机械振动第二章ch2d

1、2022-6-8振动力学12022-6-8振动力学2 在线性多自由度系统振动中，振动问题归结为刚度矩阵在线性多自由度系统振动中，振动问题归结为刚度矩阵和质量矩阵的广义特征值问题和质量矩阵的广义特征值问题缺点之一：当系统自由度较大时，求解计算工作量非常大缺点之一：当系统自由度较大时，求解计算工作量非常大 本章介绍几种近似计算方法，可作为实用的工程计算方本章介绍几种近似计算方法，可作为实用的工程计算方法对系统的振动特性作近似计算法对系统的振动特性作近似计算 线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法2022-6-8振动力学3 邓克利法邓克利法- 由邓克利（由邓克利（Dunkerley）在实验确定

2、多圆盘的横向振动固有频率）在实验确定多圆盘的横向振动固有频率时提出的时提出的- 便于作为系统基频的计算公式便于作为系统基频的计算公式 0KXXM 0XXFM 0XXD 自由振动作用力方程：自由振动作用力方程：左乘柔度矩阵左乘柔度矩阵F = K -1，位移方程：，位移方程：定义定义D=FM 为系统的动力矩阵为系统的动力矩阵nRX作用力方程的特征值问题：作用力方程的特征值问题：MK2位移方程的特征值问题：位移方程的特征值问题：D线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 邓克利法邓克利法2022-6-8振动力学4作用力方程的特征值问题：作用力方程的特征值问题：MK2位移方程的特征值问题：位移

3、方程的特征值问题：D特征值：特征值：22221nn21关系：关系：2/1ii位移方程的最大特征根：位移方程的最大特征根：211/1对应着系统的第一阶固有频率对应着系统的第一阶固有频率（基频）（基频） 位移方程的特征方程：位移方程的特征方程：0 ID展开：展开：0)() 1(1111nnnnnaaa其中：其中：Dtrdddann)(22111例如：例如：022211211dddd0)()() 1(21122211221122dddddd线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 邓克利法邓克利法D=FM2022-6-8振动力学5特征方程：特征方程：0)() 1(1111nnnnnaaa其中

4、：其中：Dtrdddann)(22111当当 M 为对角阵时：为对角阵时：)(FMDtrtr 特征方程又可写为：特征方程又可写为：0)()(21n niia11有：有：niiiiniimf11柔度系数柔度系数 fii 的物理意义：沿第的物理意义：沿第 i 个坐标施加单位力时所产生个坐标施加单位力时所产生的第的第 i 个坐标的位移个坐标的位移2/1ii niiiiniimf1121线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 邓克利法邓克利法D=FM niiiimf1trD niiiimf12022-6-8振动力学6如果只保留第如果只保留第 i 个质量，所得的单自由度系统的固有频率为：个质量

5、，所得的单自由度系统的固有频率为：niiiiniimf11iiiiiimfmk12例如：两自由度系统例如：两自由度系统（1）只保留）只保留 m1 时时柔度矩阵：柔度矩阵：2111111111kkkkkF1111kf1121mk（2）只保留）只保留 m2 时时122122111kkkf21222mkm1k1k2m2m1k1m2k1k2 niiiiniimf1121线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 邓克利法邓克利法2022-6-8振动力学7如果只保留第如果只保留第 i 个质量，所得的单自由度系统的固有频率为：个质量，所得的单自由度系统的固有频率为：niiiiniimf11iiiii

6、imfmk12将将 代入：代入：2i22221121111nnii 对于梁结构系统，第二阶及第二阶以上的固有频率通常远大于对于梁结构系统，第二阶及第二阶以上的固有频率通常远大于基频，因此左端可只保留基频项，有：基频，因此左端可只保留基频项，有：)(11112222121FMtrtrDn邓克利法邓克利法得到的基频是精确值的下限得到的基频是精确值的下限 niiiiniimf1121线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 邓克利法邓克利法2022-6-8振动力学822221121111nnii 解释：解释：22221211111n ba 21122322111na 22221111nbab

7、 121因在邓克利法中忽略了因在邓克利法中忽略了a，因此所得结果为基频下限，因此所得结果为基频下限得到的基频是精确值的下限得到的基频是精确值的下限线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 邓克利法邓克利法2022-6-8振动力学9例：三自由度系统例：三自由度系统000220231012200010001321321xxxkxxxm 采用常规方法，采用常规方法，固有频率：固有频率：mk /3730. 01mk /3213. 12mk /0286. 23邓克利法：邓克利法： 当当 m1 单独存在时单独存在时mk /21当当 m2 单独存在时单独存在时mk/1222kkkkkk2121211

8、2当当 m3 单独存在时单独存在时kkkkk25111132112352123kkmk52322221211111nmk /3535. 01代入邓克利法公式：代入邓克利法公式：mmkk2m2k线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 邓克利法邓克利法2022-6-8振动力学10 瑞利法瑞利法- 基于能量原理的一种近似方法基于能量原理的一种近似方法 - 可用于计算系统的基频可用于计算系统的基频 算出的近似值为实际基频的上限算出的近似值为实际基频的上限 - 配合邓克利法算出的基频下限，可以估计实际基频的大致范围配合邓克利法算出的基频下限，可以估计实际基频的大致范围 n 自由度保守系统：自由

9、度保守系统： 0KXXM nRX机械能守恒机械能守恒主振动主振动 ：)sin(tX动能与势能：动能与势能： XMXTT21 KXXTV21 最大值：最大值：MTT2max21KTV21maxmaxmaxVT2)(MKTTR瑞利商瑞利商线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 瑞利法瑞利法2022-6-8振动力学11分析：分析：i1换为换为若将瑞利商右端分子内的所有若将瑞利商右端分子内的所有 21)(R 由瑞利商公式知，当由瑞利商公式知，当 确为第一阶模态时，有：确为第一阶模态时，有：)1(线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 瑞利法瑞利法2)(MKTTR瑞利商瑞利商对于第对

10、于第 i 阶模态：阶模态：2)()()()()()(iiTiiTiiRMK第一阶模态有何特点？如何估计第一阶模态？第一阶模态有何特点？如何估计第一阶模态？愈接近系统的真实模态，算出的固有频率愈准确愈接近系统的真实模态，算出的固有频率愈准确利用瑞利商估计系统的基频所得的结果必为实际基频的上限利用瑞利商估计系统的基频所得的结果必为实际基频的上限2022-6-8振动力学12例：三自由度系统例：三自由度系统000220231012200010001321321xxxkxxxm 采用常规方法，固有频率：采用常规方法，固有频率：mk /3730. 01mk /3213. 12mk /0286. 23采用邓

11、克利法，基频：采用邓克利法，基频：mk /3535. 01取在取在2m质量上施加力质量上施加力P所产生的所产生的“静变形曲线静变形曲线”作为近似的第作为近似的第一阶主振型，即：一阶主振型，即：T5 . 2, 2, 1 MKTTR)(代入瑞利商公式：代入瑞利商公式：mkR142857. 0)(mk3780. 01与精确值相比，相对误差与精确值相比，相对误差1.34%mmkk2m2k线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 瑞利法瑞利法2022-6-8振动力学13 里茨法里茨法 里兹法是瑞利法的改进里兹法是瑞利法的改进 里兹法将对近似振型给出更合理的假设，从而使算出的基里兹法将对近似振型给

12、出更合理的假设，从而使算出的基频值进一步下降频值进一步下降 用里兹法不仅可以计算系统的基频，还可以算出系统的前用里兹法不仅可以计算系统的基频，还可以算出系统的前几阶频率和模态几阶频率和模态 瑞利法算出的基频的精度取决于假设的振型对第一阶主振瑞利法算出的基频的精度取决于假设的振型对第一阶主振型的近似程度，而且得到的基频总是精确值的上限型的近似程度，而且得到的基频总是精确值的上限线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 里兹法里兹法2022-6-8振动力学14 传递矩阵法（传递矩阵法（P166）- 传递矩阵法适用于计算传递矩阵法适用于计算链状结构链状结构的固有频率和主振型的固有频率和主振型多个圆盘的扭振，连续梁，气轮机和发电机的转轴系统多个圆盘的扭振，连续梁，气轮机和发电机的转轴系统- 特征：特征：可简化为无质量的梁上带有若干个集中质量的横向振动可简化为无质量的梁上带有若干个集中质量的横向振动- 特点：特点：将链状结构划分为一系列单元，每对单元之间的传递矩将链状结构划分为一系列单元，每对单元之间的传递矩阵的阶数等于单元的运动微分方程的阶数，因此传递矩阵法对阵