山东大学自动控制原理相平面法

1、1273 相平面法相平面法 相平面法是庞加莱相平面法是庞加莱(Poincare)于于1885年首先提年首先提出的，它是一种求解二阶微分方程的图解法。相出的，它是一种求解二阶微分方程的图解法。相平面法又是一种时域分析法，它不仅能分析系统平面法又是一种时域分析法，它不仅能分析系统的稳定性和自振荡，而且能给出系统运动轨迹的的稳定性和自振荡，而且能给出系统运动轨迹的清晰图象。这种方法一般适用于系统的线性部分清晰图象。这种方法一般适用于系统的线性部分为一阶或二阶的情况。为一阶或二阶的情况。37.3.1 相平面法的基本概念相平面法的基本概念 设一个二阶系统可以用下列常微分方程来描述：设一个二阶系统可以用下

2、列常微分方程来描述： 0),(),(0122xdtdxxadtdxdtdxxadtxd),(xxfx ),(21221xxfdtdxxdtdx22112),(xxxfdxdx令令x = x1， dx/dt = x2 以以x1为自变量，以为自变量，以x2为因变量的一阶微分方程。为因变量的一阶微分方程。二阶系二阶系统常微分方程方程的解统常微分方程方程的解既可用既可用x与与t的关系来表示，也可的关系来表示，也可用用x2与与x1的关系来表示。实际上，看作一个质点的运动的关系来表示。实际上，看作一个质点的运动方程，则方程，则x1(t)代表质点的位置，代表质点的位置，x2(t)代表质点的速度。代表质点的速

3、度。4 用用x1、x2描述描述二阶系统常微二阶系统常微分方程方程的解分方程方程的解，也就是用质，也就是用质点的状态来表示该质点的运动。点的状态来表示该质点的运动。在物理学中，状态又称为在物理学中，状态又称为相相。 把由把由x1x2所组成的平面所组成的平面坐标系称为坐标系称为相平面相平面，系统的一，系统的一个状态则对应于相平面上的一个状态则对应于相平面上的一个点。个点。 当当t变化时，系统状态在相变化时，系统状态在相平面上移动的轨迹称为平面上移动的轨迹称为相轨迹相轨迹。xx0t1t2t3t4x0tt1t2t4t3(x, x0)5 绘制相平面图可以用解析法、图解法和实验法。绘制相平面图可以用解析法

4、、图解法和实验法。 1. 解析法解析法 解析方法一般用于系统的微分方程比较简单或可解析方法一般用于系统的微分方程比较简单或可以分段线性化的方程。应用解析法求取相轨迹方程时以分段线性化的方程。应用解析法求取相轨迹方程时一般有二种方法：一般有二种方法：一种是对式一种是对式直接进行积分。直接进行积分。显然，这只有在上述方程可以进行积分时才能运用。显然，这只有在上述方程可以进行积分时才能运用。另一种方法是先求出另一种方法是先求出x和对和对t的函数关系，然后消去的函数关系，然后消去t，从而求得相轨迹方程从而求得相轨迹方程。下面举例加以说明。下面举例加以说明。7.3.2 相平面图的绘制相平面图的绘制 而与

5、不同初始状态对应的一簇相轨迹所组成的图而与不同初始状态对应的一簇相轨迹所组成的图叫做叫做相平面图相平面图。 利用相平面图分析系统性能的方法称为利用相平面图分析系统性能的方法称为相平面法相平面法。6例例7-5 二阶线性系统当二阶线性系统当 = 0时的微分方程式为时的微分方程式为02xxn xxdxxdn22222Axxn对上式积分，便得相轨迹方程对上式积分，便得相轨迹方程绘制相平面图。绘制相平面图。解：解：20220/xxAnxx0 xt07 2. 图解法图解法 目前比较常用的图解法有两种：等倾线法和目前比较常用的图解法有两种：等倾线法和 法。法。下面介绍等倾线法。等倾线法的基本思想是采用直线下

6、面介绍等倾线法。等倾线法的基本思想是采用直线近似。如果我们能用简便的方法确定出相平面中任意近似。如果我们能用简便的方法确定出相平面中任意一点相轨迹的斜率，则该点附近的相轨迹便可用过这一点相轨迹的斜率，则该点附近的相轨迹便可用过这点的相轨迹切线来近似。点的相轨迹切线来近似。 设系统的微分方程式为设系统的微分方程式为式中式中dx /dx表示相平面上相轨迹的斜率。若取斜率为表示相平面上相轨迹的斜率。若取斜率为常数，则上式可改写成常数，则上式可改写成 xxxfdxxd),(xxxf),(-等倾线方程等倾线方程8对于相平面上满足上式的各点，经过它们的相轨迹的对于相平面上满足上式的各点，经过它们的相轨迹的

7、斜率都等于斜率都等于a。若将这些具有相同斜率的点连成一线，。若将这些具有相同斜率的点连成一线，则此线称为相轨迹的等倾线。给定不同的则此线称为相轨迹的等倾线。给定不同的a值，则可在值，则可在相平面上画出相应的等倾线。相平面上画出相应的等倾线。xxxf),(9 利用等倾线法绘制相轨迹的一般步骤是：利用等倾线法绘制相轨迹的一般步骤是： (1) 先求系统的等倾线方程；先求系统的等倾线方程； (2) 根据等倾线方程在相平面上画出等倾线分布图；根据等倾线方程在相平面上画出等倾线分布图；在等倾线上各点处作斜率为在等倾线上各点处作斜率为a的短直线，则构成相轨迹的短直线，则构成相轨迹的切线方向场。的切线方向场。

8、 (3) 利用等倾线分布图绘制相轨迹。即从由初始条利用等倾线分布图绘制相轨迹。即从由初始条件确定的点出发，近似地用直线段画出到相邻一条等件确定的点出发，近似地用直线段画出到相邻一条等倾线之间的相轨迹。该直线段的斜率为相邻两条等倾倾线之间的相轨迹。该直线段的斜率为相邻两条等倾线斜率的平均值。这条直线段与相邻等倾线的交点，线斜率的平均值。这条直线段与相邻等倾线的交点，就是画下一段相轨迹的起始点。如此继续做下去，即就是画下一段相轨迹的起始点。如此继续做下去，即可绘出整个相轨迹曲线。可绘出整个相轨迹曲线。10 例例7-6 二阶线性系统的微分方程式为二阶线性系统的微分方程式为试用等倾线法绘制其相轨迹。试

9、用等倾线法绘制其相轨迹。022xxxnn xxxxfxnn22),( xxxnn22nnxx22故等倾线方程为故等倾线方程为解：由微分方程式可得解：由微分方程式可得或或等倾线是过相平面原点的一些直线。当等倾线是过相平面原点的一些直线。当 = 0.5、 n = 1时的等倾线分布图时的等倾线分布图 :11假设由初始条件确定的点为图中的假设由初始条件确定的点为图中的A点。则过点。则过A点作斜率为点作斜率为 ( 1) + ( 1.2) / 2 = 1.1的直线，与的直线，与a = 1.2的等倾线交于的等倾线交于B点。再过点。再过B点作斜率为的点作斜率为的 ( 1.2 ) + ( 1.4) / 2 =

10、1.3 直线，与直线，与a = 1.4的等的等倾线交于倾线交于C点。如此依次作出各等倾线间的相轨迹线段，最后即点。如此依次作出各等倾线间的相轨迹线段，最后即得系统近似的相轨迹。得系统近似的相轨迹。nnxx22= 1/(a +1)xxa= 1，k = a= 2，k = 1a= 3，k = 1/2a= 1 2 3 1.2 1.4 6210 0.4 0.8ABC12 1）横坐标与纵坐标轴应选相同的比例尺，以便于根横坐标与纵坐标轴应选相同的比例尺，以便于根据等倾线斜率准确绘制等倾线上一点的相轨迹切线；据等倾线斜率准确绘制等倾线上一点的相轨迹切线； 2）在相平面的上半平面，由于在相平面的上半平面，由于x

11、 0，则，则x随随t增大增大而增加，相轨迹的走向应是由左向右；在相平面的下而增加，相轨迹的走向应是由左向右；在相平面的下半平面，由于半平面，由于x 0时，时，相轨迹沿该直线收敛于原点；当相轨迹沿该直线收敛于原点；当T 0时，上述微分方程又可以表示为时，上述微分方程又可以表示为xcxxbdxxd17其中其中k为等倾线的斜率。当为等倾线的斜率。当b2 4c 0，且，且c 0时，可时，可得满足得满足k = a的两条特殊的等倾线，其斜率为的两条特殊的等倾线，其斜率为令令 ，可得等倾线方程为，可得等倾线方程为axcxxbkxxbacx2422, 12, 12, 1cbbsak该式表明，特殊的等倾线的斜率

12、等于该等倾线上相轨该式表明，特殊的等倾线的斜率等于该等倾线上相轨迹任一点的切线斜率，即当相轨迹运动至特殊的等倾迹任一点的切线斜率，即当相轨迹运动至特殊的等倾线上时，将沿着等倾线收敛或发散，而不可能脱离该线上时，将沿着等倾线收敛或发散，而不可能脱离该等倾线。等倾线。 18 1）c 0，s2 0，系统相平面图：，系统相平面图： 由图可见，图中两条特殊的等倾线是相轨迹，也由图可见，图中两条特殊的等倾线是相轨迹，也是其它相轨迹的渐近线，此外作为相平面的分隔线，是其它相轨迹的渐近线，此外作为相平面的分隔线，还将相平面划分为四个具有不同运动状态的区域。因还将相平面划分为四个具有不同运动状态的区域。因此，此

13、，c 0时，时，相轨迹收敛并最终停止在轴上；当相轨迹收敛并最终停止在轴上；当b 0。并分以下几种情况加以讨论：并分以下几种情况加以讨论： 0 1。系统特征根为两个互异负实根，系统的系统特征根为两个互异负实根，系统的零输入响应为单调形式，存在两条特殊的等倾线，其零输入响应为单调形式，存在两条特殊的等倾线，其斜率分别为斜率分别为121nns122nns当初始点落在当初始点落在 = s1x或或 = s2x直线上时，相轨迹沿着直线上时，相轨迹沿着该直线趋于原点；该直线趋于原点； 除此之外，相轨迹最终沿着除此之外，相轨迹最终沿着 = s1x的方向收敛至原点。的方向收敛至原点。xxxxx0 x= s2xx

14、= s1x22 = 1。系统特征根为两个相等的负实根。与系统特征根为两个相等的负实根。与 1相比，相轨迹的渐近线即特殊等倾线蜕化为一条，相比，相轨迹的渐近线即特殊等倾线蜕化为一条，不同初始条件的相轨迹归结将沿着这条特殊的等倾线不同初始条件的相轨迹归结将沿着这条特殊的等倾线趋于原点，系统相平面图趋于原点，系统相平面图: xx023 = 0。系统特征根为一对纯虚根。系统的自系统特征根为一对纯虚根。系统的自由运动为等幅正弦振荡。给定初始点，系统的相平由运动为等幅正弦振荡。给定初始点，系统的相平面图为围绕坐标原点的一簇椭圆（参阅例面图为围绕坐标原点的一簇椭圆（参阅例7-1），系），系统相平面图统相平面图:xx024 1 0