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文档简介
1、三、解析函数的定积分公式 证明:如图,解析函数f(z)由点 经 到 ,再经 到 的积分等于从 经 到 的积分,即则:由于解析函数的积分与路径无关,可取 为直线,设 为直线上任意一点,考虑到解析函数必连续,所以任给 ,必存在 ,使当 ,有 则有这表明:当 时, 的极限为f(z),即定理得证。四、小圆弧引理与大圆弧引理1.小圆弧引理:若 在 的无心邻域内连续,在小圆弧 上一致成立,则证明:由(1)式及极限的定义可得,任给 ,存在使当 时,有又则因为 可任意地小,而 为常量,即 所以即 2. 大圆弧引理:若 在无穷远点的无心邻域内连续,在大圆弧 上一致成立,则证明略。 2.3 柯西公式和高阶导数公式
2、一、单通区域的柯西公式柯西定理推出的公式设f(z)在单通区域 内解析,a为 的内点,则注意:a为内一点,z在L上取值 柯西公式说明:解析函数f(z)在其解析区域内任一点的值可由沿边界线的积分确定。(解析函数的重要性质之一)L: 的边界线此结果与r无关,故令0由小圆弧引理:举一反三:令 ,它在闭圆 解析其它方法:留数定理(见第4章)因此,被积函数有四个奇点:试计算积分 ,积分回路l为解: (1) 积分回路的形状。方程 经配方以后可化为 它是圆心在(1,0),半径为1的圆,见图2.14 (2)被积函数的奇点。方程 有四个根:但仅有 与 位于积分回路之内。(3)按复通区域的柯西定理及柯西公式计算。以
3、小圆周 和 分别包围奇点 和 ,则被积函数在外边界线l与内边界线 所围的复通区域解析。按复通区域的柯西定理,沿l的积分等于沿 与 积分之和,后两个积分可按柯西公式算出,即上式已将 的值代入。二、复通区域的柯西公式设 f(z)在闭复通区域 中解析,a为 的内点,则证明: 的边界线L:外边界线 ,内边界线L2,L3, L4.Ln作割线后:(1) 闭复通区域变为闭单通区域; (2) 沿割线的积分互相抵消。于是: (积分沿边界线L的正方向)(积分沿的边界线L的正方向)三、高阶导数公式定理:解析函数f(z)的导数仍为解析函数,它的n阶导数为其中:z为 的内点,z为 的边界点证明:设z为D内任意一点,先证
4、n=1的情形,即根据导数定义:由柯西积分公式得:从而有:设后一个积分为I,则因为f(z)在L上是解析的,所以在L上连续 f(z)有界即 (M:正数)设d为:z到曲线L上各点的最小距离,则当 足够小时,例如 时,有则所以如果 ,则 ,从而上式右边的积分存在(因为:f(z)解析 连续. 又L连续 积分存在,即 f(z)存在。)从导数的表达式看出:在积分号下将柯西积分公式对z求导是合法的;(2) f (z)是解析的。 即重复以上过程可得:依此类推,由数学归纳法可以证明:说明:1.解析函数在其解析区域可以求导任意多次; 解析函数的又一特点 2.高阶导数公式的作用,不在于通过积分来求导,而在于通 过求导来求积分 (求导运算比积分运算要简单得多); 3.对于复连通区域,高阶导数
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