chap03量子力学导论

1、第三章 量子力学导论13.1 玻尔理论的困难3.2 波粒二象性3.3 不确定关系3.4 波函数及其统计诠释3.5 薛定谔方程*3.6 平均值与算符*3.7 氢原子的薛定谔方程解2022/7/11219世纪末的三大发现：1895年的x射线，1896年的放射性和1897年的电子；揭开了近代物理发展的序幕1900年，普朗克提出辐射源能量量子化的概念1905年，爱因斯坦提出光量子的概念1913年，玻尔把普朗克-爱因斯坦的量子化概念用到卢瑟福模型，提出量子态的观念，并对氢原子光谱做出了满意的解释1925年，泡利提出不相容原理，乌仑贝克和古兹米特提出电子自旋假设，很好的解释了塞曼效应和元素周期性等实验事实

2、。至此形成的量子论（旧量子论），但有严重的缺陷和不足2022/7/113逻辑矛盾 一方面，它在解决核外电子的运动时引入了量子化的观念，但同时又应用了“轨道”等经典概念和有关向心力、牛顿第二定律等牛顿力学的规律，实际上牛顿力学在微观领域是不适用的。实际困难 除了氢光谱之外，玻尔理论在其他问题上遇到了很大的困难：无法解释氦原子光谱，无法说明原子如何组成分子以及构成液体和固体的。 2022/7/1141924年，德布罗意提出微观粒子具有波粒二象性的假设，以后的观察证明，微观粒子具有波的性质。但没有人知道粒子的波动性意味着什么，也不知道它与原子结构有何联系。然而德布罗意的假设是一个重要的前奏，很多事情

3、就要发生了。2022/7/115德布罗意假设提出之后，一系列事件纷至沓来，最后导致一场科学革命。从1925年1月-1928年1月： 沃尔夫刚泡利（Wolfgang Pauli）提出了不相容原理，为周期表奠定了理论基础。 韦纳海森堡（Werner Heisenberg）、马克斯玻恩（Max Born）和帕斯库尔约当（Pascual Jordan）提出了量子力学的第一个版本，矩阵力学。人们终于放弃了通过系统的方法整理可观察的光谱线来理解原子中电子的运动这一历史目标。 2022/7/1161926年，埃尔温薛定谔（Erwin Schrodinger）提出了量子力学的第二种形式，波动力学。在波动力学中

4、，体系的状态用薛定谔方程的解波函数来描述。矩阵力学和波动力学貌似矛盾，实质上是等价的。电子被证明遵循一种新的统计规律，费米-狄拉克统计。人们进一步认识到所有的粒子要么遵循费米-狄拉克统计，要么遵循玻色-爱因斯坦统计，这两类粒子的基本属性很不相同。2022/7/1171927年，海森堡提出不确定关系（测不准原理）保尔AM狄拉克（Paul A. M. Dirac）提出了相对论性的波动方程用来描述电子，解释了电子的自旋并且预测了反物质。狄拉克提出电磁场的量子描述，建立了量子场论的基础。 玻尔提出互补原理（一个哲学原理），试图解释量子理论中一些明显的矛盾，特别是波粒二象性。 2022/7/118192

5、8年，革命结束，量子力学的基础本质上已经建立好了。量子理论的主要创立者都是年轻人。1925年，泡利25岁，海森堡和恩里克费米（Enrico Fermi）24岁，狄拉克和约当23岁。薛定谔是一个大器晚成者，36岁创立量子力学需要新一代物理学家并不令人惊讶，开尔文认为基本的新物理学必将出自无拘无束的头脑。2022/7/119J. Robert Oppenheimer (1904-1967) Werner Heisenberg (1879-1976) Albert Einstein (1879-1955) Enrico Fermi (1901-1954) Ernest Rutherford (187

6、1-1937) Niels Bohr (1885-1962) 2022/7/1110几乎可以肯定，世界上没有第二张照片，能像这张一样，在一幅画面内集中了如此之多的、水平如此之高的人类精英。 2022/7/1111具有划时代意义的量子论产生了半导体技术改变了人类的生活水平扩展了我们这些专业。引起了科学界的一场革命量子力学的内容主要包括三个方面：介绍产生新概念的一些重要实验；提出一系列不同于经典物理的新思想；给出解决具体实际问题的方法。量子力学以全新的观念阐明了微观世界的基本规律，在涉及微观运动的各个领域都获得了巨大的成功。在量子力学中，玻尔理论中的电子轨道只不过是电子出现机会最多的地方。2022

7、/7/11123.1 玻尔理论的困难玻尔理论的成功之处1、量子态，定态得到实验验证；2、解释了氢光谱问题；3、理论上得到里德堡常量；4、解释了类氢离子光谱；5、元素周期律；6、同位素的而发现玻尔理论的困难1、简单程度仅次于氢的氦光谱无法解释；2、对于光谱线的强度无能为力；3、光谱中的精细结构无能为力；4、原子如何组成分子、液体和固体无法说明2022/7/11132定态之间跃迁过程中，发射和吸收辐射的原因不清楚，对过程的描写十分含糊！玻尔理论中难以解决的内在矛盾1氢原子中核与电子之间的静电作用是有效的，但是定态的发射电磁波的能力为何消失了？2022/7/1114卢瑟福的质疑当电子从一个能态跳到另

8、一个能态时，您必须假设电子事先就知道它要往哪里去！陷入逻辑的恶性循环！我去过吗？薛定谔的非难糟糕的跃迁！电子从一个轨道跃迁到另一个轨道时，按照相对论，它的速度不能无限大，不能超过光速！那么跃迁必须经历一定的时间，在这段时间里，电子离开E1未到达E2，那么电子处于什么状态？这是那个糟糕的跃迁无法回答的！2022/7/1115玻尔这一理论是十分初步的，许多问题还没有解决把微观粒子看做经典力学中的质点玻尔理论困难的根源把经典力学的规律用于微观粒子根本解决途径：用全量子的观点看世界！2022/7/1116 一、经典物理学中波和粒子波和粒子是两种仅有的、又完全不同的能量传播方式，不能同时用波和粒子这两个

9、概念去描述同一现象。粒子的描述：静态属性（颗粒属性）质量、电荷、大小、自旋等；动态属性（轨道属性）具有确定的位置和速度。波的描述：某种物理量在空间的周期性变化（振动的空间传递），描述该变化需要波长、频率、速度、位相等。波具有相干叠加性，波长和频率不可以精确确定，要无限精确测定频率，需花费无限长时间；要无限精确测定波长，需在无限扩展的空间中进行。3.2 波粒二象性2022/7/1117波长和频率或者又因 ，则2022/7/1118二、光的波粒二象性光的本性认识16世纪，笛卡尔提出光的波动说1672年，牛顿提出光的微粒说1678年，惠更斯提出光的波动说19世纪末，菲涅耳、夫琅和费与杨氏等人证实光具

10、有干涉和衍射特性，验证了惠更斯的观点。后来麦克斯韦理论预言电磁波的存在，并由赫兹证实。1905年，爱因斯坦提出光量子说，给出光子能量为h1917年，又提出光还有动量，P=h/1922-1923年，康普顿研究了 X 射线在石墨上的散射：康普顿散射是光显示出其粒子性的又一著名实验。2022/7/1119光具有波动性，又有粒子性，即波粒二象性。光在传播过程中表现出波动性，如干涉、衍射、偏振现象。光在与物质发生作用时表现出粒子性，如光电效应，康普顿效应。光子能量和动量为上两式左边是描写粒子性的 E、P；右边是描写波动性的 、。 h 将光的粒子性与波动性联系起来。关于光的本性问题，我们不应该在微粒说和波

11、动说之间进行取舍，而应该把它们看作是光的本性的两种不同侧面的描述。在任何一个特定事件中，光要么显出波动性，要么显出粒子性，两者决不会同时出现。2022/7/1120光(波)具有粒子性，那么实物粒子也应具有波动性。实物粒子具有波动性吗?L.V. de Broglie （法，1892-1986）从自然界的对称性出发，认为既然光(波)具有粒子性，1924.11.29.德布洛意把题为“量子理论的研究”的博士论文提交巴黎大学。三、德布罗意假设2022/7/1121与粒子相联系的波称为物质波，或德布罗意波。一个能量为E，动量为 P 的实物粒子同时具有波动性，且 德布罗意波长。他在论文中指出 他还用物质波的

12、概念成功地解释了玻尔提出的 轨道量子化条件： 2022/7/1122（n=1,2,）？驻波：朗之万把德布洛意的文章寄给爱因斯坦，爱因斯坦说：“揭开了自然界巨大帷幕的一角”“瞧瞧吧，看来疯狂，可真是站得住脚啊”r2022/7/1123若 U=100伏 =1.225()经爱因斯坦的推荐，物质波理论受到了关注。答辩会上有人问: “这种波怎样用实验来证实呢？”估算电子的波长:设电子动能由U伏电压加速产生 X射线波段德布洛意答：“用电子在晶体上的衍射实验可以做到。”2022/7/1124四、戴维逊革末实验 德布罗意指出由于实物粒子的波粒二象性，当加速后的电子穿过晶体时，将会发生电子波的衍射现象，1925

13、年戴维孙革末在一次偶然的事故中将镍单晶化，电子穿过镍单晶时，观察到电子的衍射图象（如图）2022/7/1125实验结果(1)当U不变时，I与的关系如图不同的，I不同；在有的上将出现极值。(2)当不变时，I与U的关系如图当U改变时，I亦变；而且随了U周期性的变化2022/7/1126实验解释 晶体结构2022/7/11272022/7/1128当 时加强布拉格公式。 波程差：2022/7/1129可见，当、满足此式时，测得电流的极大值。当U不变时，改变，可使某一满足上式，出现极大值；当不变时，改变U，可使某一U满足上式，出现极大值。 CCCCI实验结果:2022/7/1130对通过电压U加速的非

14、相对论电子，其德布罗意波长：电压U = 54 V时，镍单晶，a=0.215 nm,U = 54 V时2022/7/1131G.P.汤姆逊（1927年）电子通过金属多晶薄膜的衍射实验1929年 德布洛意获诺贝尔物理奖。1937年 戴维逊 与 G.P.汤姆逊获诺贝尔物理奖。2022/7/1132此后，又有人作了电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验。一切实物粒子都有波动性 后来实验又验证了：质子、中子和原子、 分子等实物粒子都具有波动性，并都满足 德布洛意关系。一颗子弹、一个足球有没有波动性呢？2022/7/1133例：质量m=0.01kg，速度v=300m/s的子弹的德布洛意波长为 因普朗克常数极

15、其微小，子弹的波长小到实验难以测量的程度(足球的波长也是如此)，它们只表现出粒子性，并不是说没有波动性。波动光学 几何光学 a :h 0 :量子物理 经典物理2022/7/1134概率波与概率幅如何对波粒二象性正确理解？ 二象性是单个微观粒子的属性1949年，前苏联物理学家费格尔曼做了一个非常精确的弱电子流衍射实验。电子几乎是一个一个地通过双缝，底片上出现一个一个的点子。（显示出电子具有粒子性）开始时底片上的点子“无规”分布，随着电子增多，逐渐形成双缝衍射图样。2022/7/1135单电子双缝衍射实验：7个电子100个电子30002000070000说明衍射图样不是电子相互作用的结果,它来源于

16、单个电子具有的波动性。2022/7/1136衍射图样对一个电子来说，每个电子到达屏上各点有一定概率，衍射图样是一个电子出现概率的统计结果。德布洛意波（物质波）也称为概率波。 怎样理解微观粒子的二象性：（1）粒子性指它与物质相互作用时的基本特征是“颗粒性”， 或“整体性”，即可以作为一个整体存在。 但不是经典的粒子！因为微观粒子没有确定的轨道，应抛弃“轨道”的概念！粒子具有能量和质量，运动粒子还具有动量。对于光子来说， 2022/7/1137（2）波动性 指它在空间传播有“可叠加性”， 有“干涉”、“衍射”、“偏振”等现象。 但不是经典的波！因为它没有某种实际 物理量（如质点的位移、电场、磁场等

17、） 的波动。 微观粒子的波动性和粒子性，都只有通过与其他物质相互作用才能表现出来。在某些条件下表现出粒子性，在另一些条件下表现出波动性，而两种性质虽寓于同一体中，却不能同时表现出来。2022/7/1138少女？老妇？两种图象不会同时出现在你的视觉中。2022/7/1139五、德布罗意波和量子态若将德布罗意关系式应用与氢原子上，原子定态假设便和驻波联系起来，十分自然地给出角动量量子化条件。电子要想作稳定运动，电子回转一周的周长应为其波长整数倍，即 于是有这正是玻尔曾用过的角动量量子化条件。2022/7/1140这正是玻尔的量子化的轨道半径。如果把 代入氢原子总能量表达式中证明轨道驻波条件：202

18、2/7/1141六、一个在刚性匣子中的粒子 粒子在匣中的动能： mv2 /2运动周期： 2d/v2022/7/1142按照物质波的观点，物质波来回反射形成驻波，驻波波长满足于是粒子的动量 动能2022/7/1143可见匣中的粒子的动量和能量都是量子化的，定域（禁闭）的波必然导致量子化行为。2022/7/1144波的特性之一，在空间上无限延伸波的非定域性从徳布罗意的观点看，玻尔的原子模型实际上就是一个徳布罗意波被关闭在一个库仑势场中的情况其中的粒子就是核外电子，电子沿轨道运动一周后回到起点轨道的周长为匣子长度的2倍，2r=2d，d=r七、波和非定域性2022/7/1145能量的最小值粒子的动能粒

19、子的势能粒子的总能量2022/7/1146一、不确定关系的表述和含义3.3 不确定关系经典粒子：可以同时有确定的位置、速度、动量、能量经典波：在空间扩展，没有确定的位置波粒二象性：不可能同时具有确定的位置和动量。Werner Karl Heisenberg19011976 1925年建立了量子理论第一个数学描述矩阵力学1927年阐述了著名的不确定关系 2022/7/11471927年，海森堡首先提出不确定关系：一、不确定关系的表述和含义（1）（2）2022/7/1148分量形式：海森堡严格推出：粗略的表示：2022/7/1149物理意义(1)也就是说，当粒子的位置x完全确定(x0),那么粒子的

20、动量Px，的数值就完全不确定（Px )；反之，当粒子处于一个动量Px完全确定的状态时（Px),则粒子的坐标x就完全不确定，即不可能把粒子固定住。(2)不确定关系完全是由于微观粒子的波粒二象性所决定的，与所用仪器的精密程度无关；与测量技术无关。事实上因为波粒二象性，使得粒子在客观上不能同时具有确定的坐标和动量。(3)测不准关系给出了经典理论适用的界限。(4)我们无法用轨道的概念来描述微观粒子的运动。2022/7/1150空间位置与动量的不确定关系能量与时间的不确定关系若一粒子在能量状态E只能停留t时间，那么，在这段时间内粒子的能量状态并非完全确定，它有一个弥散 ；只有当粒子的停留时间为无限长时（

21、稳态或定态），它的能量状态才完全确定2022/7/1151二、不确定关系的简单导出方法一：从经典波动理论出发，利用它表明为得到一个位置确定的孤立波(即波包)(详见教材中图示)，须用多个波去叠加，即x越小，就越大。反之，要精确测量其波长(0)，则须在无限扩展的空间观察(x )，要精确测定频率(0)，则需无限长的时间(t )。将以上经典关系式用于微观粒子，并加入德布罗意关系式2022/7/1152电子的单缝衍射(1961年，约恩逊成功的做出)设电子沿水平方向穿过宽为d的狭缝，我们希望确定电子在垂直方向上的位置。方法二：电子单缝衍射实验说明了电子的波粒两象性，还能说明不确定关系。2022/7/115

22、3电子以速度沿着y轴射向A屏，其波长为 ，经过狭缝时发生衍射，到达C屏。第一级暗纹的位置：x方向上，粒子坐标的不确定度为又粒子动量的不确定度为 量子力学的严格证明给出：2022/7/1154狭缝对电子束起了两种作用：一是将它的坐标限制在缝宽d的范围内，一是使电子在坐标方向上的动量发生了变化。这两种作用是相伴出现的，不可能既限制了电子的坐标，又能避免动量发生变化。如果缝愈窄，即坐标愈确定，则在坐标方向上的动量就愈不确定。因此，微观粒子的坐标和动量不能同时有确定的值。2022/7/1155讨论例.设电子与m=0.01kg的子弹均沿x方向运动，vx=500m/s，精确度为0.01%，求测定x坐标所能

23、达到的最大准确度。电子：子弹：因此，射击运动员大可不必为子弹的波动性而担忧。1不确定关系只适用于微观粒子，对宏观粒子无影响2022/7/1156不确定关系中，一个关键的量是普朗克常量h，它是一个小量，因而，不确定关系在宏观世界并不能得到直接的体现不确定关系在宏观世界的效果好像在微观世界里当h0是的效果但是h不为零！从而使得不确定关系在微观世界成为一个重要规律例1、玻尔半径：玻尔第一速度：则动量：如果轨道确定，这p1完全不确定，轨道的概念也就失去了意义如果电子在a1范围内运动即：则例2、10g的小球若小球的瞬时不确定度为：已经足够精确！则2022/7/11572.不确定关系对自然界的一切实验能够

24、给出的精度附加了一个限制。不确定关系给出了任何实验能够给出的最小不确定性的一个估计。一个粒子的位置和动量的同时测量将给出宽度x和px分布，由于各种原因，我们的实验结果只能比该关系估计不确定性更差，而不能更好。3. 从量子力学角度来看，描述微观粒子的两个物理量（算符），如果不能对易，则不能同时被确定。 2022/7/1158海森堡认识到如果有更高的准确度同时测定动量与位置的话，量子力学大厦将倒塌。但不可能！4. 不确定关系是微观世界中的一条基本规律，它实质上是微观粒子波粒二象性的 必然反映。5.不确定关系不是运动方程式，它只是定量地反映了微观粒子波粒二象性，我们不能从它出发找出一个问题的精确答案

25、，但是对于一些束缚态问题，它却能给定性的或半定量的估计。2022/7/1159三、不确定关系的应用举例例题1 束缚粒子的最小平均动能。假定粒子被束缚在线度为r的范围内2022/7/1160只要粒子被束缚，则粒子的动能不能为零，如动能为零则动量为零x为无穷大以上结论是从不确定关系得到的，与具体的束缚形式无关！最小平均动能2022/7/1161例题2. 试用不确定关系说明：原子中电子轨道的概念是没有意义的，但在汤姆孙用阴极射线测电子的核质比时，电子的轨道概念是有意义的。（阴极电子束截面的线度10-4m，加速电压10V）答：（1）原子的线度10-10m，价电子动能10eV量级，2022/7/1162

26、不确定关系与能级的自然宽度光谱线系能级跃迁对应原则上是一条线电子发生跃迁，说明电子在该初始能级的寿命t不能无穷大由E不能为零电子处于某一个能级，其能量不能为确定值，否则E0则t 不能发生跃迁原子所发射的光是由电子在两个能级之间跃迁产生的。如果两个能级有确定的值，那么由频率条件将得到有确定频率(或波长)的谱线。由于处在激发态能级上的电子寿命 (t)有限，按照不确定关系，这意味着能级存在着一定的能级宽度E，这导致辐射光谱不再是单一频率，而有一定频率宽度，称谱线自然宽度。2022/7/1163跃迁过程能级和谱线的自然宽度不确定关系已经渗透到微观世界的各个领域注意：不确定关系并不是给物理学带来了不精确

27、性，相反：不确定关系带来的正是微观世界的精确性2022/7/1164例题3 光谱线的自然宽度如果激发态的寿命为t=10-8s 那么谱线的自然宽度为总之应用不确定关系的例子不胜枚举，它是微观世界中的一条基本规律。不过能级的寿命常受外界条件影响。2022/7/1165辞海解释旧称“并协原理”，玻尔对量子力学中不确定关系的另一种表述，认为仪器应该分为测定位置和测定动量的两类，把这两种仪器的结果“互补”起来才能得到对粒子的完全认识，而同时用这两种仪器去测准同一粒子的状态是不可能的（双缝干涉假想实验）阐述互补原理从哲学的角度概括了物质的波粒两象性不确定关系从数学的角度概括了物质的波粒两象性四、互补原理1

28、927年Bohr提出互补原理，又被称为并协原理2022/7/1166玻尔说：一些经典概念的应用不可避免地将排除另一些经典概念的应用，而这“另一些经典概念”在另一些条件下又是描述现象所不可缺少的。必须而且只需将所有这些既互斥又互补的概念汇集在一起，才能而且定能形成现象的详尽无遗的描述。不确定关系是波粒二象性的必然结果不确定关系是微观粒子波粒二象性的数学表达玻尔对波粒二象性哲学上的概括互补原理互补原理1、波与粒子是互斥的波性和粒子性绝不会在同一个测量中出现，波和粒子这两种经典的概念在描述微观现象时是互斥的2、波与粒子是互补的或称并协的波性和粒子性不能同时存在，他们就不会在同一个实验中直接冲突，但这

29、两个概念在描述微观现象和解释实验时又都是不可缺少的，企图抛弃哪一个都不行，在这种意义上他们是互补的！2022/7/1167波粒二象性中波与粒子的互补就如同认识硬币的两面！不确定关系和互补原理必然导致“微观理论是统计性的”的观念。它与经典物理中的决定性观念截然不同。互补原理与不确定关系是量子力学哥本哈根学派解释的两大理论支柱！哥本哈根学派20世纪20年代玻尔发起成立，成立时的成员有：波恩、海森堡、泡利、狄拉克等学派的实体机构：丹麦哥本哈根大学哥本哈根理论物理研究所，培养出了十几为诺贝尔奖获得者被物理学家誉为：物理学界的朝圣地；量子力学的诞生地该学派最强劲的对手爱因斯坦2022/7/1168对微观

30、现象的描述，一些经典概念的任何一种确定的应用，都会预先排除另外一些经典概念的同时应用，而这另外一些概念在其他方面却是阐明现象所同样必需的。Bohr的互补板凳 2022/7/1169 德布罗意引入物质波，物质波需用波函数(rt)描述。物质波的波函数代表什么物理意义。 1926年玻恩提出波函数的几率解释。他指出波振幅的模方与该处发现粒子的几率成正比。因此德布罗意波函数是几率幅。 这个假设得到散射实验的支持，取得了人们认可，玻恩因此获得1954年诺贝尔物理奖。3.4 波函数及其统计解释物质波用什么样的波函数描述？2022/7/1170经典物理中的“决定性观念”或者“严格的因果律”在宏观现象中是成功的

31、！玻尔海森堡对于微观粒子，我们不能同时确定物理的位置和动量，他们的可确定程度不能比海森堡不确定关系所允许的更准确！结果：我们只能预言这些粒子的可能行为！几率性的观点在量子物理学中是基本的观点决定论必须抛弃！量子力学哥本哈根解释的核心内容：粒子的波粒二象性不确定中的确定内容几率！不确定的来源！统计性波粒子一、波粒二象性及概率概念2022/7/1171电磁波的能量流单位时间通过单位面积的能量大小电磁波的能量流正比于波的电场强度的平方，即：从粒子的观点看：电磁波的能量流等于：N为光子通量：单位时间穿过垂直于传播方向单位面积的光子数考虑一束非常弱的紫外光每个光子的能量：光强为：这时N为：既然光子是量子

32、化的，这里出现非整数只能表明，N是个平均值，其中包含几率的概念；N在12附件变动，平均值是12.5.N是发现一个光子在单位时间穿过单位面积的几率的量度！2022/7/1172N是发现一个光子在单位时间穿过单位面积的几率的量度！一定频率的光的强度光子的数目该处出现光子的几率在某处出现光子的几率与光波的电场强度的平方成正比，即：以上通过电磁波分析的结论同样适用于物质波电磁波其电场强度可表示为：相应的物质波在x方向一恒定线动量运动的粒子，其徳布罗意波可相应写为或者更一般地写为：其中：2022/7/1173波函数的统计诠释 德布罗意引入物质波，物质波需用波函数(rt)描述。物质波的波函数代表什么物理意

33、义。1926年玻恩提出波函数的几率解释。他指出波振幅的模方与该处发现粒子的几率成正比。因此德布罗意波函数是几率幅。这个假设得到衍射实验的支持，取得了人们认可，玻恩因此获得1954年诺贝尔物理奖。首先指出，在量子力学中，引入波函数是用来描述量子系统状态的，所以波函数就是态函数。玻恩又赋予波函数以统计诠释，按照玻恩的观点：波函数(x)是概率波振幅，简称概率幅；波函数的模方|(x)|2=是几率密度 (*代表复共轭)； |(x)|2dx是粒子出现在xx+dx间隔内的概率；粒子出现在x1 x2间隔内的概率是2022/7/1174波函数几率幅的性质玻恩对波函数的统计诠释，还赋予波函数有如下一些基本性质：(

34、1)波函数是单值连续有限粒子在某处的几率只能有一个值几率无突变不能无穷大(2)波函数满足归一化条件即全空间找到粒子的几率为1对于不归一的波函数如总可以乘以一个常数c使得归一c称为归一化常数或归一化等价？2022/7/1175等价因为在空间两点x1和x2，的相对几率为就几率分布而言，重要的是相对几率分布不难看出 与 (c为常数)所描述的相对几率分布是完全相同的它们描述的相对概率是一样的然而对于经典的波函数，这完全对应两种不同的状态波函数仍允许差一个 因子2022/7/1176|(x,y,z,t)|2表示t时刻，(x,y,z)处单位体积内发现粒子的几率，因此又成为几率密度经典波函数与物质波函数的比

35、较经典的波函数1、可测量有直接的物理意义2、和c是完全不同的两个波物质波波函数1、不可测量无直接的物理意义2、 | |2才可测量有直接的物理意义3、和c描述相同的概率分布2022/7/1177如果将对光波的这种认识移植到德布罗意物质波上，那么对玻恩赋予波函数统计诠释也就不难理解了。人们用同样的思想进行电子的双缝干涉实验，发现当大量电子通过双缝后，在屏上的电子强度分布图(c)与光束的两缝干涉图样（）是相同的，与子弹穿过双孔的分布图（b）完全不同。 二、双缝干涉实验2022/7/1178电子双缝干涉点x附近的干涉花纹强度分布（等于波幅的平方）正比于点x附近感光点的数目正比于点x附近出现电子的数目正

36、比于点x附近电子出现的几率电子波的强度分布等同于电子的密度分布2022/7/11798028只电子1000只电子1万只电子几百万只电子2022/7/1181干涉的结果，使有些地方强度增强，有些地方强度减弱强度等于电子数干涉相长：I=I0+I02I0=4I0，两个电子干涉后，变为4个电子干涉相消：I=I0+I02I0=0，两个电子干涉后，电子消失了，湮灭了这是说不通的！2022/7/1182如果让入射电子数减弱，每次仅有一个电子射出，经过一段时间后，仍能得到稳定的双缝干涉花样。而此时电子之间没有干涉所以干涉不是两个电子间相互作用的结果而是大量电子本身所具有的在空间分布的特性，这种特性是由电子与双

37、缝所决定的这种分布特性可以用几率描述电子或光子出现几率大的地方，强度较强；电子或光子出现几率小的地方，强度较弱2022/7/1183双缝干涉表明1、干涉现象是所有微观粒子的共同特征，干涉的形成不是由微观粒子之间的相互作用产生的，而是个别粒子属性的集体贡献！2、就单个粒子而言：通过哪个狭缝打在屏的哪个位置无法预知但是，对于大量粒子的行为（干涉图样）却是可以完全预卜的！单电子双缝干涉的疑问121缝的存在对于电子通过2应该没有影响，反之亦然！这样就不应该有电子干涉的发生！出现了单电子干涉，只能说明缝1和2同时起作用！似乎电子同时通过了缝1和缝2！电子有分身术吗？2022/7/1184窥视电子12p1

38、p2D1D2结果，当单个电子在屏上成像的时候，只有一个计数器有信号，证明电子没有分身术！但是同时干涉现象消失，屏上的感光如同经典粒子一样的结果撤掉窥视装置，干涉重新出现最终人们发现：观察效应使得干涉消失！态叠加原理为了解释双缝干涉实验，必须借助于量子力学的另一个基本原理2022/7/1185态叠加原理的基本表述-四条规则根据波恩对波函数的统计解释：在微观世界中，一事件发生的几率P等于波函数的绝对值的平方：所以又称为几率幅量子事件发生某事件可以泛用从初态i到末态f的跃迁来表示，则发生这种跃迁的几率Wif可以表示为：即表示从初态i到末态f跃迁的几率幅，或几率振幅，相当于这几率幅 服从以下是个基本规

39、则！三、态的叠加原理2022/7/1186规则一if如果发生在i与f态之间的跃迁，存在着几种物理上可区分的方式或途径，那么在if间的跃迁几率幅应是各种可能发生跃迁几率幅之和。该规则是几率幅叠加规则，是态叠加原理的一种表述方式，态叠加原理是量子力学概念体系的基础费曼称它为量子力学的第一原理态叠加原理是量子力学的一条基本原理，至今无法从更基本的概念导出！2022/7/1187规则二if1f2fn如果有n个彼此独立、互不相关的末态，我们如果要知道跃迁到任意一个末态的几率（要到达末态，无论是哪个都可以），那么跃迁几率等于到达各个末态跃迁几率之和。该规则又称几率相加率2022/7/1188规则三ivf假

40、如从i态到f态的跃迁必须经过某一中间态v，那么总的跃迁几率幅等于分段几率幅之乘积规则四ifIF假如有两个独立的微观粒子组成的体系，并且两粒子同时发生了两个跃迁，那么体系的跃迁几率幅等于个别粒子的几率幅的乘积。规则三和四并称为独立事件的几率相乘率2022/7/1189初态：s中间态：1、2末态：x（屏）四、干涉实验的解释sx1、只开缝1，根据规则三电子在x处（屏）被记录的几率I1（x）为：2022/7/1190sx2、只开缝2，类似有：3、双缝齐开，应用规则一态叠加原理有：1、只开缝1，根据规则三这时的跃迁几率为：可见：正是多出的两项：电子从初态到末态的两种可能的跃迁几率幅的干涉项引起了干涉图样

41、！窥视电子干涉消失！2022/7/1191对于电子：光源P探测器D1探测器D2对于光子：电子从缝1通过到达x：电子从缝2通过到达x：2022/7/1192光源P探测器D1探测器D2x处记录电子，D1同时记录光子的概率幅x处记录电子，D2同时记录光子的概率幅x处记录电子，不管在哪个探测器记录光子的概率为第二反映了干涉项，这是在光子不能“检察”电子走向的情况下得到的结果。2022/7/1193sx由以上的分析可以清楚地看出，对于出现干涉图样的解释是靠几率幅的线性叠加当双缝齐开时，即使对于一个电子，也要用两个几率幅之和去描写整个实验过程，也就是说对以任何一个孤立电子来说，双缝同时在起所用！物质波绝非

42、经典的波，电子经过狭缝时出现的干涉与经典的图像毫无关系：它的起因是统计规律中的几率幅的相加率！而不是几率相加！单电子干涉是一个电子的两个态的叠加干涉是电子自己与自己的干涉决不是多电子之间的干涉2022/7/1194态叠加原理与波叠加原理之间的区别注在数学表达上完全相同！经典两经典波的叠加一般导致一个新的波，具有新的特征，如驻波量子两个量子波或两个几率幅1和 2的叠加这种叠加并不形成新的状态！的物理意义：不会有任何新的结果出现！量子力学中态的叠加导致叠加态下测量结果的不确定性出现几率确定2022/7/1195双缝干涉实验光子通过其中一个狭缝到达接收屏通过狭缝1的光子在接收屏上有一个分布函数，即波

43、函数，记为1；光强分布为I1= |1|1|通过狭缝1的光子的状态为1；通过狭缝2的光子的状态为2；大量光子，它们的状态要么为1 ；要么为22022/7/1196状态不确定2022/7/1197大量光子的总状态是上述两种状态的叠加 =1+2从几率分布的角度看，一个光子的状态可以表示为 =1+2即在每个光子经过狭缝前，无法确定它将通过哪一个狭缝或者说，各有一半的几率通过其中的一个狭缝2022/7/1198干涉实际上是一个光子的两个本征态之间的干涉态叠加原理干涉项2022/7/1199量子力学的基本概念量子力学的基本规律是统计规律，而经典物理的基本规律是决定论、严格的因果律。“ i ”的抽象性列宁：

44、一切科学的抽象，都更深刻、更正确、更完全地反映着自然要求：认清物质波的本质，掌握波函数的物理意义及其性质。五、评注2022/7/11100量子力学基本方程的创立海森堡：矩阵力学创始人（我越是思考薛定谔理论的物理内容，就对它越讨厌）薛定谔：波动力学创始人（海森堡的超越代数的矩阵方法简直无法想象，它如果不使我拒绝的话，至少也让我感到气馁）狄拉克：相对论量子力学创始人（1930年量子力学）2022/7/11101海森堡于1925年7月提出了矩阵力学 薛定谔于1926年1月提出了波动力学 2022/7/11102一、薛定谔方程的建立描述微观粒子具有波粒二象性状态的波函数一般是空间和时间的函数，即 微观

45、粒子在不同条件下(例如，处于不同的 外力场中)的运动状态是不同的，对波函数所满足的方程的要求：(1) 线性方程，迭加原理的要求；(2) 方程系数不含状态参量（动量、能量），各种可能的状态都要满足方程。微观粒子在不同条件下的波函数，所满足的方程是什么？3.5 薛定谔方程2022/7/11103 1926年，德拜（师）-薛定谔（生）。薛定谔报告后，德拜提醒薛定谔：“有了波，就应该有一个波动方程。” 德拜：“有了波，就应该有一个波动方程。”2022/7/11104考察质量为m，动量为p，能量为E=p2/2m的自由粒子的一维运动，它对应的德布罗意波是波矢为k圆频率为的平面波，即式中的k=2/，=2r。

46、按照德布罗意关系式=h/p和关系式E=h，自由运动的粒子的动量pn和能量E与平波面波矢k和圆频率有如下关系于是德布罗意平面波可改写为建立薛定谔方程的一种直观方法2022/7/11105 这个德布罗意波函数就是描述具有确定能量和动量的自由粒子运动的态函数。不难看出，若要从这个态函数中提取粒子的动能，动量信息，则必须用时间和空间坐标的微分算符作用其上方可给出，即对于非相对论自由粒子能量动量关系式： 可以通过如下算符作用在波函数 上得到2022/7/11106该式就是自由粒子一维运动的波动方程一维薛定谔方程。相当于对经典的能量-动量关系E=px2/2m作如下变换 是拉普拉斯算符.将其推广到三维情况，

47、E=p2/2m对应的波动方程是2022/7/11107相应的波方程是该式就是薛定谔方程的一般形式，该方程是线性齐次方程，因而它保证了波函数 (即态函数)的叠加性。如果粒子在势场V(r,t)中作三维运动，粒子的总能量是2022/7/11108薛定谔方程： 式中 m粒子的质量 V粒子在外力场中的势能函数（所处条件） 2拉普拉斯算符 2022/7/11109 （1）由于方程含有虚数i, 它是一个复数偏微分方程； 其解波函数 是一个复函数。说明：（2）薛定谔方程是线性偏微分方程，因此它的解满足 态的叠加原理。（3）它是非相对论形式的方程。（4）它并非推导所得，而是量子力学的一个基本假设，是理论“构思”

48、出来的，但了它的正确性已被一系列实验结果严格地检验过，成为描述微观粒子运动的基本方程，反映了微观系统的状态随时间变化的规律。2022/7/11110薛定谔方程物理意义：薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程，它在量子力学中的地位和作用相当于牛顿力学中的牛顿方程，电磁学中的麦克斯韦方程，它描述了量子系统状态的演化规律。量子力学找微观粒子在不同条件下的波函数，就是：求不同条件下薛定谔方程的解。奥地利物理学家 薛定谔 （Schrodinger 1887-1961）提出量子力学中最基本的方程1933年薛定谔获诺贝尔物理奖。2022/7/11111二、定态薛定谔方程常常遇到微观粒子的势能函数V与时间t无关

49、的稳定的势场问题，这称为定态问题。 自由运动粒子V = 0 氢原子中的电子这时波函数 (r,t)可以用分离变量法分离为一个空间坐标的函数和一个时间函数的乘积。例如：2022/7/11112如果势场不显含时间t，即V=V(r)，那么薛定谔方程成为仔细观察上式两边，不难发现方程的左边只含对时间微商的运算，而右边只涉及对空间微商的运算，故可取分离变量式，即 称定态薛定谔方程2022/7/11113如图，中，势能为0；、中，势能为定态Halmilton方程I区中（一）、一维无限深势阱三、应用举例2022/7/11114归一化2022/7/11115偶宇称奇宇称2022/7/11116(x)|(x)|2

50、E1E2E3E4a/2a/2经典理论中，处于无限深方势阱中粒子的能量为连续值，各处概率相等。随着能级的升高，几率密度的峰值增多，当n时，粒子在势阱内各处出现的概率相等，量子力学的结果过滤到经典力学的情况。2022/7/11117如图所示由前面的结果可得到在势阱中仅讨论EV0，在势阱外（二）、一维有限深势阱2022/7/11118在经典物理中，如果粒子的总能量小于势阱的高度，粒子由于无法越过这一能量差而只能在势阱之内运动但按照量子力学的观点，势阱之外的波函数并不等于零说明粒子可以穿透势阱壁进入势阱之外的区域2022/7/11119边界条件1、波函数是连续的2、波函数的一阶微商是连续的归一化条件（

51、不是必需的）2022/7/111202022/7/11121方势垒如图所示（三）、隧道效应2022/7/11122边界条件粒子从I区经过势垒进入III区，称作势垒贯穿或隧道效应可以计算出粒子流量，用几率流密度表示2022/7/11123粒子从I区经过势垒进入III区的穿透率可以如下计算仅需计算向右运动的粒子，即入射波或透射波即可2022/7/11124附注：扫描隧道显微镜STM 由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零，而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度越为1nm。 只要将原子线度的极细探针以及被研究物质的表面作为两个电极，当样品与针尖的

52、距离非常接近时，它们的表面电子云就可能重叠。 若在样品与针尖之间加一微小电压Ub电子就会穿过电极间的势垒形成隧道电流。 隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制隧道电流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化就能反映样品表面的起伏。 Scanning tunneling microscopySTM是观察固体表面原子情况的超高倍显微镜。2022/7/11125 因为隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制针尖高度不变，通过隧道电流的变化可得到表面电子态密度的分布； 使人类第一次能够实时地观测到单个原子在物质表面上的排列状态以及与表面电子行为有关的性质。在表面科学、材料科学和生命科学等领域中有着重大的意义和广阔的应用前景。 利用STM可以分辨表面上原子的台阶、平台和原子阵列。可以直接绘出表面的三维图象空气隙STM工作示意图样品探针2022/7/111262022/7/11127镶嵌了48个 Fe 原子的 Cu 表面的扫描隧道显微镜照片。48 个 Fe 原子形成“电子围栏”，围栏中的电子形成驻波：2022/7/11128由于这一贡献，宾尼、罗赫尔和鲁斯卡三人分享了 1986年度的诺