-1,J3,1）,又平面CDM勺法向量为PA的余弦值，结合图形可得二面角的余弦值.试题解析:(1)取DC中点Q连接PO.侧面切口是正三角形,：.P01DCr又平面；DC_L平面ABCD?平面PDCFi平面ABCD=DCf二产。，底面屋.又底面或色为菱形j且4DC=6C。DC=2f由。=LOALDC.以。为原点，分别以山，口68所在直线为了轴，了轴，£轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.则A(点,0,0),P(0,0,屈JB(73,2,0),C(0,1,0),D(0,-1,0),M,1,，I22)=(0,2,0卜.PADM=0,PAD

22、C=0PA±DMPA!DC又DMTDC=D,PAI平面CDIM(2)由(1)得CM=I盘,0,CB=(石,1,0),I22J设平面BMC勺一个法向量n=x,y,z,度山告富0nM=、3xy=0x=z,得一y=,3z令z=i,得n=(_i,"3,i).由图形知二面角D-MC-B是钝角,所以二面角D的余弦值为一半.9 .如图所示，以A、B、C、D、E为顶点的六面体中，AABC和MB口均为等边三角形，AB=8,且平面AKJ平面ABD,EC_L平面ABC,M是AC的中点，连接DM.(I)求证：DE1AH；(n)求证：DMII平面BCE.（出）求三棱锥DfBE的体积.【答案】（I）见

23、解析；（II）见解析；（出）27.【解析】试题分析：（I）取AB的中点F,连结CF,DF,根据正三角形的性质可得DF1AB,CF1AB,从而得Am_L平面DCF,由面面垂直的性质得DFJ.平面ABC,可得从而DF|IEC,，C、E、D、F四点共面，DE仁平面DCF,-ABIDE；（n）连接MF,由MJ=是中点，由M,F是中点可得MFIHC,又DF|EC,可证明平面DMF|平面BCE,从而可得结果；(出)先证明E到平面AHD的距离等于CF,求出CF=DF=入口，三棱锥D-ABE的体积GaL$mbd'CF=；9,k3而=27.试题解析：(I)取AB的中点F,连结CF,DF.丁AAHC和AA

24、BD均为等边三角形，J.DF_LAB,CF1AB,又CFCDF=F,"Bl平面DO.丫平面ABC，平面ABD,DF1AB,所以DF1平面ABC,又因为ECJ平面ABC,从而MilEC,二C.E,D、F四点共面，"EU平面DOSaABIDE(n)连接MF,由M尸是中点可得MFIIBC,又DFIIEC,MF门DF=F，所以平面DMF|平面BCE,iDM仁平面DMF,，DMI平面BCE；(m)平面ABCJ-平面ABD,CF1AB,所以CFJ.平面ABD,又DF|EC,，E至l平面AB口的距离等于CF,在等边AABC和AABD中，AB=6,CF=DF=,11L温D=/B所=丁八以=

25、瑜，11-所以三棱锥口-ABE的体积廿口退=-5林耻,0=-其9机*知3=27.U-rnDr3+R0U3«VN10.如图，直角梯形BDF附，EF/BD,BE_LBD,EF=2应，等腰梯形ABC中，AB/CD,AC_LBD,AB=2CD=4,且平面BDFE_L平面ABCD.(1)求证：AC，平面BDFE；(2)若BF与平面ABCD所成角为:，求二面角B-DF-C的余弦值.2【答案】(1)见解析(2)3【解析】试题分析：(1)直接利用面面垂直的性质定理可证；(2)设ACcBD=0,计算后可证OF/BE,从而由已知可证O吐平面ABCD因此可以OAOBOF为坐标轴建立空要间直角坐标系，利用向

26、量法求二面角.试题解析：(1)；平面AD尸牙，平面AC±BDf平面ADF&C平面48CD=刖，又/Cu平面.，C_L平面ADFffijr2设/CcAD=。，：四边形期CD为等腰梯形，ZDOC=-tAB=2CD=4,2：0D=OC=龌3=0庆=2&,7座”03,，四边形占为平行四边形，0F万E,又,方平面."CD,QF_L平面且BCD,二NEBO为3F与平面国CD所成的角咫0=2,4又：*0B=L：,OF=OB=m,2以。为原点，CM为x轴，QS为尸轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系,则B（0,2底0）,D（0,-拒,0）,F（0,0,2亚）C（一直0,0）,

27、A（260,0）,b=（0,叵2应=（后-72,0）,AC_L平面BDFE，平面BDF的法向量为（1,0,0卜设平面DFC的一个法向量为A=（x,y,z卜n=（2,2,i）,由工厂得华+2年0CD片=0,2x2y=0cosnAC=j2=2，二面角B-DF-C的余弦值为,亿222212311.如图，在三棱柱ABCABC中，AABG为边长为2的等边三角形，平面ABG_L平面AACC,四边形AAC1c为菱形，/AAC1=601AG与AC相交于点D.（1）求证：BD_LAC;（2）求二面角C1-AB-C的余弦值.【答案】（1）见解析（2）5【解析】试题分析：（1）根据菱形的性质可得BD_LAC1,根据

28、平面ABC1.L平面AA1C1C，可得D_L平ABC与平面ABG的一个法向量，根据面AACC，.二BD_LAC;（2）以D为原点，以DA,DB,DC所在直线分别为X轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，分别根据向量垂直数量积为零列方程组，求出平面空间向量夹角余弦公式，可得二面角C1-AB-C的余弦值.试题解析：(I)已知侧面出(iG。是菱形,D是的中点，'BA=BC1,，如_L/G因为平面N5G，平面4(1GC,且3。仁平面ABG，平面c平面44G。二，(2)如图，以D为原点，以DA,DB,DC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系,由已知可得AC1=2,AD=1,BD=AD=D

29、C=、3,BC=、/6D0,0,0,A1,0,0,B0,0,.3,Ci-1,0,0,C0,、.3,0设平面ABC的一个法向量m=x,y,z,AB=-1,0,3,BC=0,3,-3由ABmQfBCm=0,得,可得汤=41)因为平面ABC】_L平面/4GC,4GJ-4C,.CD_L平面MG所以平面国G的一个法向量是诙=9lo)/-cosm.BD=mDC司DC即二面角C.-AB-C的余弦值是；.,平面ABCDJ_平面CDEF,12.如图，在五面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，EF口DCAE.LCF.(1)求证：CF_LDE；(2)若CF=DE,DC=2EF=4,求五面体ABCDEF的体积.一

30、，一20【答案】(1)见解析(2)3【解析】试题分析：CF_LAD,这可由面面垂直的(1)要证线线垂直，可先证线面垂直，已知有AE.LCF,因此只要再证性质定理得AD_L平面CDEF,从而得到结论；,它们的高易作出，分别求出体(2)这个多面体可分拆为一个三棱锥A-DEF和一个四棱锥F-ABCD积即可.试题解析：(I)因为平面平面CDEF,平面HBCDn平面CDEF=CD,ADlCD,所以4D1平面CDEF,又CF平面CDEF,则AD1CF.又因为AE1CF,ADCiAE=A,所以CF1平面AED,DE平面AED?从而有cfLde.(n)连接FA,FD过F作FMLCDFM因为平面ABCD_

31、65;面CDEFt交线为CDFMLCD所以FML平面ABCD因为CF=DEDC=2EF=4,且CF，DE所以FM=CM=1,所以五面体的体积V=VF-abcctI-%DEF=1.33313.如图，在四棱椎P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，平面PCD1平面ABCD,二面角PADC为30',PC=2.求证：PD_L平面PBC;(2)求二面角A-PB-C的余弦值.【答案】(1)见解析(2)2匹19【解析】试题分析：(1)由平面PCDL平面ABCDT彳#ADL平面PCD从而可得PDLAQ所以彳#到/PD5为二面角RADC的平面角，故/PDC=30°,在PDO43,由余弦

32、定理可得PD=2有，所以PD+PC2=CD,可得PDLPC进而可得PDLBC由线面垂直的判定方法可得PDL平面PBC(2)建立空间直角坐标系，由(1)可知，DP是平面PBC勺一个法向量，可求得平面PAB的一个法向量H=(J3,0,4),根据两平面的法向量的夹角的余弦值可得二面角的余弦值.试题解析：(1)因为平面pcd_L平面幺BCD,平面peon平面4adLcd,所以皿_1平面PCD,又PD平面PCD贝iJPDUDj所以NPDC即为二面角的平面甬,所以40。二3伊/在尸DC中,由余弦定理可得PD=2出，所以所以PDLPC又因为PDLAD,AD/BC所以PDLBC又因为PSBC=C,所以PDL平

33、面PBC(2)以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,贝ll项0-0,0）-4（4,（h0）,6（440”Q0,4,0），RO,3,曲,所以凉=。3,6L*=（一4,3,声）前=（b4,0）由（1）可知，历是平面尸的一个法向量.设平面PAB的一个法向量为n=（xj:z）花jfP=yx+3)+3z=0_za2=-=x由一、可得(也，从羽=4%0令工二相，得商=（"0,4）所以8s（无D尸）=nDP219又由图形可得二面角4PB.c为钝角,所以二面角A%-C的余弦值为誓.14 .如图,在四B隹A-BCDE中，底面BCDE为正方形，平面ABE_L底面BCDE,AB=AE=BE,

34、点M,N分别是AE,AD的中点.（I）求证：MN/平面ABC;（n）求证：BM，平面ADE;（出）在棱DE上求作一点P,使得CP_LAD,并说明理由.【答案】（I）见解析；（n）见解析；（出）见解析.【解析】试题分析：（I）证明MN/BC.即可得到MN/平面ABC.（n）证明DE_LBM.和BM_LAE.即可证明BM_L平面ADE.（出）取BE中点F,连接AF,DF,过C点作CP_LDF,交DE于点P,则点P即为所求作的点.试题解析：（1）因为点拉，N分别是AE*AD的中点，所以MNMDE.因为四边形为正方形所以3c"DE所以M2V/ABC因为MVu平面HSC,3c仁平面饵（7,所以

35、平面dBC.（II）因为平面A6占"L底面8cDE,DEXBE,所以。后，平面/5E因为看Afu平面所以DERAT因为=点M是/E的中点，所以比因为刀=DEu平面4D左,/Eu平面/。牙，所以3M，平面血）E（出）取BE中点F,连接AF,DF,过C点作CP_LDF,交DE于点P.则点P即为所求作的点.理由：因为AB=AE=BE，点F是BE的中点，所以AF1BE.因为平面ABE_L底面BCDE,所以AF_L平面BCDE.所以AF_CP.因为CP_LDF,AFcDF=F，所以CP_L平面ADF.因为AD仁平面ADF，所以CP_LAD.15 .如图，菱形ABCD与等边PAD所在的平面相互垂

36、直，AD=2,/DAB=60，点E,F分别为PC和AB的中点.（I）求证：EF/平面PAD（n）证明：AD_LPB;（m）求三棱锥P-FDE的体积.1【答案】（i）见解析；（n）见解析；（出）-.2【解析】试题分析：（I）设PD的中点G,连结GE和GA,由中位线定理可得GELAF,从而四边形AEFG为平行四边形，GA|_|EF,由线面平行的判定定理可得结论；（n）由LPAD为等边三角形得PO_LAD,由四边形ABCD为菱形，可得BO1ADA,从而AD_L平面PBO,进而可得结论；（出）根据“等积变1.换可信Vp_fde=Vc_fde=Ve_edc=Vp丰DC,由面面垂直的性质可得PO_L平面A

37、BCD，.二PO为二梭2锥P-DFC的高，根据棱锥的体积公式可得结果.试题解析：（I）取PD的中点G,连结GE和GA,贝AF-CD.GEAF=2=2=，四边形AFEG为平行四边形，,Il昉:/Gu平面PAD,EFU平面PADJEF”平面PAD(n)取AD中点O,连结OP,OB,因为|_PAD为等边三角形，所以PO_LAD.因为四边形ABCD为菱形，所以AB=AD,又因为/DAB=60©,所以LABD为等边三角形,所以BO_LAD.因为OPcOB=O,所以AD，平面PBO,因为PB仁平面PBO，所以AD_LPB.(Ill)连结FC,：PE=EC,产vvP-fDEFg-WCX1四边形zt

38、BCD为菱形，且=.平面尸且DJ_平面/BCD,平面P/tDc平面地8=40、POu平面P/D,，PO，平面ABCD>，尸。为三棱锥PQFC的高.，产。二4尸/4一C*，二42一二苍80=，版一0笛7片_?二&xPO=-x16 .如图，在四棱锥PABCD中，BA/CD,CD=2BA,CD_LAD,平面PAD_L平面ABCD,APD为等腰直角三角形，PA=PD=J2.（I）证明：PB_LPD；_，_4.（n）若三棱锥B-PCD的体积为一，求ABPD的面积3【答案】（1）见解析；（2）宓.【解析】试题分析：本题考查空间中的垂直关系及体积、面积的有关计算。（I）由平面PAD_L平面AB

39、CD可得CD_L平面PDA,从而可得AB_L平面PDA，所以PD_LAB,又PD_LPA,故可得PD_L平面PAB,因此PB_LPD。（n）设AB=x，则CD=2x,作辅助线，即过P作PE_LAD于E,可得PE=1。根据VB上CD=Vp_BDC可求得x=2,所以PB=J6,S作pd=2DPPB=J3.试题解析：（I）因为平面皿（_L平面XflCDp平面产D/c平面AD,CD工AD二CD_L平面PDA.又。llAB?二ZB，平面产D/.二尸Du平面PDA,S.PD1ABf又AJFD为等腰直角三角形，二PD_L",又巴icAB*二PD_L平面尸XB,又PBu平面E仿PB±PD(

40、n)设AB=x，则CD=2x,过P作PE_LAD于E,则PE=1.又平面PDA，平面ABCD,平面PDAc平面ABCD=AD二PE_L平面ABCD又PA=PD二；211_2VB_PCD-VP-BDC-SBDC3PE=DCADPE=x，二x=2,在RTAPAB中，PB=JPA2+AB2=76.1RTAPBD中，S作PD=-DPPB=73.17.如图所示，已知多面体ABCDFE中，四边形ABCD为矩形，AB|_|EF,AF_LBF,平面ABEF_L平面ABCD,O、M分别为AB、FC的中点.(1)求证：AF.LFC.(2)求证：OM平面DAF.(3)若过EF的平面交BC于点G,交AD于H,求证：E

41、FGH.【答案】(1)见解析；(2)见解析(3)见解析【解析】试题分析：(1)由平面ABEF，平面ABCD可得BC_L平面ABEF，从而BC_LAF。又BF1AF,可得AF_L平面BCF,故得AF_LFC.(2)取FD中点为N,连接MN,NA,可证得四边形MNAO是平行四边形，故OMLIAN,由线面平行的判定定理可得OM平面DAF.(3)由线面平行的性质及平行的传递性可得结论成立。试题解析：(1)证明：.平面期斯_L平面即，平面羽平面/CD=刈，BC1AB,/-RC_L平面即，又KFu平面ABEFr，BC1AF?又BhA甘,BCcBF=B,BC.BFu平面3CF,/-折_1平面BCF，又FCu

42、平面ECF,1AF±FC.(2)证明：取FD中点为N,连接MN,NA,M、N分别为FC,FD中点，1 1MNCD且MN=CD,22,1一1又AOCD且AO=CD,2 2MNUAO且MN=AO,四边形MNAO是平行四边形，OMJan,ANu平面DAF,OMS平面DAF,OM平面DAF.(3)证明;T即|3|CD,:过直线即存在一个平面a,使得平面a|平面ABCD，又过EF的平面交5c于G点GHc平面ABCD,GHABCD,GHEF.18.如下图，已知ABC和BCD所在平面互相垂直，且NBAC=NBCD=900,AB=AC,CB=CD，点E,F分别在线段BD,CD上，沿直线EF将EFD向

43、上翻折使得D与A重合(n)求直线AE与平面ABC所成角。4(I)求证：AB_LCF；B【答案】(1)详见解析；(2)三.4【解析】试题分析：(I)由平面ABC_L平面BCD,结合面面垂直的性质可得FC_L平面ABC,再由线面垂直的T质可得AB_LCF；(n)令BE=t，则ED=EA=2t,取BC的中点H,连1HE,AH，又/EBH=45°,则HE2=一t+2。根据条件可证得AH_L平面BCD，从而得AH-LHE,即MHE为直角三角形，结合勾股定理可得到t=1,从而点E为BD的中点，所以HE/DC,从而得HE_L平面ABC,故得/BEA即为所求，解三角形可得/BEA。4试题解析:(I)

44、:2CD=90。,：.CF±BC,平面ABC_L平面BCD,平面ABCc平面BCD=BC,，尸。，平面HBC,又ABu平面：.AB±CF.(n)设AB=AC=1,则BC=q2,CD=q2,BD=2,令BE=t,则ED=EA=2-t,取BC的中点H,连接HE,AH,1又/EBH=450,则HE2=t2-t+。2平面ABC_L平面BCD,平面ABCc平面BCD=BC,AH1BC,AH_L平面BCD,又HEu平面BCD,.AH_HE,AE2=AH2EH2,21c1.(2-tf=+t1+,解得t=1,22二点E是BD的中点，HE/DC,又DC，平面3C,二HE_L平面X5CANa以

45、为直线与平面3c所成角，KE=1,AH=,EH=22二ZBEA=>2所以直线XE与平面3c所成角为/419 .如图，在四棱柱ABCD-ABGD中，已知平面AACC，平面ABCD且AB=BC=CA=3,AD=CD=1(1)求证：BDLAAi.BE.(2)在BC上取一点E,使得AE/平面DCGD,求的值.EC【答案】(1)见解析(2)1ACCAn【解析】(1)在四边形ABCD43,因为BA=BCDA=DC所以BDLAC平面AAGC平面ABCD且平面平面ABCD=ACBD?平面ABCD所以BDL平面ACCA,又AA?平面ACCA,所以BDLAA1.(2)点E为BC的中点，即BE=1,EC卜面给

46、予证明：在三角形ABC中，因为AB=AC且E为BC的中点，所以AE1BC又在四边形ABCD43,AB=BC=CA=/3,DA=DC=1所以/ACB=60,/ACD=30,所以DdBC即平面ABCD中有AE/DC因为DC?平面DCCDi,AE?平面DCCD,所以AE/平面DCCD.20 .如图1,在直角梯形ABCD中，/ADC=90CD/AB,AB=4,AD=CD=2,点M为线段AB的中点，将AADC沿AC折起，使平面ADC，平面ABC,得到几何体D-ABC,如图2所示.(I)求证：BC_L平面ACD；(n)求点B到平面CDM的距离.(1)见解析(2)由3【解析】试题分析：(I)由余弦定理以及勾

47、股定理可证明AC_LBC,根据面面垂直的性质定理可得BC_L114/22,：2平面ACD；(n)先求出VDuBC=一父x4x2xv2=,可得VDjMBC=,利用3233VdABC=VbqMC=1MJ3Md可得结果.3试题解析：(I)证明：由已知可得：AC=242,ZC45=45%由余弦定理.9=8从而':.AC±BC平面KDCJ_平面ABC,平面HJCc平面ABC=AC二3C_L平面/CD.1142、2=(n)由已知，易求VDaBCD-ABC'2-VD-JMBC设点B到平面CDM的距离为d,又可求S.DmcVVD-MBCVB-DMC73xd,二d=幺6二点B到平面CD

48、M的距离为2匹.3321 .如图，在四麴隹P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，/ABC=/BAD=90O,APDC和ABDC均为等边三角形，且平面PDC_L平面BDC，点E为PB的中点.(1)求证：AE/平面PDC;(2)求平面PAB与平面PBC所成的锐二面角的余弦值.【答案】(i)证明见解析；(2)505351【解析】试题分析：(1)先证四边形ABGD为矩形=AD=BG=BC,AD口BC,再证得I12),n=2,0,1,二CM口.八一.373)面PDC；(2)先建立坐标系求得面ABP、面CBP的法向量分别为m=|0,1-2试题解析：（1）过点后作即112c交尸C于点连接。尸3取出。的中点

49、G,连接DGVDG是等边MCD底边ZC的中线-/.ZDGB=900.,：ZABC=NBAD=W,二,四边形如劭为矩形，：.AD=BG=-BC,ADBC.XEF为ABCP底边BC的中位线1 ,.EF=-BC,EFLBC,2AD=EF,AD|jEF,四边形ADFE是平行四边形，AEL|DF,.DF1面PDC,AEL面PDC.（2）以点W为坐标原点，石为/轴正方向，H研为单位长度建立空间直角坐标系*-书如图所示，各个点的坐标为/（QQJ6。）,m-AB=上=0=0，同理得元二（工0）则COSU32J0535因此向量屈=（&）,0）/丽="j石，数二（62.设面且BP、面CB尸的法向

50、量分另的说=®；匹4），元=（巧;为/工3（巨不妨令M=L解得丽=0+1,I2）设平面pab与平面pec所成的锐二面角为e，22.如图，四棱锥AOBCD中，已知平面AOC，面OBCD,AO=2J3，OB=BC=2,CD=4,ZQBC=NBCD=120°.（1）求证：平面ACD_L平面AOC；（2）直线AO与平面OBCD所成角为60°,求二面角A-BC-D的平面角的正切值.【答案】（1）见解析;【解析】试题分析：（1）证明面面垂直，一般先在其中一个平面内寻找另一平面的一条垂线，再根据面面垂直判定定理进行论证.先利用平几知识计算出CD1OC,再根据条件面面垂直，利用面

51、面垂直性质定理转化为线面垂直.(2)求二面角关键作出二面角的平面角，而作二面角的平面角，一般利用面面垂直性质定理得线面垂直，再结合三垂线定理及其逆定理可得，最后根据直角三角形求正切值.试题解析：(1)证出CZ)_LOC,因为平面面缈CD,二81面40C又CDu面所以平面XCD_L平面40C(2)过/作0C的垂线，垂足为H,jZAOff=6QAH=3过一作的垂线，垂足为M,连匕则如，3c则ZAMH为所求tan乙4A0=24T23.如图，在三柱ABCAB1G中，平面AACC1_L平面ABC,AB=BC=2/ACB=301AA=3,BC1_LA1C,E为AC的中点.(1)求证：AC_L平面CiEB；

52、(2)求二面角A-AB-C的余弦值.1【答案】(1)见解析(2)3【解析】试题分析：(1)由等腰三角形性质得BE_LAC,利用面面垂直性质定理得BE_L平面A1ACC1,即得BE1AC,再结合已知条件BC11AC,根据线面垂直判定定理得AC，面GEB.(2)先根据平几知识求得AE，AC,再利用面面垂直性质定理得AE，面ABC，过E作EF_LAB于F,利用三垂线定理可得AF_LAB,AFE为二面角AAB-C的平面角，最后解直角三角形可得二面角A-AB-C的余弦值试题解析：(1)证明：/6宣=用7,总为4c的中点二月后_LXC,又平面4CG_L平面加C,平面44CGc平面d5c=XC,以£

53、;u平面如Cj，3E_L平面4KCG，又4Cu平面4c.又EG，4C,BEcHG=以，4C，面G帅.(2)设ACCiE=H,由AC_LCiE,则AH2C1H2=AC12,CH2GH2=CG2从而求得：CH=1,故AC=AA=3,故AiE_LAC,由面AACC1，面ABC,则A1E，面ABC，过E作EF_LAB于F,连AF,则/AFE为二面角A-AB-C的平面角，_3由平面几何知识易得EF=,AF=3J3.cosZAFE=E=-=-,22AiF3.33224.如图，在三麴tVABC中，平面VAB，平面ABC,VA=VB=4,AC=BC=2且AC_LBC,O,M分别为AB,VA的中点.(1)求证：VB口平面MOC；(2)求证：平面MOC_L平面VAB；(3)求三棱锥V-ABC的体积.【答案】(1)证明过程见解析;(2)证明过程见解析;(3)2.143【解析】试题分析:(1)通过中位线的性质证明线线平行，再通过线线平行证明线面平行；(2)通过证明CO_LAB,进而证明CO，平面VAB,再通过线面垂直证明面面垂直；(3)求三棱锥V-ABC的体积时,观察将哪个面作为底面比较合适，较容易求出，通过前面两问的铺垫，发现将面VAB作为底面较为合适，从而可求解.试题解析：(1)证明：:0M分别为战，臣的中点一,又如a平面moc,亚。仁平面亚。,划|平面4亿二(2)AC=BC,且O是