弹性力学有限元

1、用有限单元法解平面问题用有限单元法解平面问题单元分析单元分析整体分析整体分析概述概述概述概述有限单元法的发展有限单元法的发展有限单元法的分析过程概述有限单元法的分析过程概述有限单元法的特点有限单元法的特点概述概述u有限元法的情况和现状有限元法的情况和现状有限单元法的发展有限单元法的发展u有限元法的产生有限元法的产生u有限元法的发展有限元法的发展概述概述有限单元法有限单元法是随着电子计算机的发展而迅速发是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法。它是展起来的一种现代计算方法。它是5050年代首先年代首先在连续体力学领域在连续体力学领域- -飞机结构静、动态特性分飞机结构静、动态特性分

2、析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。学等连续性问题。力学分析方法力学分析方法理论分析（解析法理论分析（解析法) )试验分析试验分析计算机分析计算机分析( (数值法）数值法）概述概述z解析解的局限性解析解的局限性x存在问题：推导复杂存在问题：推导复杂x要求合适的试函数要求合适的试函数u有限元法的产生有限元法的产生 特点特点：只能求解方程性质比较简单，且几何边界相当规则的少数问题：只能求解方程性质比较简单，且几何边界相当规则的少数问题xyllqlql1yzh/

3、2h/2)534()(622223hyhyqyxlhqx22346yhxhqxy22112hyhyqy概述概述z经济生产发展的要求经济生产发展的要求y实际发展的需要实际发展的需要l航空航天航空航天l土木结构土木结构l汽车工业汽车工业l机械工业机械工业u有限元法的产生有限元法的产生为了实现重大工程和工业产品的计算分析、模拟仿真与优化设计为了实现重大工程和工业产品的计算分析、模拟仿真与优化设计有限元法是支持工程科学家进行创新研究和工程师进行创新设计的、有限元法是支持工程科学家进行创新研究和工程师进行创新设计的、最重要的工具和手段最重要的工具和手段概述概述离散的概念离散的概念 niinosss1ni

4、inolll1z有限元发展的可能条件有限元发展的可能条件 (a) continuum object,(b)a discrete approximation by inscribed regular polygons,概述概述(c) disconnected element,(d) generic element.)/sin(limnnn概述概述n n = n sin(/n) Extrapolated by Wynn- Exact to 16 places1 0.0000000000000002 2.0000000000000004 2.828427124746190 3.41421356237

5、30968 3.06146745892071816 3.121445152258052 3.14141832793321132 3.13654849054593964 3.140331156954753 3.141592658918053128 3.141277250932773256 3.141513801144301 3.141592653589786 3.141592653589793Table 1.1. Rectification of Circle by Inscribed Polygons (“Archimedes FEM”)概述概述x高级语言的出现高级语言的出现x数值计算方法的发

6、展数值计算方法的发展z计算机和软件的发展计算机和软件的发展概述概述l20世纪世纪40年代，年代，1941年年A.Hrennikoff用杆系结构来构造离散模型用杆系结构来构造离散模型离散化思想。离散化思想。l1943年年R.Courant第一次假设翘曲函数在一个人为划分的三角形单第一次假设翘曲函数在一个人为划分的三角形单元集合体的每个单元上为简单的线性函数，求得元集合体的每个单元上为简单的线性函数，求得St.Venant扭转问题扭转问题的近似的近似有限单元法的基本思想。有限单元法的基本思想。l1960年年R.W.Clough教授在一篇题为教授在一篇题为“平面应力分析的有限单元法平面应力分析的有限

7、单元法”的论文中首先使用有限单元法的论文中首先使用有限单元法（the Finite Element Method)一词。一词。l1956年年Turner、Clough等人在分析等人在分析飞机结构飞机结构时，将矩阵位移法时，将矩阵位移法的方法、原理推广应用于弹性力学平面问题，将一个弹性连续体假的方法、原理推广应用于弹性力学平面问题，将一个弹性连续体假想地划分为一系列三角形的所谓单元。想地划分为一系列三角形的所谓单元。l德国德国J. H. Argyris教授发表了一组能量原理与矩阵分析的论文教授发表了一组能量原理与矩阵分析的论文lZienkiewicz, O. C. and Cheung, Y.

8、K., The Finite Element Method in Engineering Science, McGraw-Hill, London, 1967.概述概述1943-Courant(Varitional methods)1943-Courant(Varitional methods)1956-Turner,Clough,Matrin and Topp(the direct stiffness methods)1960-Clongh(“Finite Element”,Plane problems)1970s-Applications on mainframe computers198

9、0s-Microcomputers,pre-and postprocessors1990s-Analysis of large structural systems概述概述z发展历程发展历程y应力元（应力解法）应力元（应力解法）y混合元（能量解法）混合元（能量解法）y有限元有限元y无限元无限元y位移元（位移解法）位移元（位移解法）概述概述yADINAySAPyNASTRANyABAQUSyANSYSyMARC1.1. 通用软件的出现通用软件的出现u有限元法的情况和现状有限元法的情况和现状概述概述 在大力推广在大力推广CAD技术的今天，从自行车到航天飞机，所技术的今天，从自行车到航天飞机，所有的

10、设计制造都离不开有限元分析计算，有的设计制造都离不开有限元分析计算，FEA在工程设在工程设计和分析中将得到越来越广泛的重视。计和分析中将得到越来越广泛的重视。 国际上早在国际上早在20世纪世纪50年代末、年代末、60年代初就投入大量的人年代初就投入大量的人力和物力开发具有强大功能的有限元分析程序。其中最力和物力开发具有强大功能的有限元分析程序。其中最为著名的是由为著名的是由美国国家宇航局（美国国家宇航局（NASA）在在1965年委托年委托美国计算科学公司和贝尔航空系统公司开发的美国计算科学公司和贝尔航空系统公司开发的NASTRAN有限元分析系统。该系统发展至今已有几十个版本，是有限元分析系统。

11、该系统发展至今已有几十个版本，是目前世界上规模最大、功能最强的有限元分析系统。目前世界上规模最大、功能最强的有限元分析系统。概述概述目前，世界各地的研究机构和大学发展了一批目前，世界各地的研究机构和大学发展了一批规模较小但使用灵活、价格较低的专用或通用规模较小但使用灵活、价格较低的专用或通用有限元分析软件，主要有德国的有限元分析软件，主要有德国的ASKA、英国的、英国的PAFEC、法国的、法国的SYSTUS、美国的、美国的ABQUS、ADINA、ANSYS、BERSAFE、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC和和STARDYNE等公司的产品。等公司的产品。概述概述有限元分析方法最早是从

12、结构化矩阵分析发展而来，有限元分析方法最早是从结构化矩阵分析发展而来，逐步推广到板、壳和实体等连续体固体力学分析，实逐步推广到板、壳和实体等连续体固体力学分析，实践证明这是一种非常有效的数值分析方法。践证明这是一种非常有效的数值分析方法。有限元方法已发展到流体力学、温度场、电传导、磁有限元方法已发展到流体力学、温度场、电传导、磁场、渗流和声场等问题的求解计算，最近又发展到求场、渗流和声场等问题的求解计算，最近又发展到求解几个交叉学科的问题。解几个交叉学科的问题。 例如当气流流过一个很高的铁塔产生变形，而塔的变形又例如当气流流过一个很高的铁塔产生变形，而塔的变形又反过来影响到气流的流动反过来影响

13、到气流的流动这就需要用固体力学和流体动力学的这就需要用固体力学和流体动力学的有限元分析结果交叉迭代求解，即所谓有限元分析结果交叉迭代求解，即所谓 流固耦合流固耦合 的问题。的问题。2.2.从单纯结构力学计算发展到求解许多物理场问题从单纯结构力学计算发展到求解许多物理场问题概述概述分析学科领域.实体运动，承受压力，或实体间存在接触实体运动，承受压力，或实体间存在接触.施加热、高温或存在温度变化施加热、高温或存在温度变化.恒定的磁场或磁场恒定的磁场或磁场.电流（直流或交流）电流（直流或交流）.气（液）体的运动，或受限制的气体气（液）体的运动，或受限制的气体/ /液体液体.以上各种情况的耦合以上各种

14、情况的耦合结构结构热热磁磁流体流体电电耦合场耦合场概述概述 线性理论已经远远不能满足设计的要求。线性理论已经远远不能满足设计的要求。 例如：航天和动力工程的高温部件存在热变形和热应力，要考例如：航天和动力工程的高温部件存在热变形和热应力，要考虑材料的非线性问题；诸如塑料、橡胶和复合材料等各种新材料虑材料的非线性问题；诸如塑料、橡胶和复合材料等各种新材料的出现，只有采用非线性有限元算法才能解决。的出现，只有采用非线性有限元算法才能解决。 非线性的数值计算是很复杂的，很难为一般工程技术非线性的数值计算是很复杂的，很难为一般工程技术人员所掌握。为此近年来国外一些公司花费了大量的人员所掌握。为此近年来

15、国外一些公司花费了大量的人力和投资开发诸如人力和投资开发诸如MARC、ABQUS和和ADINA等专长于等专长于求解非线性问题的有限元分析软件，并广泛应用于工求解非线性问题的有限元分析软件，并广泛应用于工程实践。程实践。3.3.由求解线性工程问题进展到分析非线性问题由求解线性工程问题进展到分析非线性问题概述概述 随着数值分析方法的逐步完善，尤其是计算机运算速飞随着数值分析方法的逐步完善，尤其是计算机运算速飞速发展，整个计算系统用于求解运算的时间越来越少，而速发展，整个计算系统用于求解运算的时间越来越少，而数据准备和运算结果数据准备和运算结果的表现问题却日益突出。在现在的工的表现问题却日益突出。在

16、现在的工程工作站上，求解一个包含程工作站上，求解一个包含10万个方程的有限元模型只需万个方程的有限元模型只需要用几十分钟。工程师在分析计算一个工程问题时有要用几十分钟。工程师在分析计算一个工程问题时有80%以上的精力都花在数据准备和结果分析上。以上的精力都花在数据准备和结果分析上。4.4.增强可视化的前置建模和后置数据处理功能增强可视化的前置建模和后置数据处理功能概述概述目前几乎所有的商业化有限元程序系统都有功目前几乎所有的商业化有限元程序系统都有功能很强的前置建模和后置数据处理模块。使用能很强的前置建模和后置数据处理模块。使用户能以可视图形方式直观快速地进行网格自动户能以可视图形方式直观快速

17、地进行网格自动划分，生成有限元分析所需数据，并按要求将划分，生成有限元分析所需数据，并按要求将大量的计算结果整理成变形图、等值分布云图大量的计算结果整理成变形图、等值分布云图，便于极值搜索和所需数据的列表输出，便于极值搜索和所需数据的列表输出。 概述概述隧道的隧道的1/2 有限元模型有限元模型 厂房开挖部分的网格厂房开挖部分的网格 前处理前处理 概述概述 后处理后处理 隧道衬砌和岩体的应力分布图隧道衬砌和岩体的应力分布图概述概述 当今有限元分析系统的另一个特点是与通用当今有限元分析系统的另一个特点是与通用CAD软件的软件的集成使用，集成使用， 即：在用即：在用CAD软件完成部件和零件的造型设软

18、件完成部件和零件的造型设计后，自动生成有限元网格并进行计算，如果分析的结计后，自动生成有限元网格并进行计算，如果分析的结果不符合设计要求则重新进行造型和计算，直到满意为果不符合设计要求则重新进行造型和计算，直到满意为止，从而极大地提高了设计水平和效率。当今所有的商止，从而极大地提高了设计水平和效率。当今所有的商业化有限元系统商都开发了和著名的业化有限元系统商都开发了和著名的CAD软件（例如软件（例如Pro/ENGINEER、Unigraphics、SolidEdge、SolidWorks、I D E A S 、 B e n t l e y 和和 A u t o C A D 等 ） 的 接 口等

19、 ） 的 接 口 。 5.5.与与CADCAD软件的无缝集成软件的无缝集成概述概述6.6.有限元方法在工业生产中的广泛应用有限元方法在工业生产中的广泛应用y机械加工机械加工y航空航天航空航天概述概述y土木结构土木结构y汽车工业汽车工业概述概述y核电能源核电能源y其它领域其它领域概述概述有限单元法的特点有限单元法的特点数值解法的类型数值解法的类型：在解析法的基础上直接进行近似数值计算，如有限差分法。在解析法的基础上直接进行近似数值计算，如有限差分法。在力学模型上进行数值计算，如有限单元法在力学模型上进行数值计算，如有限单元法数值解法的产生数值解法的产生：l许多力学问题无法求得解析解答许多力学问题

20、无法求得解析解答l许多工程问题也只需要给出数值解答许多工程问题也只需要给出数值解答概述概述有限单元法的基本思想有限单元法的基本思想l离散离散l分片插值分片插值变分法在整个求解域内用一个统一的试函数逼近真实函数变分法在整个求解域内用一个统一的试函数逼近真实函数有限单元法针对每一个单元选择试函数有限单元法针对每一个单元选择试函数分片插值的思想是有限单元法与里兹法的一个重要区别分片插值的思想是有限单元法与里兹法的一个重要区别（图解）（图解）把连续系统（包括杆系、连续体、连续介质）分割成把连续系统（包括杆系、连续体、连续介质）分割成数目有限的单元数目有限的单元概述概述ox xy y实际分布曲线实际分布

21、曲线c1整体试探函数整体试探函数c2分片差值函数分片差值函数一维函数的整体插值和分片插值一维函数的整体插值和分片插值概述概述l直接刚度法直接刚度法l变分法变分法l加权残数法加权残数法l能量平衡法能量平衡法有限单元法的推理途径有限单元法的推理途径概述概述1、物理概念清晰、物理概念清晰。有限元法一开始就从力学角度进行有限元法一开始就从力学角度进行简化，易于掌握，便于初学者入门。简化，易于掌握，便于初学者入门。2、可以从不同的水平上建立起对该法的解。、可以从不同的水平上建立起对该法的解。它既可从它既可从通俗易懂的结构力学方法出发，阐述其基本原理并通俗易懂的结构力学方法出发，阐述其基本原理并进行公式推

22、导，也可以按严格的数学逻辑来阐释。进行公式推导，也可以按严格的数学逻辑来阐释。3、适应性强，应用范围广、适应性强，应用范围广目前，它几乎适应于求解目前，它几乎适应于求解所有的连续介质和场的问题。所有的连续介质和场的问题。4、已经出现了许多大型结构分析通用程序，可以直接、已经出现了许多大型结构分析通用程序，可以直接应用。应用。如如SAP，ANSYS，NASTRAN，ADINA等。等。有限单元法的优点有限单元法的优点概述概述学习有限元法所需的理论基础学习有限元法所需的理论基础l学科理论学科理论理论力学、材料力学、结构力学、理论力学、材料力学、结构力学、弹性力学、流体力学、传热学等弹性力学、流体力学

23、、传热学等l数学基础数学基础线性代数、变分原理、加权余量法线性代数、变分原理、加权余量法l计算机基础计算机基础计算机的一般知识、算法语言、计计算机的一般知识、算法语言、计算机的使用和编程算机的使用和编程概述概述有限单元法分析过程概述有限单元法分析过程概述结构离散化结构离散化单元分析单元分析整体分析整体分析概述概述有限元分析有限元分析是利用数学近似的方法对真实物理系是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。利用简单而又统（几何和载荷工况）进行模拟。利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。

24、未知量去逼近无限未知量的真实系统。定义定义基本概念基本概念概述概述物理系统举例 几何体几何体 载荷载荷 物理系统物理系统结构结构热热电磁电磁概述概述有限元模型 有限元模型有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象是真实系统理想化的数学抽象。真实系统真实系统有限元模型有限元模型概述概述节点和单元节点节点: 空间中的坐标位置，具有一定自由度和空间中的坐标位置，具有一定自由度和 存在相互存在相互物理作用物理作用。单元单元: 一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵 描述（称为刚度或系数矩阵描述（称为刚度或系数矩阵)。单元有线、。单元有线、 面或实体以及二维或三维的单元等种

25、类。面或实体以及二维或三维的单元等种类。有限元模型由一些简单形状的有限元模型由一些简单形状的单元单元组成，单元之间通过组成，单元之间通过节点节点连连接，并承受一定接，并承受一定载荷载荷。载荷载荷载荷载荷概述概述信息是通过单元之间的公共节点传递的。信息是通过单元之间的公共节点传递的。分离但节点重叠的单元分离但节点重叠的单元A和和B之间没有信息传递之间没有信息传递（需进行节点合并处理）（需进行节点合并处理）具有公共节点的单元具有公共节点的单元之间存在信息传递之间存在信息传递 . . . .AB. . . . . . . . .AB. . . .1 node2 nodes节点和单元 概述概述节点和单

26、元 尽管梯子的有限元模型低于尽管梯子的有限元模型低于100100个方程（即个方程（即“自由度自由度”），然而在今天一个小的），然而在今天一个小的 ANSYSANSYS分析就可能有分析就可能有50005000个未个未知量，矩阵可能有知量，矩阵可能有2525，000000，000000个刚度系数。一台奔腾个刚度系数。一台奔腾PCPC机在几分钟内可求解机在几分钟内可求解5000500050005000的矩阵系统，而过去的矩阵系统，而过去则需要几天时间。则需要几天时间。作为一个整体，单元形成了整体结构的数学模型。作为一个整体，单元形成了整体结构的数学模型。每个单元的特性是通过一些线性方程式来描述的。每

27、个单元的特性是通过一些线性方程式来描述的。概述概述自由度自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性用于描述一个物理场的响应特性。结构结构 DOFs 结构结构 位移位移 热热 温度温度 电电 电位电位 流体流体 压力压力 磁磁 磁位磁位 方向方向 自由度自由度ROTZUYROTYUXROTXUZ自由度（DOFs）概述概述u结构的离散化结构的离散化 将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算模型，这将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算模型，这一步称作单元剖分。一步称作单元剖分。 离散后单元于单元之间利用单元的节点相互连接起来；离散后单元于单元之间利用单元的节点相互连接起来；单元节点的设置、

28、性质、数目等应视问题的性质，描述单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质，描述变形形态的需要和计算进度而定。变形形态的需要和计算进度而定。 用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。如果划分用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。如果划分单元数目非常多而又合理，则所获单元数目非常多而又合理，则所获 得的结果就与实际得的结果就与实际情况相符合。情况相符合。概述概述1.单元类型选择单元类型选择离散化首先要选定单元类型，这包括离散化首先要选定单元类型，这包括单元形状单元形状、单元结点单元结点数与数与结点自由度数结点自由度数等三个方面的内容等三个方面的内容水坝水坝概述概述1D2D3D常用单元的形状常用

29、单元的形状概述概述概述概述 线单元线单元: Beam(梁梁)单元是用于单元是用于螺栓螺栓(杆杆)，薄壁管件，薄壁管件，C形截面构件，形截面构件，角钢或者狭长薄膜构件角钢或者狭长薄膜构件(只有膜只有膜应力和弯应力的情况应力和弯应力的情况)等模型。等模型。 Spar (杆杆)单元是用于单元是用于弹簧，螺弹簧，螺杆，预应力螺杆和薄膜桁架杆，预应力螺杆和薄膜桁架等等模型模型。 Spring 单元是用于单元是用于弹簧，螺杆弹簧，螺杆，或细长构件，或细长构件，或或 通过刚度等通过刚度等效替代复杂结构等模型效替代复杂结构等模型。概述概述 X-Y 平面单元平面单元: 在整体笛卡尔在整体笛卡尔X-Y平面内（模型

30、必须建在此面内），平面内（模型必须建在此面内），其其中任何一种单元类型只允许有平面应力、平面应变中任何一种单元类型只允许有平面应力、平面应变 、轴对轴对称、和称、和/或者谐结构特性。或者谐结构特性。OKNJMPLIIJK,L,OPNMTriangular OptionY(or Axial)X (or Radial)平面应力或应变平面应力或应变:概述概述平面应力平面应力 分析是用来分析分析是用来分析诸如承受面内载荷的诸如承受面内载荷的平板平板、承受压力或远离中心载荷的承受压力或远离中心载荷的薄圆盘薄圆盘等结构等结构。平面应力平面应力概述概述平面应变分析平面应变分析是用于分析那种是用于分析那种一个

31、方向的尺寸（指定为总体一个方向的尺寸（指定为总体Z方向）远远大于其它两个方向方向）远远大于其它两个方向的尺寸，并且垂直于的尺寸，并且垂直于Z轴的横截轴的横截面是不变的。面是不变的。平面应变平面应变概述概述假定三维实体模型是由假定三维实体模型是由XY面内的横截面内的横截面绕面绕Y轴旋转轴旋转360o 形成的（管，锥体形成的（管，锥体，圆板，圆板, 圆顶盖，圆盘等）。圆顶盖，圆盘等）。4 对称轴必须和整体对称轴必须和整体 Y 轴重合。轴重合。4 不允许有负不允许有负 X 坐标。坐标。4 Y 方向是轴向，方向是轴向，X方向是径向，方向是径向， Z方向是周向方向是周向 (hoop) 。4 周向位移是零

32、；周向应变和应力十周向位移是零；周向应变和应力十分明显。分明显。4 只能承受轴向载荷（所有载荷）。只能承受轴向载荷（所有载荷）。Hoop轴对称轴对称概述概述 Shell (壳壳)单元用于单元用于薄面薄面板板或或曲面模型。曲面模型。壳单元分析应用的基本原壳单元分析应用的基本原则是则是每块面板的主尺寸不每块面板的主尺寸不低于其厚度的低于其厚度的10倍。倍。壳单元壳单元:概述概述 用于那些由于几何、材料、用于那些由于几何、材料、载荷或分析结果要求考虑的细载荷或分析结果要求考虑的细节等原因造成节等原因造成无法采用更简单无法采用更简单单元进行建模的结构单元进行建模的结构。四面体模型使用四面体模型使用CA

33、D建模往建模往往比使用专业的往比使用专业的FEA分析建模分析建模更容易，也偶尔得到使用。更容易，也偶尔得到使用。KRLQOPMNJIXYZTetrahedron meshBrick mesh三维实体单元三维实体单元:概述概述其它可供选择的单元类型其它可供选择的单元类型建立三维实体模型需要作出下列选择：建立三维实体模型需要作出下列选择： 使用四面体单元划分网格使用四面体单元划分网格4 采用简便方法建立实体模型采用简便方法建立实体模型。4 选用二次单元或者选用二次单元或者 p单元。单元。或或 者者 使用块单元划分单元网格使用块单元划分单元网格4选用块单元网格建立实体模型选用块单元网格建立实体模型。

34、通常需要花费更多通常需要花费更多时间和精力。时间和精力。 划分子区域划分子区域 连接处理连接处理 延伸延伸4 采用任何块单元。采用任何块单元。概述概述 专用单元专用单元 包括包括接触接触单元单元 - 用于构用于构件间存在接触面的结构建模件间存在接触面的结构建模，如涡如涡轮盘和叶片，螺栓头部和法兰，电轮盘和叶片，螺栓头部和法兰，电触头，以及触头，以及O-圈等等。圈等等。 做好接触分析要求有这方面的知识做好接触分析要求有这方面的知识和经验和经验。JIGAPM or M/2CXYZFSLIDEK1K2M or M/2专用单元专用单元:概述概述CutoutsCracksentrant cornersV

35、icinity of concentrated (point)loads, and sharp contact areas 网格的加密网格的加密2.单元划分单元划分概述概述Load transfer(bonded joints,welds, anchors,reinforcing bars, etc.)Abrupt thickness changesMaterial interfaces概述概述GoodBadElements with good and bad aspect ratios. 单元形态应尽可能接近相应的正多边形或正多面体单元形态应尽可能接近相应的正多边形或正多面体 概述概述llu

36、stration of the rule that elements should not cross material interfaces. 同一单元由同一种材料构成同一单元由同一种材料构成概述概述 单元结点应与相邻单元结点相连接，不能置于相邻单元边界上单元结点应与相邻单元结点相连接，不能置于相邻单元边界上 网格划分应尽可能有规律，以利于计算机自动生成网格。网格划分应尽可能有规律，以利于计算机自动生成网格。概述概述 eNuv1.选择位移模式选择位移模式 位移法：选择节点位移作为基本未位移法：选择节点位移作为基本未 知量称为位移法；知量称为位移法； 力力 法：选择节点力作为基本未法：选择节点

37、力作为基本未 知量时称为力法；知量时称为力法； 混合法：取一部分节点力和一部分节点位移作为基本混合法：取一部分节点力和一部分节点位移作为基本未知量时称为混合法。未知量时称为混合法。 位移法易于实现计算自动化，所以，在有限单位移法易于实现计算自动化，所以，在有限单元法中位移法应用范围最广元法中位移法应用范围最广。u单元分析单元分析概述概述v2.分析单元的力学性质分析单元的力学性质 根据根据 单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置及其含义等，找出单元节点力和节点位、位置及其含义等，找出单元节点力和节点位移的关系式，这是单元分析中的关键一步。此移的关系式，这是

38、单元分析中的关键一步。此时需要应用弹性力学中的几何方程和物理方程时需要应用弹性力学中的几何方程和物理方程来建立力和位移的方程式，从而导出单元刚来建立力和位移的方程式，从而导出单元刚 度度矩阵，这是有限元法的基本步骤之一矩阵，这是有限元法的基本步骤之一。概述概述分析单元的力学特征分析单元的力学特征 单元应变矩阵单元应变矩阵BB单元应力矩阵单元应力矩阵S单元刚度矩阵单元刚度矩阵K eB eS单元刚度方程单元刚度方程 tdxdyBDBKTAe eeeFK概述概述v3.计算等效节点力计算等效节点力 物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元 传递到另一个单元。但是

39、，对于实际的连续体传递到另一个单元。但是，对于实际的连续体，力是从单元的公共边传递到另一个单元中去，力是从单元的公共边传递到另一个单元中去的。因而，这种作用在单元边界上的表面力、的。因而，这种作用在单元边界上的表面力、体积力和集中力都需要等效的移到节点上去，体积力和集中力都需要等效的移到节点上去，也就是用等效的节点力来代也就是用等效的节点力来代 替所有作用在单元替所有作用在单元上得力。上得力。概述概述u整体分析整体分析利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原来的结构重新连接起来，形成整体的有限元方原来的结构重新连接起来，形成整体的有限元方程程 RK

40、1.1.单元组集单元组集概述概述2.求解未知节点位移求解未知节点位移 引入边界条件引入边界条件可以根据方程组的具体特点来选择合适的计算方法。可以根据方程组的具体特点来选择合适的计算方法。解线性方程组求出位移，然后求出单元应力。解线性方程组求出位移，然后求出单元应力。概述概述要求和特点要求和特点z有限元的基本原理和方法有限元的基本原理和方法z发展有限元方法发展有限元方法z程序实践程序实践y理解掌握有限元的基本思想和方法理解掌握有限元的基本思想和方法y实际调试和处理教学程序实际调试和处理教学程序y能正确使用通用程序能正确使用通用程序y构造新的单元构造新的单元y解决新的问题解决新的问题y引入新的数值

41、方法引入新的数值方法概述概述Part of a two-dimensional FE mesh has been set up as indicated in Figure E1.2.Region ABCD is still unmeshed. Draw a transition mesh within that region that correctly merges with the regular grids shown, uses 4-node quadrilateral elements (quadrilaterals with corner nodes only), and avo

42、ids triangles. Note: There are several (equally acceptable) solutions.EXERCISE 1概述概述概述概述 采用矩阵表示,可使公式统一、简洁，且便于编制程序。 本章无特别指明，均表示为平面应力平面应力问题问题的公式。面力位移函数应变应力结点位移列阵结点力列阵 。Tyxff)(f。Tyxvyxu),(, ),(d。Txyyx)(。Txyyx)(。Tjjiivuvu)(。TjyjxiyixFFFF)(F基本物理量基本物理量：。Tyxff)(f体力物理方程 其中D为弹性矩阵，对于平面应力问题是)(b,D)(2100010112cE

43、。DFEM中应用的方程：中应用的方程：)()(ayvxuyvxuT。几何方程 结点虚位移， 对应的虚应变。 在FEM中，用结点的平衡方程代替平衡微分方程，后者不再列出。,)( )(ATTdxdytF*图6-1yxoij*,iiyvF*,iixuFjjyvF ,*,jjxuF虚功方程其中 以下来导出FEMFEM。 1. 结构离散化结构离散化将连续体变换为离散 化结构； FEMFEM的概念的概念，可以简述为：用结力方法求解用结力方法求解弹力问题弹力问题。即 1. 将连续体变换为离散化结构。 2.再应用结力方法进行求解。(a) 桁架(b) 深梁（连续体） 结力研究的对象是离散化结构。如桁架，各单元（

44、杆件）之间除结点铰结外，没有其他联系（图（a）。弹力研究的对象，是连续体（图（b）)。图 6-2 将连续体变换为离散化结构将连续体变换为离散化结构（图（c）：即将连续体划分为有限多个、有限大小的单元，并使这些单元仅在一些结点处用绞连结起来，构成所谓离散化结构离散化结构。(c) 深梁（离散化结构） 与 相比，两者都是离散化结构；区别是，桁架的单元是杆件，而图（c）的单元是三角形块体（注意：三角形单元内部仍是连续体）。例如：将深梁划分为许多三角形单元，这些单元仅在角点用铰连接起来。图（c）图（a）2.应用结构力学方法应用结构力学方法( (位移法位移法) )进行求解进行求解: : 分析步骤如下：分析

45、步骤如下： 仿照桁架的结力位移法，来求解图（c）的平面离散化结构。其中应注意，三角形单元内部仍是连续体，应按弹力方法进行分析。 （2) 应用插值公式, 由单元结点位 移 ，求单元的位移函数（1）取各结点位移 为基 本未知量。然后对每个单元,分别求出各物理量,并均用 来表示。), 2 , 1()(ivuTiii), 2 , 1(iiTmiie)(。Tyxvyxu),(),(d这个插值公式称为单元的位移模式，表示为。ed ）（a（5）应用虚功方程，由单元的应力 ，求出 单元的结点力单元的结点力，表示为（3）应用几何方程，由单元的位移函数d，求出单元的应变单元的应变，表示为。eS。eB）（b）（c。

46、emjiekFFFF(）（d（4）应用物理方程，由单元的应变 ，求 出 单元的应力单元的应力，表示为 结点对单元的作用力，作用 于单元，称为结点力，以正标向为正。 单元对结点 的作用力，与 数 值相同,方向相反， 作用于结点。TiyixFF(iFTiyixFF(iFiFimjxyoiixFiyFjxFjyFmxFmyFiyFixFivmvjviumuju（6）将每一单元中的各种外荷载，按虚功等效原则移置到结点上，化为结点荷结点荷 载载，表示为 .(eLmLjLieLFFFF）（e各单元移置到i 结点上的结点荷载 其中 表示对围绕i 结点的单元求和；iF)( fLiF(7) 对每一结点建立平衡方

47、程对每一结点建立平衡方程。,iF,FLi), 2 , 1(,ieLieiFFe)( f各单元对i 结点的结点力作用于结点i上的力有： 为已知值, 是用结点位移表示的值。通过求解联立方程 ，得出各结点位移值，并从而求出各单元的应变和应力。 整体分析： 建立结点平衡方程组，求解各结点 的位移。2.应用结构力学方法求解离散化结构, 对单元进行分析：求出 （1）单元的位移模式， （2）单元的应变和应力列阵， （3）单元的结点力列阵， （4）单元的结点荷载列阵。1. 将连续体变换为离散化结构。归纳起来，FEMFEM分析的主要内容分析的主要内容： 思考题 1. 桁架的单元为杆件，而平面体的单元为三角形块体

48、，在三角形内仍是作为连续体来分析的。试考虑后者在用结构力学方法求解时，将会遇到什么困难？ 2. 在平面问题中，是否也可以考虑其它的单元形状，如四边形单元？ FEM是取结点位移 为基本未知数的。但其中每一个单元仍是连续体，所以按弹力公式求应变、应力时，必须首先解决：如何由单元的结点位移 来求出单元的位移函数 应用插值公式，可由 求出位移d。这个插值公式表示了单元中位移的分布形式，因此称为位移模式位移模式。Tmjie(i。Tyxvyxu),(),(deuvxyoijmiijjmmvvuuvu位移假设位移假设： 设各点的位移，即位移场为设各点的位移，即位移场为yaxaavyaxaau654321其中

49、其中621,aaa为待定系数，由为待定系数，由节点坐标和节点位移节点坐标和节点位移确定。确定。u位移模式位移模式单元内各点位移的变化规律单元内各点位移的变化规律(a)65432110000001aaaaaayxyxvu将位移写成矩阵形式将位移写成矩阵形式：在节点上满足：在节点上满足：mmmmmmjjjjjjiiiiiiyaxaavyaxaauyaxaavyaxaauyaxaavyaxaau654321654321654321aHds写成矩阵形式写成矩阵形式：654321100000011000000110000001aaaaaayxyxyxyxyxyxvuvuvummmmjjjjiiiimmj

50、jiiaAbe解线性代数方程组，得解线性代数方程组，得1ebAaaHds得161666212ebsAHd166212eNd(b)N 称为形（态）函数矩阵。eNdmmjjiimjimjivuvuvuNNNNNNvu000000。mmjjiimmjjiivNvNvNvuNuNuNu,(c) A为三角形 的面积（图示坐标系中， 按逆时针编号）， 其中),(,2)(mjiAycxbaNiiii,mmjjiyxyxa ,11miiyyb.11miixxc ),(mjiijmmji,。mmjjiiyxyxyxA1112 . .0),(),(; 1),(mmijjiiiiyxNyxNyxN形函数的性质形函数

51、的性质. .1),(),(),(yxNyxNyxNmjiijm1iu若若0; 1mmjjiivuvuvu),(),(yxNyxui则则j idsNAdxdyNijiAi21,3jimjjmmii 三结点三角形单元的位移模式，略去了二次以上的项，因而其误差量级是 且其中只包含了 的一次项，所以在单元中 的分布如图（a）所示， 的分布如图 所示。 );(2xo yx,iNvu和)()(cb 、(a)(b)(c)图 6-5ivmvjviumuju1 FEM中以后的一系列工作，都是以位移模为基础的。所以当单元趋于很小时，即 时，为了使FEM之解逼近于真解，即为了 保证保证FEMFEM收敛性收敛性, ,

52、位移模式应满足下列位移模式应满足下列条件：条件： 0,yx（1）位移模式必须能反映单元的刚体位移。 （2）位移模式必须能反映单元的常量应变。 因为当单元 时，单元中的位移和应 变都趋近于基本量刚体位移和常量 位移。0。xxyvyyxu22,22353564353521,00 xvvyuu可见刚体位移项在式（a）中均已反映。与刚体位移相比，将式（a）写成（3）位移模式应尽可能反映位移的连续性。 即应尽可能反映原连续体的位移连续 性。 在三角形单元内部，位移为连续； 在两单元边界ij 上， 之间均为线 性变化，也为连续。 对式（a）求应变，得,5362xyyxji 和可见常量应变也已反映。单元边界

53、上单元边界上, ,形函数的值只与该边界的两个结点形函数的值只与该边界的两个结点的坐标有关的坐标有关, ,与另一结点坐标无关与另一结点坐标无关. .ijiijixxxxyyyyiimmyxxcby)(以以i、j边为例：边为例：i、j边的直线方程为边的直线方程为0),(yxNmijjjxxxxyxN),(ijjixxxxyxN1),(由此性质可知：单元间的位移是协调的。由此性质可知：单元间的位移是协调的。在在i、j边上边上ijmmmjjiiuNuNuNyxu),(为了保证FEM的收敛性，（1）和（2）是必要条件，而加上（3）就为充分条件。 思考题1. 应用泰勒级数公式来选取位移模式，为什么必须从低

54、次项开始选取？2. 试考虑：将结构力学解法引入到求解连续体的问题时，位移模式的建立是一个关键性工作，它使得单元(连续体)内部的分析工作都有可能进行了。 。mmjjiimmjjiivNvNvNvuNuNuNu,), (2/ )(mjiAycxbaNiiii。其中，单元中的位移函数单元中的位移函数已用位移模式表示为 应用几何方程，求出单元的应变列阵 ：。eBmmjjiimmjjiimjimjiTvuvuvubcbcbccccbbbAyuxvyvxu00000021)(）（a)(),(bmjiBBBB)(),(0021cmjibccbAiiii。iB)(,deeSDBDS称为应力转换矩阵应力转换矩阵

55、，写成分块形式为再应用物理方程，求出单元的应力列阵：B 称为应变矩阵应变矩阵，用分块矩阵表示， 对于线性位移模式，求导后得到的应变和应力，均成为常量，因此，称为常应变（应力）单元。应变和应力的误差量级是 其精度比位移低一阶，且相邻单元的应力是跳跃式的。 )(),(emjiSSSS)(),(2121)1 (22fmjibccbcbAEiiiiii。iiDBS),( xo 思考题 1.如果在位移模式中取到泰勒级数中的二次幂项，略去 高阶小量，试考虑位移、应变和应力的误差量级。 3x 现在来考虑其中一个单元：oyxjmii图 6-7ixFiyFjxFjyFmxFmyFiyFixF)( 在FEM中，首

56、先将连续体变换为离散化连续体变换为离散化结构的模型结构的模型。mji,（2）单元与周围的单元在边界上已没有联 系，只在结点 互相联系。（1）将作用于单元上的各种外荷载，按静 力等效原则移置到结点上去，化为等 效结点荷载。故单元内已没有外荷载。假想将单元与结点i 切开，则 ),(,)(mjiFFTiyixiF),(,)(mjiFFTiyixiF其数值与 相同，而方向相反。iF以沿正坐标向为正。对单元而言，这是作 用于单元上的外力。 单元作用于结点的力单元作用于结点的力，为 结点作用于单元上的力结点作用于单元上的力，称为结点力结点力，;)(TmjieFFFF ijm。Txyyx)(按虚功方程，在虚

57、位移上，外力的虚功等于外力的虚功等于 应力的虚功应力的虚功。而其内部有应力作用， 考察已与结点切开后的单元 ，则此单元上作用有外力结点力 ，应用虚功方程，求单元的结点力： 假设发生一组结点虚位移 则单元内任一点（x,y）的虚位移为单元内任一点（x,y）的虚应变为代入虚功方程：在单元中，外力（结点力 ）在虚位移（结点虚位移 ）上的虚功，等于应力 在虚应变 上的虚功，即 ,)(e*,)(e*Nd ,)(e*B eF)()(*e)(*）（a。ATTedxdytF*e*)()(式(b)是由应力求结点力的一般公式。因为 是独立的任意的虚位移，虚功方程对任意的 均应满足， 得出,)()()(TTeTeTB

58、B*e)(*yx, )()(。ATeTedxdytBFT*e*。ATdxdytBFee)(*e)(*其中 与 无关，故式(a) 成为代入 (b)(,)(cdxdyteAe*TekDBBF)(,ddxdytADBBkT。元素)66( 式（c）是由结点位移求结点力的一般公式，k k 称为单元的劲度矩阵其中再将应力公式代入上式，得对于三角形单元，B矩阵内均为常数， 有,tADBBkT）（e代入B，D，得出k如书中（6-37）及（6-38）所示。（1） 是66的方阵， 中每一个元素都表示发生单元结点位移时所引起的结点力。（2）由反力互等定理， 所以 是对称矩阵，以对角线为对称轴。k,srrsTkk k

59、k单元劲度矩阵单元劲度矩阵k k的性质的性质：（3）当单元作刚体平移时，如 ui=uj=um=1，三角形内不产生应力和应变，结点力也为0。（4）由（3）可导出行列式| |=0。（5） 的元素与 单元的形状和方位等 有关，但与单元的大小和刚体的平动及 作 度转动无关。 因此, 中每一行（或列）的元素之和为零（其中第一、三、五元素之和或二、四、六元素之和也为0）。,tEknkk例：如图所示为一平面应力状态的直角三角形单元，例：如图所示为一平面应力状态的直角三角形单元，试求（试求（a）形状函数矩阵）形状函数矩阵;（b）应变矩阵）应变矩阵B;（c）应力矩阵应力矩阵S（d）单元刚度矩阵）单元刚度矩阵 。

60、yxjbam(0,0)i(a,0)（0,b)61kbyaxByaxbyaxbyaxN10000100解解（a）（b）应变矩阵）应变矩阵B,0ia,0ja;abam,0ib,0jb;bbm,0ic,0jc;acmmmjjiimjimjibcbcbccccbbbAB00000021b-a-0ab0a-0a0000b-000bab1a1-b1-0b1a10b1-0b10000a1-000a1（C）应力矩阵）应力矩阵S式中式中2-1000101-1ED2S=DBa1-b1-0b1a10b1-0b10000a1-000a12-1000101-1E22a-1-2b-1-02b-12a-10b1-a-b10