三角式运算公式

1、关于三角式的运算公式第1页，共34页，2022年，5月20日，15点18分，星期四三角函数三角不等式三角方程三角式五点做图象“代表”+kT一角二名三结构和差倍半是变角基本诱导是变名辅助升降变结构三角概述2.解三角形：正余弦定理 知三有三1.四个三：第2页，共34页，2022年，5月20日，15点18分，星期四三角式运算公式总述1.公式：2.作用：同角关系异角关系一角二名三结构第3页，共34页，2022年，5月20日，15点18分，星期四三角式的定义和差化积同角基本关系异角加法公式平方关系倒数关系商数关系降幂升幂万能半角世上本无路 走的人多了 便有了路三角运算公式关联图一角二名三结构和差倍半是变

2、角基本诱导是变名辅助升降变结构作用倍角辅助角积化和差诱导第4页，共34页，2022年，5月20日，15点18分，星期四2.诱导(归约)公式三角式的运算公式分论 1.同角基本关系式4.倍角公式3.和角及差角(加法)公式6.辅助角公式5.升幂及降幂公式万能公式三倍角公式和差化积与积化和差公式7.其他公式异角第5页，共34页，2022年，5月20日，15点18分，星期四1、同角基本关系式平方关系倒数关系商数关系(1)公式：sinxcosxtanxcotxsecxcscx1注：记忆图平方关系：阴影三角形商数关系：边上左右邻居倒数关系：对角线第6页，共34页，2022年，5月20日，15点18分，星期四

3、1、同角基本关系式(1).公式：(2).作用：变名变结构注：经典题型：同角两弦的和差商积可互化.即“知一有n”桥梁：第7页，共34页，2022年，5月20日，15点18分，星期四2、诱导(归约)公式周期性公式奇偶性公式补角公式余角公式分公式总公式(1).公式：(2).作用：分公式总公式变角变名符号看象限奇变偶不变周期性奇偶性补角公式余角公式第8页，共34页，2022年，5月20日，15点18分，星期四（1）周期性公式2、诱导公式分公式（共9组）函数 y =Acos(x+)的最小正周期 注：函数 y =Asin(x+)的最小正周期函数 y =Atan(x+)的最小正周期第9页，共34页，2022

4、年，5月20日，15点18分，星期四（2）奇偶性公式注：正弦函数 y =sinx 是奇函数余弦函数 y =cosx 是偶函数正切函数 y =tanx 是奇函数2、诱导公式分公式（共9组）第10页，共34页，2022年，5月20日，15点18分，星期四（3）补角公式同名互补正弦等同名互补其他反（4）余角公式互余异名值相等第11页，共34页，2022年，5月20日，15点18分，星期四(1)公式：(2)作用：变角变名变结构3.和角与差角公式(加法公式)第12页，共34页，2022年，5月20日，15点18分，星期四4.倍角公式(2)作用：(1)公式：变角变名变结构（两弦式）（正弦式）（余弦式）第1

5、3页，共34页，2022年，5月20日，15点18分，星期四降幂公式(1)公式：(2)作用：降幂倍角注：余弦倍角1变6 同异三个2升幂公式(2)作用：(1)公式：升幂半角第14页，共34页，2022年，5月20日，15点18分，星期四（两弦式）（正弦式）（余弦式）注1.余弦倍角1变6 同+异-三个2（降幂公式）（升幂公式）注2.降幂公式两端同时开方，即得半角公式第15页，共34页，2022年，5月20日，15点18分，星期四6.辅助角公式注1.使用前提是同角 少式多角成和谐注2. a，b的确定方法：注3.辅助角的确定方法：（其中 ，与点(a,b)同象限）与点(b,a)同象限）（其中 ，（1）（

6、2） a,b分别是sin与cos的系数 asin与bcos之间是“+”连接方法甚多凭爱好 坐标定义是基础数形结合两限制 注释说明一般角OX(a,b)注.与正相反是余弦 纵横相反+变-第16页，共34页，2022年，5月20日，15点18分，星期四一、三角式运算公式总述二、三角式运算公式分论 2.作用：一角二名三结构1.公式：同角关系 异角关系2.诱导(归约)公式1.同角基本关系式4.倍角公式3.和角及差角(加法)公式6.辅助角公式5.升幂及降幂公式7.其他公式万能公式三倍角公式和差化积与积化和差公式46 三角式的运算公式(四)第17页，共34页，2022年，5月20日，15点18分，星期四 万

7、能公式倍角公式正切式 勾股定理来记忆证明技巧数式换 三角代数可互换 注1.记忆 设 ，则 22t1-t21+t2此记忆方法乃代数换元法，体现了三角式与代数式可代换注2.万能公式的证明：三角变换的技巧数式互换第18页，共34页，2022年，5月20日，15点18分，星期四练习1.万能公式(1)万能公式的证明：三角变换的技巧数式互换(2).(2008年浙江)若cosx+2sinx = ,则tanx= A. B. 2 C. D. -2法1:理论上由sin2x+cos2x=1cosx+2sinx=cosx=可解得sinx=可实际上,操作量第19页，共34页，2022年，5月20日，15点18分，星期四

8、(2).(2008年浙江)若cosx+2sinx = ,则tanx= A. B. 2 C. D. -2法2.将 cosx+2sinx = 两端平方得即 3sin2x+4sinxcosx=4(sin2x+cos2x)即 4sinxcosx=sin2x+4cos2x故 4tanx=tan2x+4【B】3sin2x+4sinxcosx=4所以 tanx=2第20页，共34页，2022年，5月20日，15点18分，星期四法3.由辅助角公式可得 sin(x+)= -1故 x+= 2k - （kZ）故tanx=tan(2k- -)=cot=2(2).(2008年浙江)若cosx+2sinx = ,则tan

9、x= A. B. 2 C. D. -2其中 tan=，所以 cot=2第21页，共34页，2022年，5月20日，15点18分，星期四法4.设 f(x)=cosx+2sinx(2).(2008年浙江)若cosx+2sinx = ,则tanx= A. B. 2 C. D. -2,由辅助角公式得f(x)min=由和谐函数的对称性得即故 tan2x2tanx=0即 tanx=2 或 tanx= 0 (舍)即第22页，共34页，2022年，5月20日，15点18分，星期四 三倍角公式练习2.三倍角公式(3)三倍角公式的证明：sin3cos3=3sin-4sin=2sin(1-sin)+(1-2sin)

10、sin=sin(2+)=sin2cos+cos2sin=(2cos-1)cos-2(1-cos)cos =cos(2+)=cos2cos-sin2sin=4cos-3cos 第23页，共34页，2022年，5月20日，15点18分，星期四最小值.(4).(1994年全国)求 的析：因故所以当 时 , y取最小值第24页，共34页，2022年，5月20日，15点18分，星期四 积化和差公式加法公式联反用 同名余弦异名正第25页，共34页，2022年，5月20日，15点18分，星期四 和差化积公式和差化积如何用 必须同名是前提换角展开即可得 和差半来再和差注：第26页，共34页，2022年，5月2

11、0日，15点18分，星期四(5)求函数 的值域 法1：的值域为练习3.和差化积与积化和差公式第27页，共34页，2022年，5月20日，15点18分，星期四法2：的值域为(5)求函数 的值域 第28页，共34页，2022年，5月20日，15点18分，星期四解：(6)求函数 的值域 的值域为第29页，共34页，2022年，5月20日，15点18分，星期四(7)求下列各式的值 sin2 50+cos250cos350 解 ：原式= cos400+cos600+cos800+cos1600解 ：原式=第30页，共34页，2022年，5月20日，15点18分，星期四半角公式降幂开方即半角 半角象限定符号第31