2014镇江数学试题

1、2014届高三调研测试试卷(五)数学(满分160分，考试时间120分钟)20141参考公式：样本数据x1，x2，xn的方差s2eq f(1,n)(xieq o(x,sup6()2，其中eq o(x,sup6()eq f(1,n)i.一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分不需要写出解答过程，请把答案直接填写在相应位置上1. 已知集合A1，a1，B2，3，且AB3，则实数a的值为_2. 已知复数z满足(1i)z15i，则z_3. 点A(1，2)关于点P(3，4)对称的点的坐标为_4. 我市开展的“魅力教师”学生原创网文大赛，各校上传文章的时间为3月1日至30日，评委会把各校上传的文章

2、数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图(如图)已知从左至右各长方形的高的比为234641，第二组的频数为180.那么本次活动收到的文章数是_(第4题图)(第5题图)5. 执行上面的流程图，输出的结果s_6. 在等差数列an中，已知a5a6eq f(2,3)，则数列an的前10项的和S10_7. 设函数f(x)log2x，则在区间(0，5)上随机取一个数x，f(x)2的概率为_8. “a1”是“直线axy2a0与直线(2a1)xaya0互相垂直”的_(填“必要不充分”“充分不必要”“充要”或“既不充分也不必要”)条件9. 已知ABC中，点D、E分别为边AC、AB上的点，且DA2CD，EB2A

3、E，若eq o(BC,sup6()a，eq o(CA,sup6()b，则a、b为基底表示eq o(DE,sup6()_10. 若xeq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,4)，且sin2xeq f(1,4)，则f(x)eq r(2)sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,4)的值为_11. 已知定义在实数集R上的偶函数f(x)，当x0时，f(x)x2；则不等式f(x)x20的解集为_12. 如果双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1的渐近线与抛物线yx21相切，则该双曲线的离心率为_13. 设函数f(x)eq blc(avs4alco1(1|x1|，x

4、0，y0，若不等式x3y3kxy(xy)恒成立，则实数k的最大值为_二、 解答题：本大题共6小题，共90分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分)已知ABC的面积为S，且|eq o(BC,sup6()|2eq o(CA,sup6()eq o(CB,sup6()2S.(1) 求B的大小；(2) 若Seq f(1,2)，且|eq o(BC,sup6()eq o(BA,sup6()|1，试求ABC最长边的长度(本小题满分14分)已知aR，函数f(x)x22ax5.(1) 若不等式f(x)0对任意x(0，)恒成立，求实数a的取值范围；(2) 若a1，且函数f(x)的定

5、义域和值域均为1，a，求实数a的值(本小题满分14分)过去的2013年，我国多地区遭遇了雾霾天气，引起口罩热销某品牌口罩原来每只成本为6元，售价为8元，月销售5万只(1) 据市场调查，若售价每提高0.5元，月销售量将相应减少0.2万只，要使月总利润不低于原来的月总利润(月总利润月销售总收入月总成本)，该口罩每只售价最多为多少元？(2) 为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每只售价x(x9)元，并投入eq f(26,5)(x9)万元作为营销策略改革费用据市场调查，每只售价每提高0.5元，月销售量将相应减少eq f(0.2,（x8）2)万只则当每只售价x为多少时，下月的月总利润最大？

6、并求出下月最大总利润18. (本小题满分16分)椭圆eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，直线l过F2交椭圆于B、C两点(1) 如果直线l的方程为yx1，且F1BC为直角三角形，求椭圆方程；(2) 证明：以A为圆心，半径为b的圆上任意一点到F1、F2的距离之比为定值19. (本小题满分16分)已知实数kR，且k0，e为自然对数的底数，函数f(x)eq f(kex,ex1)，g(x)f(x)x.(1) 如果函数g(x)在R上为减函数，求k的取值范围；(2) 如果k(0，4，求证：方程g(x)0有且只有一个根xx0；且当xx0时，有xf(

7、f(x)成立；(3) 定义： 对于闭区间s，t称差值ts为区间s，t的长度； 对于函数g(x)，如果对任意x1、x2s，tD(D为函数g(x)的定义域)，记h|g(x2)g(x1)|，h的最大值称为函数g(x)在区间s，t上的“身高”问：如果k(0，4，函数g(x)在哪个长度为2的闭区间上“身高”最“矮”？20. (本小题满分16分)已知数列an的首项a11，且存在常数p、r、t(其中r0)，使得anan1r2n1与an1panpt对任意正整数n都成立；数列bn为等差数列(1) 求常数p、r、t，并写出数列an的通项公式；(2) 如果bn满足条件： b1为正整数； 公差为1； 项数为m(m为常

8、数)； 2eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,b1)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,b2)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,b3)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,bm)log2am，试求所有满足条件的m值；(3) 如果数列an与数列bn没有公共项，数列an与bn的所有项按从小到大的顺序排列成：1，c2，c3，c4，且1，c2，c3，c4成等比数列，试求满足条件的所有数列bn的通项公式.2014届高三调研测试试卷(五)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A、B、C、D四小题中选做两小题，每小题10

9、分，共20分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤A. (选修41：几何证明选讲)如图，已知AB是圆O的直径，圆O交BC于点D，过点D作圆O的切线DE交AC于点E，且DEAC.求证：AC2OD.B. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵eq blcrc(avs4alco1(x3,21)的一个特征值为4，求另一个特征值及其对应的一个特征向量C. (选修44：坐标系与参数方程)求经过极坐标为(0，0)，eq blc(rc)(avs4alco1(6，f(,2)，eq blc(rc)(avs4alco1(6r(2)，f(,4)三点的圆的直角坐标方程D. (选修45：不等式选讲)已知正数a、b、c满

10、足abc1，求(a2)(b2)(c2)的最小值【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤22. 已知曲线C：y22x4.(1) 求曲线C在点A(3，eq r(2)处的切线方程；(2) 过原点O作直线l与曲线C交于A、B两不同点，求线段AB的中点M的轨迹方程已知数列an满足a1eq f(2,3)，an1(1an)1.(1) 试计算a2，a3，a4，a5的值；(2) 猜想|an1an|与eq f(1,15)（）(其中nN*)的大小关系，并证明你的猜想2014届高三调研测试试卷(五)(镇江)数学参考答案及评分标准1. 42. 23i3. (5，

11、6)4. 1 2005. 206. eq f(10,3)7. eq f(4,5)8. 充分不必要9. eq f(1,3)aeq f(1,3)b10. eq f(r(3),2)11. 1，112. eq r(5)13. 614. 115. 解：(1) |eq o(BC,sup6()|2eq o(CA,sup6()eq o(CB,sup6()2S， a2bacosCabsinC，(2分) abcosCbsinC.由正弦定理得：sinAsinBcosCsinBsinC，(4分)在ABC中，sinAsin(BC)，sinC0，B(0，)，(6分)(1个或2个不交代扣1分，3个不交代扣2分) sinBc

12、osCcosBsinCsinBcosCsinBsinC， cosBsinCsinBsinC， cosBsinB，tanB1，(8分) Beq f(,4).(9分)(2) b1，B45，Seq f(1,2)， eq f(1,2)eq f(1,2)acsinB.(10分)由余弦定理得1a2c22aceq f(r(2),2)，(11分)解得a1，ceq r(2)或aeq r(2)，c1.(13分) 最长边为eq r(2).(14分)16. 解：(1) x22ax50时x(0，)恒成立， 2a0恒成立(3分) x0时，xeq f(5,x)2eq r(5)，(5分)当且仅当xeq f(5,x)，即xeq

13、 r(5)时，(6分)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(5,x)eq sdo7(min)2eq r(5). 2a2eq r(5)，即a1)， f(x)在1，a上为减函数，(8分) f(x)的值域为f(a)，f(1)，(10分)而已知值域为1，a， eq blc(avs4alco1(f（a）a22a251，,f（1）12a5a，)(12分)解得eq blc(avs4alco1(a2，,a2，) a2.(14分)17. 解：(1) 设每只售价为x元，则月销售量为eq blc(rc)(avs4alco1(5f(x8,0.5)0.2)万只，由已知得eq blc(rc)(avs4alco1

14、(5f(x8,0.5)0.2)(x6)(86)5，(3分) eq f(2,5)x2eq f(53,5)xeq f(296,5)0，即2x253x2960，(4分)解得8xeq f(37,2)，(5分)即每只售价最多为18.5元(6分)(2) 下月的月总利润yeq blcrc(avs4alco1(5f(x8,0.5)f(0.2,（x8）2)(x6)eq f(26,5)(x9)(9分)eq f(2.40.4x,x8)eq f(1,5)xeq f(234150,5)eq f(0.4（x8）0.8,x8)eq f(1,5)xeq f(84,5)eq blcrc(avs4alco1(f(4,5（x8）)

15、f(x8,5)eq f(74,5)，(10分) x9， eq f(4,5（x8）)eq f(x8,5)2eq r(f(4,25)eq f(4,5)，(12分)当且仅当eq f(4,5（x8）)eq f(x8,5)，即x10，ymin14，(13分)答：当x10时，下月的月总利润最大，且最大利润为14万元(14分)18. 解：(1) l：yx1，过右焦点F2， F2(1，0)，故椭圆左焦点为F1(1，0)即c1，(1分)设椭圆方程为eq f(x2,b21)eq f(y2,b2)1，当B或C为直角顶点时，由对称性，不妨设B为直角顶点， F1B斜率为1.又过点F1(1，0)， F1B方程为yx1，联

16、立和，解得点B(0，1)(2分) 点B在椭圆eq f(x2,b21)eq f(y2,b2)1上，代入得b1，又c1， a2b2c22，故此时椭圆方程为eq f(x2,2)eq f(y2,1)1；(4分)当F1为直角顶点时，(解法1)设F1B：yk(x1)，F1C方程为yeq f(1,k)(x1)，联立yx1，解得Beq blc(rc)(avs4alco1(f(1k,1k)，f(2k,1k)，(5分)同理，C坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(k1,k1)，f(2,k1).(6分) 点B、C在椭圆eq f(x2,b21)eq f(y2,b2)1上， eq blc(avs4alco

17、1(f(blc(rc)(avs4alco1(f(1k,1k)sup12(2),b21)f(blc(rc)(avs4alco1(f(2k,1k)sup12(2),b2)1，,f(blc(rc)(avs4alco1(f(k1,k1)sup12(2),b21)f(blc(rc)(avs4alco1(f(2,k1)sup12(2),b2)1，)(8分)解得b2eq r(3)1，此时椭圆方程为eq f(x2,r(3)2)eq f(y2,r(3)1)1.(9分)(解法2)联立和，得(2b21)x22(b21)x1b40，(5分)设B(x1，x11)，C(x2，x21)，则x1、x2为方程的两个根， x1x

18、2eq f(1b4,2b21).(6分) F1BF1Ceq f(x11,x11)eq f(x21,x21)1，即x1x21，(7分)由得eq f(1b4,2b21)1，b42b220，b2eq r(3)1，(8分)此时椭圆方程为eq f(x2,r(3)2)eq f(y2,r(3)1)1.(9分)综上，所求椭圆方程为eq f(x2,2)y21或eq f(x2,r(3)2)eq f(y2,r(3)1)1.(10分)(2) 证明： 右顶点A(a，0)， A为圆心，半径为b的圆为(xa)2y2b2，(11分)该圆上的任一点可设为P(x0，y0)，F1(c，0)，F2(c，0)，其中c2a2b2. eq

19、 blc(rc)(avs4alco1(f(PF1,PF2)eq sup12(2)eq f(PFeq oal(2,1),PFeq oal(2,2)eq f(（x0c）2yeq oal(2,0),（x0c）2yeq oal(2,0)(12分)eq f(（x0c）2b2（x0a）2,（x0c）2b2（x0a）2)eq f(2x0c2ax0,2x0c2ax0)(14分)eq f(ac,ac)为定值，(15分) eq f(PF1,PF2)为定值(16分)19. 解：(1) g(x)f(x)xeq f(kex,ex1)x在R上为减函数， g(x)eq f(kex（ex1）kexex,（ex1）2)1eq

20、f(kex,（ex1）2)10恒成立，(1分)即keq f(（ex1）2,ex)恒成立(2分) eq f(（ex1）2,ex)exeq f(1,ex)22eq r(1)24，(3分)当且仅当exeq f(1,ex)，即x0时，eq f(（ex1）2,ex)的最小值为4， k4.(4分)(2) 由(1)知：k(0，4时，g(x)在R上为减函数，又g(0)eq f(k,11)0eq f(k,2)0，(5分)g(4)eq f(ke4,e41)4eq f(ke44e44,e41)eq f(（k4）e44,e41)， k4， (k4)e440， g(4)x0时，有g(x)g(x0)0，即f(x)xf(x

21、).(8分) f(x)eq f(kex,ex1)eq f(k,1blc(rc)(avs4alco1(f(1,e)sup12(x)为增函数，由xf(x)， f(x)f(f(x).(9分)由得xf(f(x)成立(10分)(3) 设x1，x2t2，t，不妨x10，当且仅当eteq f(e2,et)，即t1时，hmin2keq f(e1,e1).(15分) 函数g(x)在长度为2的闭区间1，1上“身高”最“矮”(16分)20. 解：(1) an1panpt对任意正整数n都成立， an2pan1pt，两式相加得an1an2p(anan1)2pt，(2分) anan1r2n1对任意正整数n都成立， r2n

22、pr2n12pt，即r2n1(p2)2pt0对任意正整数n都成立，(3分)令n1，2得：r(p2)2pt0，r2(p2)2pt0，解得：p2，t0.(4分)(注意：如果直接写“又r0，故p20，pt0”不扣分) an12an对任意正整数n都成立，故数列an为首项a11，公比为2的等比数列，通项公式为an2n1.(5分)又anan1r2n1，所以2n12nr2n1，故r3.(6分)(2) 由已知得2eq f(b11,b1)eq f(b21,b2)eq f(b31,b3)eq f(bm1,bm)log22m1，由题意得：bnbn11，上式即为2eq f(bm1,b1)m1，(7分)又bmb1(m1

23、)，代入得mb13b12m0，即meq f(3b1,b12)3eq f(6,b12)，(9分)由于b1与m都为正整数， b12，且b12为6的正约数；(10分) eq blc(avs4alco1(b13，,m9)或eq blc(avs4alco1(b14，,m6)或eq blc(avs4alco1(b15，,m5)或eq blc(avs4alco1(b18，,m4.)故满足条件的m的值有4，5，6，9.(11分)(3) 由已知，a11，a22，a34，故数列an共3项在1，c2，c3，c4，4，的前5项中， b1b2在前5项中，而b3不在，即b34.(12分) 若1，2之间无bn的项，则c22

24、，前4项1，2，c3，c4成等比数列，则公比为2， c34为其第三项，与已知矛盾；(13分) 若1，2之间有且只有bn一项b1，则1，b1，2成等比数列，公比为eq r(2)， 前5项为1，eq r(2)，2，2eq r(2)，4，满足条件，此时bneq r(2)n(nN*)；(14分) 若1，2之间有且只有bn中的两项b1，b2，前4项为1，b1，b2，2， bn公差db2b11，则b3b2d4矛盾(15分) 当bneq r(2)n(nN*)时满足条件(16分)2014届高三调研测试试卷(五)(镇江)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 证明： DE是圆O的切线， ODDE，又DEAC，

25、 ODAC.(4分) O是AB的中点， OD是ABC的中位线，(7分) ODeq f(1,2)AC，即AC2OD.(10分)B. 解：矩阵的特征多项式为f()eq blc|rc|(avs4alco1(12,3x)(1)(x)6，(2分)因为14是方程f()0的一个根，所以x2.(4分)由(1)(2)60得21.(6分)设21对应的一个特征向量eq blcrc(avs4alco1(x,y)，则eq blc(avs4alco1(2x3y0，,2x2y0，)得xy，(8分)令x1，则y1，(9分)则矩阵的另一个特征值为1，对应的一个特征向量为eq blcrc(avs4alco1(avs4alco1(

26、 1,1).(10分)C. 解：将点的极坐标化为直角坐标，点O、A、B的直角坐标分别为(0，0)，(0，6)，(6，6)；(3分) OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，(5分) 经过O、A、B三点的圆的圆心为(3，3)，半径为3eq r(2)，(7分) 圆的直角坐标方程为(x3)2(y3)218，即为x2y26x6y0.(10分)D. 解： (a2)(b2)(c2)(a11)(b11)(c11)(3分)3eq r(3,a)3eq r(3,b)3eq r(3,c)(6分)27eq r(3,abc)27，(7分)当且仅当abc1时等号成立(9分) (a2)(b2)(c2)的最小值为27.(10分)22. 解：(1) 当y0时yf(x)eq r(2x4)， yeq f(2,2r(2x4)eq f(1,r(2x4)，(3分) kf(3)eq f(r(2),2)，(4分) 切线为yeq r(2)eq f(r(2),2)(x3)，即为xeq r(2)y10.(5分)(2) 设l：ykx，线段AB的中点M(x，y)；由eq blc(avs4alco1(ykx，,y22x4，)得y2eq f(1,2)x(x