2历年课件4.3序列相关性

1、4.3 序列相关CLRM 假设：不同观察值下的随机误差项不相关。实际中，不同观察值下的随机误差常相关。内容：序列相关含义、4.3.1 序列相关的含义一、序列相关的含义、检验、修正。序列相关表达： cov t , s E t s 0for t s如家庭消费模型中的随机误差存在序列相关。对于时间序列数据，序列相关意味着消费的随机干扰项与过去消费的随机干扰项有关，消费具有惯性；对于截面数据，序列相关意味着每个家庭消费之间的随机相互受影响。二、序列相关存在的原因惯性模型设定误差（变量、函数形式）数据加工三、序列相关的形式序列相关常称为自相关，是指随量与其滞后项之间的相关，这里主要指回归模型中随机误差项

2、的自相关。当误差项只与其滞后一期有关时，即 t =f( t-1)，称误差项具有一阶自回归形式，记 AR(1)。当误差项不仅与前一期有关，而且与前若干期都有关时，即 t =f(t-1, t-2,)，称误差项具有高阶自回归形式。下面误差项具有线性一阶自回归形式的一元回归模型：Y X , N 0, for t 1,.,T2ttttcovv , v 0, cov 0 v , v N 0,2, vtt 1ttvtst 1t 的含义：由于t t1 vt 满足 CLRM 假设，所以 的 OLS 估计为：TT t t t 1 21t 2t 2另外，将 t 和 t-1 看作两个变量，它们样本相关系数为：TTT

3、t 1 t t 1 t 22t 2t 2t 2当大样本时， 。对于总体参数而言，有 。于是， t t 1 vt 常写作： t t 1 vt , 1cov cov , v 2tt 1ttt 1cov , s 2t st1于是，随机误差项的方差-协方差阵为：1.T 2T 1 1.T 2 var = 22.1T 1另外，从 与 的关系：22vt 1vt 2 var var var v 22 22vtt 1t 2 v ，随机误差2方差。1 2四、序列相关的特征正自相关的随量变化特征m1 growth rate_序列相关.wf1M1g 为 1979 年 1 月至 2008 年 9 月（n=357）中国狭

4、义货币同比增速plot M1g（时序图）60scat M1g(-1) M1g（散点图）605050404030302020101000-10-10-10 010 20 30 40 50M1G(-1)1980 1985 1990 1995 2000 200560M1G无自相关的随ls m1g c m1g(-1) series e=resid plot e（时序图）30量变化特征scat e(-1) e（散点图）302020101000-10-10-20-20-30-30-30 -20 -1001020E(-1)1980 1985 1990 19952000 200530E因此，我国狭义货币增长率

5、为 AR(1)时间序列。负自相关的随量变化特征tablef5-2.wf1 （n=204）series infl=100*cpi_u/cpi_u(-1)-100 ls infl-infl(-1) c unempseries e=resid2M1GEplot e（时序图）scat e(-1) e（散点图）3210-1-2-3-3-2-10123E(-1)4.3.2 序列相关的一、OLS 估计量仍线性无偏且一致ee 22二、估计量为误差项方差的有偏估计T k以误差项具有线性一阶自回归形式的一元回归模型为例Yt Xt tet Yt Xt , and are OLS estimators 2 T 2 1

6、 2 r e2 E t 2 E T 2 T 2 t sx 。 t其中， r 2当 0 时， E ；222e当 0 时， E ，即为 有偏估计。222t2T 2当 0 和解释变量在数据上呈正自相关（即 r 0 ）时，T 2 1 2 r2E 2T 2T 2 2 1 2 r2 2T 2误差项的方差估计 低估 。图形直观理解2E ：2223E3210-1-2-350 55 60 65 70 75 80 85 90 95 00 E等著计量经济模型与经济(第 4 版)图 6-1 正序列相关注：图来自上图说明当误差序列相关时，OLS 估计量无偏，但 OLS 估计量的方差估计却低估了真实方差。三、OLS 估计

7、量的方差估计量有偏 1这里指用公式X X作为 var 的估计量，而2 1 XX 1 。var 2对于误差项具有线性一阶自回归形式的一元回归模型： xt t 222xt t tx var var22xts cov t , s t2222xxt 2 tx x t ss t s2 tx222xtx 作为 var 估计，可能低估也可能 t因此，用 22的22x 是 var 有偏估计。 t方差。简言之， 222四、置信区间法和显著性检验(t 和 F 检验)不可靠当 0 和解释变量在数据上呈正自相关时， t2x 低估2var ，造成 t 值偏大，从而把不重要的解释变量保留在模型中，2使显著性检验失去意义。

8、4.3.3 序列相关的检验一、残差的时序图和自相关散点图二、Durbin-Watson 检验1、Durbin-Watson 检验前提条件回归模型包含截距项解释变量为非随量因此，解释变量不能包含滞后被解释变量随机误差项t 有特征： t t1 vt , 1即为一阶自回归，记 AR(1)因此，Durbin-Watson 检验对如下的自回归模型不适用：Yt 1 2 Xt 3Yt 1 t42、Durbin-Watson 统计量原假设H0: = 0对立假设 H1: 0构造如下统计量：TTt 1 t22Det 2t 1TTTTe2Dt t 2t 2t 2t 1TTTt 2 2e 2e e2e2t 1 ttt

9、 t 2t 2 2 1 ,TT t t t e e 2e ，是e 对e回归的斜率系数，或者e其中，1tt 1tt 2t 2和et 1 的相关系数。于是，1 10 DW 4实际上， 1表示存在根的序列。其中，H0: 不存在正序列相关*H0 : 不存在负序列相关DW 统计量有两个临界值：下限 dL 和上限 dU ，有 3 个参数：显著水平、样本容量 T 和解释变量个数 k / (不包括常变量)。3、利率（该例来自R3 月期erest rate.wf1）计量经济模型与经济第4 版P104。和国债利率，为年利率，：%IP的工业生产指数（1987=100）储备M2名义货币供给（十亿）PW所有商品的生产价

10、格指数（1982=100）series gm2=(m2-m2(-1)/m2(-1)genr gpw=(pw-pw(-1)/pw(-1)5完全正相关无自相关完全负相关 = 1 = 0 = 1DW=0DW=2DW=4smpl 1960m1 1995m8ls r c ip gm2 gpw(-1)n428Rt 1.214 0.048IPt 140.31GM 2t 104.59GPWt 16.00t 2.20 8.793.89 0.216,s 2.48,DW 0.18R2一般地，利率与货币供给成反相关系，但 GM2 系数为正，问题出在哪？DW=0.18 揭示，残差可能存在正序列相关，于是观察残差的时序图

11、和自相关散点图：12840-4-8-8-404812E(-1)残差存在明显的正自相关。三、Durbin h 检验当解释变量包含滞后因变量时，尽管误差项确实存在序列相关，但常常 DW2。Durbin 提出用 Durbin h 统计量来检验误差项的序列相关性。但从统计学意义上看，这一检验不如 Breusch-Godfrey检验有效力，因此，不常使用 Durbin h 检验。4.3.4 序列相关的克服与异方差相似，序列相关性可能由于遗漏相关变量或者函数形式错误造成，因此，必须在正确设定模型后再修正序列相关。模型：Yt 1 t t 1 vt , t ,t 1,.,Tk Xkt 1covv , v 0

12、for t s,cov 0v N 0,2, vt 1ttvts一、广义差分思路：序列相关序列无关将模型滞后一期： 1 k Xkt 1 t 1Yt 1原模型减去 倍的滞后一期模型：1 vY *X *t1kktt Y YY *t 1X 2t 1ttX kt 1变换后的模型满足 CLRM 假设。因此，估计量具有 BLUE 性质，6E12840-4-81960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995E该估计法叫广义最小二乘法(GLS)。前一节的(WLS)也属于广义最小二乘法。当 1时，变换为一阶差分。在模型变换过程中观察值损失了一个，在小样本时，式补充观察值:最小二乘法可

13、用下 1 2 YY *1X *1 1 2 X2121 1 2 XX *k1k1广义差分法可平行推广到误差项二阶、三阶序列相关情形。以上似乎很好地解决了序列相关问题，但还有一个关键问题是为多少？二、 的估计1、一阶差分，即 =1实际上，变换后模型的估计对于 值并不敏感。一阶差分后，可估计 ,., ，但截距项 。 可用下式计算：2k11 Y X1k2、从 DW 统计量估计 1 DW 2 ，在样本较大时，3、从 OLS 残差估计et et 1 vt例 利率( erest rate.wf1)smpl 1960m1 1995m8ls r c ip gm2 gpw(-1)到较好的 的估计。n428原模型

14、1 DW 2 0.9077 残差序列的自回归 0.9089 series e=residls e c e(-1)scalar a=c(2)ls r-a*r(-1) c ip-a*ip(-1) gm2-a*gm2(-1) gpw(-1)-a*gpw(-2)广义差分模型1-0.9089 2.61 0.23761Rt 2.61 0.049IPt 62.65GM 2t 7.63GPWt 1t 4.049 -5.7842.245与原模型比较：Rt 1.214 0.048IPt 140.32GM 2t 104.59GPWt 1t 2.20 8.783.896.0074、Cochrane-Orcutt 计算

15、法模型： Yt 1 tk Xkt(1)对模型采用 OLS 估计，得残差e(1)t(2)对残差回归： e(1) e v ，得 (1)(1)(1)t 1tt(3)用 (1) 进行广义差分变换： 1 ( vY *X *t1kktt对变换后的方程进行估计，得原截距 以及所有偏回归系数1, ,., ，将它们代入原模型，计算新的回归残差：23k Y X . Xe(2)tt122tkkt(4)对新的残差回归： e(2) e v ，得 (2)(2)(2)tt 1t(5)重复(3)和(4)，直到相邻的 估计充分接近至精度要求5、Hildreth-Lu 方法如果残差正序列相关，则取 的网格点值 0, 0.1, 0

16、.2, 0.9, 1.0，用这些值分别作广义差分，选择使得广义差分方程的残差平方和 ESS 最小的。在该邻域内继续该过程，直到满足精度为止。 三、AR 模型在 Eviews 中的估计例 利率( erest rate.wf1)ls r c ip gm2 gpw(-1) AR(1)Dependent Variable: R Sample: 1960M01 1995M08Included observations: 428Convergence achieved after 13 iterationsVariableCoefficientStd. Errort-S isticProb.C IPGM2

17、 GPW(-1)AR(1)-49.585860.244097-62.407336.2120350.998771140.55960.0406239.5189512.9703870.004546-0.3527756.008774-6.5561152.091322219.69790.72440.00000.00000.03710.0000R-squaredAdjusted R-squaredS.E. of regres0.9682980.9679990.499600Durbin-Watson s1.642936实际上，Eviews 用非线性估计方法估计 AR 模型。例如，对于二元回归模型，将其广义差

18、分方程整理为：8 Yt1 1 1 X 3t 1 vtYtX 3t然后用 Marquardt 非线性估计法同时估计参数、 、 和 。四、Newey-West 异方差和自相关修正后的标准差与异方差情况相似，在自相关情况下，OLS估计量无偏且一致，只是方差非有效。Newey and West (1987)发展了一个计算OLS估计量标准差的方法，但要求大样本。OLS估计量的方差协方差矩阵估计：var 1 1TX e2 XtttX X 1X XX + Xt ltt -lt lt l 1 t l 11 1， L T 14 。其中，4.4.3 序列相关性分析（4.4 实证分析 P142）表 4.6.wf1Y

19、粮食总产量 X1播种面积 X2成灾面积 X3化肥施用量X4农村劳动力ls log(y) c log(x1) log(x2) log(x3) log(xseries e=residls e c e(-1)c(2)=0.570DW 0.85, 1 DW 2 0.575一阶广义差分：series gy=log(y)-0.575*log(y(-1) series gx1=log(x1)-0.575*log(x1(-1) series gx2=log(x2)-0.575*log(x2(-1) series gx3=log(x3)-0.575*log(x3(-1) series gx4=log(x4)-0

20、.575*log(x4(-1) ls gy c gx1 gx2 gx3 gx4DW1.26落在不确定区域二阶广义差分：ls e c e(-1) e(-2) scalar r1=c(2) scalar r2=c(3)series ggy=log(y)-r1*log(y(-1)-r2*log(y(-2)series ggx1=log(x1)-r1*log(x1(-1)-r2*log(x1(-2) series ggx2=log(x2)-r1*log(x2(-1)-r2*log(x2(-2)See (9-27) on page 273 and (20-17) on page 920 from Eco

21、nometricysis (7thEdition, 2012) by Greene.9RESID4).06.04.02.00-.02-.04-.06-.08-.08-.04.00.04.08RESID(-1)series ggx3=log(x3)-r1*log(x3(-1)-r2*log(x3(-2) series ggx4=log(x4)-r1*log(x4(-1)-r2*log(x4(-2) ls ggy c ggx1 ggx2 ggx3 ggx4DW1.71Eviews中的估计：ls log(y) c log(x1) log(x2) log(x3) log(x4) ar(1) ar(2)

22、比较三个回归结果：ls gy c gx1 gx2 gx3 gx4ls ggy c ggx1 ggx2 ggx3 ggx4ls log(y) c log(x1) log(x2) log(x3) log(x4) ar(1) ar(2) 广义最小二乘估计法（4.2.3 节）一、广义最小二乘估计法1、广义最小二乘法回归模型： Y X 随机误差项 的方差-协方差阵：21121n 2 var = 2n 2 2122 n1 n 2 n一般地，是一个对称正定矩阵。为了得到参数 的有效估计，必须利用提供的信息。对于正定矩阵，存在非奇异矩阵 H，使得：H H = In用 H 变换 ，得：E H H HE H = H H = I22n思路：用矩阵H 变换模型，变换后的模型满足CLRM 假设。原模型：Y X 变换后模型： HY HX H HX , H ，于是， *记Y * = HY ,X *变换后模型： Y * X * *E * * E H H = 2 In变换后模型满足 CLRM 假设，其 OLS 估计量： 1= X H HX 1 X H HY10*Y *由