5高等数学-第五章-不定积分课件

1、第五章 不定积分 本章将讨论如何寻求一个可导函数，使得它的导数等于已知函数，即微分法的逆运算，这就是积分学的基本问题之一：求不定积分。我们先给出原函数和不定积分的概念，介绍它们的性质，进而讨论求不定积分的方法。1不定积分的概念和性质2第一类换元积分法（凑微分法）3第二类换元积分法4分部积分法5几种特殊类型的不定积分第一节 不定积分的概念和性质4 定义 如果在区间 I 上，可导函数 F(x) 的导数为 f (x) ，即对于区间上的任何一点 x 都有一、原函数与不定积分的概念或则称函数 F(x) 为 f (x) 在区间 I 上的原函数。 例：（1）在区间 ( , + ) 内 ， 所以 x2 是 2

2、x 在区间 ( , + ) 内的原函数；，所以 sin x 是 cos x 的原函数。 （3） x 0 时， ， （2）所以 lnx 是 在区间 (0, + ) 内的原函数。5一、原函数与不定积分的概念 2. 原函数的结构问题：一个函数如果存在原函数，其原函数的个数有多少？这些原函数的关系如何表达？ 1. 原函数的存在问题：一个函数具备什么条件时它的原函数一定存在？ 原函数存在定理： 如果函数 f (x) 在区间 I上连续，则在区间 I 上存在可导函数 F(x)，使得对于区间 I 上的任何一点 x，有 即连续函数一定存在原函数。 6一、原函数与不定积分的概念 设 F(x) 为 f (x) 区间

3、 I 上的一个原函数，则对于任意常数 C，有 即函数 F(x)C 也是 f (x) 的原函数。 说明：如果 f (x)有一个原函数，那么 f (x) 就有无穷多个原函数。 设 G(x) 是 f (x) 的另一个原函数，则于是即 G(x) F(x)= C0 （C0 为某个常数） 原函数的结构问题：7 定义 在区间 I 上，f (x) 的带有任意常数项的原函数称为 f (x) 在区间 I 上的不定积分，记作一、原函数与不定积分的概念其中记号 称为积分号， f (x) 称为被积函数， f (x)dx 称为被积表达式，x 称为积分变量。 如果 ，那么因此，不定积分 可以表示 f (x) 的所有原函数。

4、 积分常数积分号被积函数被积表达式积分变量8一、原函数与不定积分的概念 不定积分与微分(求导)互为逆运算： 注解 由此可见微分运算（以记号 d 表示）与求不定积分的运算（简称积分运算，以记号 表示）是互逆的，记号 与 d 一起时或者抵消，或者抵消后差一常数。 先积后微，形式不变；先微后积，差个常数。9二、不定积分的几何意义 定义 设 F(x) 是 f (x) 的一个原函数， y = F(x) 的图形称为 f (x) 的积分曲线。 显然积分曲线不止一条，而且所有的积分曲线都可以由一条积分曲线沿 y 轴方向平移得到。 不定积分的几何意义：任一条积分曲线 y = F(x) 沿着 y 轴从 到 +连续

5、地平行移动所产生的一族积分曲线。 例5-1 设曲线通过点 (1, 2)，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的 2 倍，求此曲线的方程。10二、不定积分的几何意义 解 设所求曲线方程为 y=f (x)，由题设，曲线上任一点 (x , y) 处的切线斜率为 即 f (x) 是 2x 的原函数，因为 故必存在某个常数 C，使 因为所求曲线通过点 (1, 2)，所以 C = 1。于是所求曲线方程为： 该例就是求函数 2x 的通过点 (1, 2) 的那条积分曲线。11三、基本积分表 根据不定积分的定义，求函数 f (x) 的不定积分，只需求出它的一个原函数，再加上任意常数 C 即可。 例如：， 所以

6、 是 的一个原函数，因此12三、基本积分表 又如，当 x 0 时，所以 是 的一个原函数，因此当 x 0） 解 例5-19 求 （其中 a 0）二、应用举例32 例5-20 求 解（其中 a 0）二、应用举例33 例5-21 求 解 在使用第一类换元积分法时，总是将被积函数分解成两个因式 与 的乘积，然后将 按微分逆运算写成 ，当被积函数的中间变量与积分变量的形式一致时，就可使用基本积分表中的结论写出积分结果。二、应用举例34 例5-22 求 解二、应用举例35 例5-23 求 解 例5-24 求 解类似可得二、应用举例36 例5-25 求 解类似可得二、应用举例37 例5-26 求 解二、应

7、用举例38 例5-27 求 解 通过上面的例子可以看到，利用第一类换元积分法求不定积分需要一定的技巧，关键是要在被积表达式中凑出适用的微分因子，进而进行变量代换，这方面无一般法则可循，但熟记一些常用的凑微分公式是有帮助的。二、应用举例 例5-28 求 解39 例5-29 求 解 例5-30 求 解二、应用举例40 本节中几个例题的结果通常可以直接使用，现在把它们作为公式补充到第一节的基本积分表中。三、基本积分表的补充（14）（15）（16）（17）（18）（19）（20）41 例5-31 求 解 例5-32 求 解三、基本积分表的补充第三节 第二类换元积分法43一、第二类换元积分法法则 用第一

8、类换元积分法能够求出许多不定积分，但有些不定积分例如却不能用第一类换元积分法求解。我们引入另一种积分法第二类换元积分法。 下面来介绍几种第二类换元积分法的常见形式。 定理（第二类换元积分法）设函数 f (x) 连续， x = (t) 具有连续的导数 ，且 ，则有换元公式44二、无理代换 对于被积函数中含有 的不定积分，可令 ，即做变量代换 （a 0），从而把无理函数的积分化为有理函数的积分。 解 令 ，即 ，去掉被积函数中的根式，此时 dx = 2tdt，于是 例5-33 求45二、无理代换 解 令 ，即 ，则 dx = 2tdt，于是 例5-34 求46二、无理代换 解 令 ，即 ，则 ，于

9、是 例5-35 求47三、三角代换 当被积函数中含有 ， 或 时（a 0），可以利用三角函数代换，变根式积分为三角有理式积分。 解 被积函数中含有 ，所以令 ， 例5-36 求 1. 被积函数中含有 时，令则dx = costdt，而 于是48三、三角代换再由 x = sint ，得 t = arcsinx，代回上式有 一般地，可以借助于直角三角形示意图进行变量还原，txa由 ，得49三、三角代换 解 令 ， 例5-37 求 2. 被积函数中含有 时，令则 ，于是 txa 50三、三角代换 解 令 ， 例5-38 求 3. 被积函数中含有 时，令则 ，于是 txa51三、三角代换 也可以补充基

10、本到基本积分表中。 上述两例的结果 第二类换元法主要解决被积函数含有根式的积分问题，但也要具体问题具体分析， 例如 , 等，使用凑微法更为简便。 52四、倒代换 解 令 ， 例5-39 求 当被积函数中分母的次数较高时，可以采用倒代换，即令则 ，于是 第四节 分部积分法54一、分部积分公式 积分法中的另一个方法是分部积分法，它是乘积求导公式的逆运算。 设 u = u(x)，v = v(x) 有连续的导数，由求导公式 ，得两边积分，有即 这就是分部积分公式，使用分部积分公式求不定积分的方法称为分部积分法。55一、分部积分公式 应用分部积分法首先要把被积函数 f (x) 分成两部分，一部分作为公式

11、中的 u，另一部分作为公式中的 v，然后把积分 写成 的形式。即 恰当地选取 u 和 v 是应用该方法的关键，选取的原则一是要 v 容易求出，二是要使新的积分 比原来的积分 容易求出。 应用分部积分法时， u 及 v 的选择是有一定规律的。下面介绍分部积分法常见的适用题型，以及如何选择 u 和 v 。56二、多项式与指数函数或三角函数乘积的积分 先来看一个具体例子。 例5-40 求 解 令 u = x， v = cosx，则 v = sinx，于是此题中，若令 u = cosx， v = x，则 ，于是57二、多项式与指数函数或三角函数乘积的积分 这样得到的新积分 反而比原积分 更难求了 。

12、例5-41 求 解 令 u = x， ，则 ，于是 因此，在应用分部积分法时，如果 u 和 v 选取不当，就得不出结果。 当被积函数为多项式（幂函数）与正（余）弦或指数函数的乘积时，可以考虑应用分部积分法，此时选取多项式（幂函数）作为 u，这样可以降低多项式（幂函数）的次数。58二、多项式与指数函数或三角函数乘积的积分 例5-42 求 解 令 ， ，则 ，于是59三、多项式与对数函数或反三角函数乘积的积分 如果被积函数是多项式与对数函数或反三角函数乘积的形式，可以考虑应用分部积分法，并把对数函数或反三角函数作为 u。 例5-43 求 解 为使容易求得，选取 u = lnx， ，则 ，于是60三

13、、多项式与对数函数或反三角函数乘积的积分 例5-44 求 解 为使容易求得，选取 u = arctanx， v = 1，则 v = x，于是61三、多项式与对数函数或反三角函数乘积的积分 在应用比较熟练后，不必再把 u 和 v 明确写出来，可直接使用分部积分公式。 例5-45 求 解62四、指数函数与三角函数乘积的积分 如果被积函数为指数函数与正（余）弦函数的乘积，可任选择其一为 u，但一经选定，在后面的解题过程中要始终选择其为 u。 例5-46 求 解由于上式第三项就是所求的积分 ，把它移到等式左边，得所以63 有时求一个不定积分，需要将换元积分法和分部积分法结合起来使用。 例5-47 求

14、解 先换元，令 ，则 ， ，于是第五节 几种特殊类型的不定积分65一、简单的有理函数的积分 定义 两个多项式的商 （m、n 为非负整数，a0 , a1，am 及 b0 , b1， ，bn 为实数，且 a0 0， b0 0）所表示的函数称为有理函数，又称为有理分式。 当 m n 时，这个有理函数为真分式；而当 m n，这个有理函数为假分式。 利用多项式除法，假分式总可以化成一个多项式和一个真分式和的形式。例如： 因此，有理函数的不定积分主要解决真分式的不定积分问题。66一、简单的有理函数的积分 例5-48 求 解67一、简单的有理函数的积分 例5-49 求 解 对于真分式 ，如果分母 可以因式分

15、解为 ，且 与 没有公因子，则该真分式可以分拆成两个真分式的和：则该真分式的不定积分可以化成简单的部分分式和的积分。68一、简单的有理函数的积分 例5-50 求 解69一、简单的有理函数的积分 例5-51 求 解 如果分母不能因式分解，则采用其他方法计算。70一、简单的有理函数的积分 例5-52 求 解71一、简单的有理函数的积分 例5-53 求 解 因为 所以72二、两种含有三角函数的不定积分 下面介绍含有两种比较简单的含有三角函数的不定积分。 1. 形如 （m、n 为非负整数) 的不定积分 （1）当 m、n 至少有一个是奇数时，如果 n 为奇数，用 cosx 凑微分得到以 sinx 为（中间）变量的多项式的积分；如果 m 为奇数用 sinx 凑微分得到以 cosx 为（中间）变量的多项式的积分。 （2）当 m、n 全是偶数时，用下面的三角公式，按“降次增角”处理。73二、两种含有三角函数的不定积分 例5-54 求下列不定积分： 解 （1） （1） （2） 74二、两种含有三角函数的不定积分 （2