机械振动 物理)

1、教学基本要求教学基本要求一一 掌握掌握描述简谐运动的各个物理量（特别是相描述简谐运动的各个物理量（特别是相位）的物理意义及各量间的关系。位）的物理意义及各量间的关系。二二 掌握掌握描述简谐运动的旋转矢量法和图线表示描述简谐运动的旋转矢量法和图线表示法，并会用于简谐运动规律的讨论和分析。法，并会用于简谐运动规律的讨论和分析。三三 掌握掌握简谐运动的基本特征，能建立一维简谐简谐运动的基本特征，能建立一维简谐运动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一维运动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐运动的运动方程，并理解其物理意义。简谐运动的运动方程，并理解其物理意义。四四 理解理解同方向、同频率简

2、谐运动的合成规律。同方向、同频率简谐运动的合成规律。第十五章机械振动第十五章机械振动 例如：例如：发声、机器振动、船摇摆、心脏、发声、机器振动、船摇摆、心脏、耳膜、鼓膜、原子的振动等。耳膜、鼓膜、原子的振动等。15-1 15-1 简谐振动简谐振动一、振动的一般概念一、振动的一般概念例如例如：电量、电流、电磁场、温度、脉冲：电量、电流、电磁场、温度、脉冲星的密度、体积等。各种振动的物理本质星的密度、体积等。各种振动的物理本质往往不同，但数学表述都是相同的。往往不同，但数学表述都是相同的。物体物体（或物体的一部分）（或物体的一部分）围绕一固定围绕一固定位置位置作作往复运动。往复运动。机械振动机械振

3、动广义振动广义振动 描述物体状态的某个物理量在某一值附描述物体状态的某个物理量在某一值附近往复变化，称该物理量在作振动。近往复变化，称该物理量在作振动。简谐运动简谐运动复杂振动复杂振动合成合成分解分解周期和非周期振动周期和非周期振动周期性振动是每隔一固定的时间周期性振动是每隔一固定的时间T T，运动状，运动状态就完全重复一次。态就完全重复一次。简谐振动简谐振动最简单、最基本的周期性振动。物体运动最简单、最基本的周期性振动。物体运动时，离开平衡位置的位移时，离开平衡位置的位移( (或角位移或角位移) )按余按余弦弦( (或正弦或正弦) )规律随时间变化。规律随时间变化。弹簧振子是作简谐运动的物体

4、，弹簧振子是作简谐运动的物体，是一种重要的物理模型。是一种重要的物理模型。 谐振子模型谐振子模型kl0 xmoAA弹簧振子的振动弹簧振子的振动00Fxmk2令令xa2积分常数，根据初始条件确定积分常数，根据初始条件确定xxFmo一一. .谐振动的动力学特征谐振动的动力学特征 kxFmaF 0222xdtxd)cos(0tAx判断物体是否作简谐振动判断物体是否作简谐振动kxF判据判据1 1：物体所受回复力与位移成正比且反向时物体所受回复力与位移成正比且反向时（弹性力或准弹性力），物体作简谐振动。（弹性力或准弹性力），物体作简谐振动。判据判据2 2：若某物理量对时间的二阶导数与其自身成若某物理量对

5、时间的二阶导数与其自身成正比且反号时，该物理量的变化称为简谐振动。正比且反号时，该物理量的变化称为简谐振动。 0dd222xtx简谐振动的微分方程简谐振动的微分方程简谐振动的动力学特征简谐振动的动力学特征)cos(0tAx0,A为积分常数为积分常数判据判据3 3：任何一个物理量如果是时间的余弦（或正任何一个物理量如果是时间的余弦（或正弦）函数，该物理量的变化称为简谐振动。弦）函数，该物理量的变化称为简谐振动。 简谐振动的运动方程简谐振动的运动方程二二. .运动学运动学 1.1.位移、速度、加速度位移、速度、加速度 由由)cos(0tAx得得)cos(dd)sin(dd02220tAtxatAt

6、xvtx图图tv图图ta图图TAA2A2AxvatttAAoooTT取取2T振动曲线振动曲线)cos(0tAx20)sin(0tAv)2cos(0tA)cos(02tAa)cos(02tA2.2.常量常量A A 和和 0 0的确定的确定根据初始条件：根据初始条件： 时，时， , , ，得得0 xx 0vv 0t0000sin,cosAvAx2020)(vxA000arctgxv通常存在两个值，可根据通常存在两个值，可根据进行取舍。进行取舍。00sinAv（1 1）振幅）振幅maxAx3.3.描述简谐振动的特征量描述简谐振动的特征量 )cos(0tAx1)cos(0t（）周期和频率（）周期和频率

7、2T周期周期21T频率频率mk2圆频率圆频率周期和频率周期和频率由由振动系统本身振动系统本身决定，故称作决定，故称作固有周期和固有频率。固有周期和固有频率。km2)cos(0tAx（）相位（）相位（位相、周相）（位相、周相）以以22为周期的为周期的初相初相 0 0：t t0 0时的位相，时的位相，描述质点初始时刻的运动状态。描述质点初始时刻的运动状态。 决定简谐运动状态的物理量决定简谐运动状态的物理量相位相位0t20 0，或，取 以以 为为原点旋转矢原点旋转矢量量 的端点的端点在在 轴上的轴上的投影点的运投影点的运动为简谐运动为简谐运动动. .xAoxo0A00cosAx 当当 时时0t0 x

8、4.4.简谐振动的旋转矢量图示法简谐振动的旋转矢量图示法 xoAtt 0t)cos(0tAx时时 以以 为为原点旋转矢原点旋转矢量量 的端点的端点在在 轴上的轴上的投影点的运投影点的运动为简谐运动为简谐运动动. .xAo 旋转旋转矢量矢量 的的端点在端点在 轴上的投轴上的投影点的运影点的运动为简谐动为简谐运动运动. .xA)cos(0tAxAmv0 cos()2Atv20cos()aAt 2nAa 0 2tmvvnaaxy0A0t0cos()xAt （旋转矢量旋转一周所需的时间）（旋转矢量旋转一周所需的时间）2T用旋转矢量图画简谐运动的用旋转矢量图画简谐运动的 图图tx模模振幅振幅A角速度角速

9、度角频率角频率旋转周期旋转周期振动周期振动周期T=2/ 上的投影在oxAr上的投影端点速度在oxAr上的投影端点加速度在oxAr位移位移速度速度加速度加速度x =Acos(t+ 0)v =- Asin(t+ 0)a =- 2Acos(t+ 0)旋转矢量旋转矢量简谐振动简谐振动符号或表达式符号或表达式Ar初相初相 0t=0时，时， 与与ox夹角夹角Ar相位相位t+0t时刻，时刻， 与与ox夹角夹角Ar旋转矢量旋转矢量 与谐振动的对应关系与谐振动的对应关系Ar(t +0 )MOAr旋转矢量法优点：旋转矢量法优点：直观地表达谐振动的各特征量直观地表达谐振动的各特征量便于解题便于解题, , 特别是确定

10、初相位特别是确定初相位便于分析振动合成便于分析振动合成AAx2AtoabxAA0讨论讨论 相位差：表示两个相位之差相位差：表示两个相位之差 . . 1 1）对对同一同一简谐运动，相位差可以给出两运动状简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间态间变化所需的时间. .2010()()tt10cos()xAt20cos()xAt21ttt 1t 3TTt6123v2A2t0 xto同步同步 2 2）对于两个对于两个同同频率频率的简谐运动，相位差表示它的简谐运动，相位差表示它们间们间步调步调上的上的差异差异. .（解决振动合成问题）（解决振动合成问题）111cos()xAt222cos()x

11、At21()()tt21xto为其它为其它超前超前落后落后txo 反相反相00cosA0 2 00sin0A v00 sin02取取000,txv已知：已知： 求求0 xvo)2 cos(tAxAAxT2Tto 例例2 2 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度系数簧的劲度系数 ，物体的质量，物体的质量 . . （1 1）把物体从平衡位置向右拉到把物体从平衡位置向右拉到 处停处停下后再释放，求简谐运动方程；下后再释放，求简谐运动方程； 1mN72. 0kg20mm05. 0 xm05. 0 x10sm30. 0v （3 3）如果物体在如果物体在 处

12、时速度不等于零，处时速度不等于零，而是具有向右的初速度而是具有向右的初速度 ，求其运动方程，求其运动方程. .2A （2 2）求物体从初位置运动到第一次经过求物体从初位置运动到第一次经过 处时的处时的速度；速度；m/ xo0.05ox解：（解：（1 1）11s0 . 6kg02. 0mN72. 0mkm05. 0022020 xxAv000tan0vx00 或A由旋转矢量图可知由旋转矢量图可知00 0cos()xAt0.05cos6.0toxA2A解解 0cos()xAt)cos(tA21)cos(Axt3 5 3或tA3t由旋转矢量图可知由旋转矢量图可知tAsinv1sm26. 0（负号表示

13、速度沿（负号表示速度沿 轴负方向）轴负方向）Ox2A （2 2）求物体从初位置运动到第一次经过求物体从初位置运动到第一次经过 处时的处时的速度；速度；解解 m0707. 022020vxA000tan1vx 03 44 或oxA40cos()xAt0.0707cos 6.04t（）m05. 0 x10sm30. 0v （3 3）如果物体在如果物体在 处时速度不等于零，处时速度不等于零，而是具有向右的初速度而是具有向右的初速度 ，求其运动方程，求其运动方程. .因为因为 ，由旋转矢量图可知，由旋转矢量图可知0 4 00voC*复摆复摆l()Mmgl 22ddtJmgl222ddtJmgl2令令m

14、0cos()tP（ 点为质心）点为质心）CmglJT2转动正向转动正向sin,5时时准弹性力准弹性力单摆单摆lmoAmglmglMsin22ddtJmgl2mlJ lgt22dd222ddtm0cos()tlg2令令TFPglT2转动转动正向正向sin,5时时准弹性力准弹性力例例3 3：如图所示，一长为如图所示，一长为L L的立方体木块浮于静的立方体木块浮于静水中，浸入水中部分的高度为水中，浸入水中部分的高度为b b。今用手将木块。今用手将木块压下去，放手让其开始运动。若忽略水对木块压下去，放手让其开始运动。若忽略水对木块的阻力，并且水面开阔，不因木块运动而使水的阻力，并且水面开阔，不因木块运

15、动而使水面高度变化，证明木块作谐振动。面高度变化，证明木块作谐振动。受力分析受力分析gblmg2水glxbF2)( 水浮以水面为原点建立坐标以水面为原点建立坐标OXOX解：解：bXmg浮Fxmagxblgbl)(22水水222dtxdmgxl水0222xmgldtxd水022xbgdtxdbg0222xdtxd故木块作谐振动（证毕）故木块作谐振动（证毕）列方程列方程maFmg浮准弹性力准弹性力例例4 4 一质量为一质量为m m 的平底船，其平均水平截面积为的平底船，其平均水平截面积为S S，吃水深度为，吃水深度为h h，如不计水的阻力，求此船在竖直，如不计水的阻力，求此船在竖直方向的振动周期。

16、方向的振动周期。解解: : 船静止时浮力与重力平衡船静止时浮力与重力平衡mghSg OyPPy 船在任一位置时，以水面为坐标原点船在任一位置时，以水面为坐标原点, ,竖直向竖直向下的坐标轴为下的坐标轴为y y 轴，船的位移用轴，船的位移用y y 表示。表示。船的位移船的位移为为y 时船所受合力为时船所受合力为()()fhySgmgSg y 船在竖直方向作简谐振动，其角频率和周期为船在竖直方向作简谐振动，其角频率和周期为mSggSmT22mSh2hTg准弹性力准弹性力2222k011sin ()22EmmAtv222p011cos ()22EkxkAt线性回复力是线性回复力是保守力保守力，作，作

17、简谐简谐运动的系统运动的系统机械能守恒机械能守恒以弹簧振子为例以弹簧振子为例00cos()sin()xAtAt vkxF22pk21AkAEEEmk /2（振幅的动力学意义）（振幅的动力学意义）四、简谐振动的能量四、简谐振动的能量简简 谐谐 运运 动动 能能 量量 图图txtv221kAE 00tAxcostAsinvv, xtoT4T2T43T能量能量oTttkAE22pcos21tAmE222ksin21简谐运动势能曲线简谐运动势能曲线简谐运动能量守恒，振幅不变简谐运动能量守恒，振幅不变kEpEx221kAE EBCAApExO能量守恒能量守恒简谐运动方程简谐运动方程推导推导常量22212

18、1kxmEv0)2121(dd22kxmtv0ddddtxkxtmvv0dd22xmktx 例例5 质量为质量为 的物体，以振幅的物体，以振幅 作简谐运动，其最大加速度为作简谐运动，其最大加速度为 ，求求：kg10. 0m100 . 122sm0 . 4（1）振动的周期；振动的周期； （2）通过平衡位置的动能；通过平衡位置的动能；（3）总能量；总能量；（4）物体在何处其动能和势能相等？物体在何处其动能和势能相等？解解 （1）2maxAaAamax1s20s314. 02T（2）J100 . 23222maxmax,k2121AmmEv（3）max,kEE J100 . 23（4）pkEE 时，时，J100 . 13pE由由222p2121xmkxE2p22mEx 24m105 . 0cm707. 0 x以弹簧原长处为重力势能、弹性势能零点以弹簧原长处为重力势能、弹性势能零点以平衡位置为坐标原点以平衡位置为坐标原点)()(21020pxxmgxxkE)()(210020 xxkxxxk2022121kxkx 2022KP21)2121(kx