工程力学力偶

1、第四章力偶系1Chapter Four System of Couples24.1 力对点之矩4.4 力偶及其性质本章内容小结本章基本要求4.2 力对轴之矩4.3 力系的主矢和主矩4.5 力偶系的合成与平衡3 深刻理解力对点之矩的概念和力对轴之矩的概念，并要求熟练计算。正确理解力系的主矢和主矩的概念。 能熟练地应用力偶系平衡条件求解力偶系的平衡问题。本 章 基 本 要 求正确理解力偶的概念和性质。4i i = 1 j j = 1 k k = 1i j = 0 j k = 0 k i = 0A B = A B cos(A ，B)OxyzijkA B = CC = A B sin ( A, B )

2、i i = 0 j j = 0 k k = 0i j = k j k = i k i = jABC数学工具箱5OOFddF力对刚体的转动效应的度量。4.1 力对点之矩OF6M (F) = F doM (F) odFABxyO转向大小逆时针转向为正。代数量单位N m kN m1. 平面问题中力对点的矩7飞机水平和垂直尾翼的主要作用2. 空间问题中力对点的矩82. 空间问题中力对点的矩力使物体绕 O 点转动的效果决定于？FOAd 转向力矩作用面的方位三要素力矩的大小9FBOxyzijkM (F) orA(x，y，z)10力对点O 的矩等于矢径 r 与力F 的矢积。M (F) o= r F 定义FB

3、OxyzijkM (F) orA11定位矢量大小、方向、矩心力矩矢垂直于 r 与 F 所确定的平面,指向用右手定则。= Fr sin (r , F) = F dM (F) o= r F dFBOxyzijkM (F) orA12r = x i + y j + z kFzFxFyi +kF =j+ FBOxyzijkrA(x，y，z)13M (F) o= r F = ( x i + y j + z k )FzFxFyi +kj+ （ ） = (yF zF ) i + (zF xF ) j + (xF yF ) k xxyyzz=i j kx y zFzFxFy解析表示14M oxM ozM oy

4、=(y F z F ) yz(z F x F ) zx(x F y F ) xyM (F) oM oxM ozM oy= i+jk15长方体，上下底为正方形，边长 ，高a，力大小F ；求力 F 对点矩 。例.OxyzFAa解：r16VmgVmgF YF XF YF XVmgPGF X为什么弹丸的压心要在重心之后才稳定？分析和讨论17VmgPGF XVmgF YF XVmgF YF X为什么弹丸的压心要在重心之后才稳定？分析和讨论183. 力对点的矩的基本性质力对点之矩矢服从矢量的合成法则。Mo= Mo ( F 1)+ Mo ( F2 )+ + Mo ( Fn )4. 合力矩定理 当一空间力系与

5、一合力等效时，空间力系的合力对任一点之矩等于力系中各力对同一点的矩之矢量和。M o( F )R= i=1nM ( F ) oi19rOFrFFnrOFnd 图示圆柱直齿轮，受到啮合力 Fn 的作用。试计算力 Fn 对于轴心 O 的力矩。例 题 1解：20 已知力 F 的作用点 A 的坐标为 x 和 y ,试计算力 F 对于 坐标原点 O 的矩。解：yxOAFFyFx动脑又动笔 21zFAdM (F) z= M (F ) zxy= F dxyM (F )xyo=M (F) z= ( r F )xyxy kFzFFxyAOxyzrxy4.2 力对轴之矩 力对轴之矩是力对刚体所产生的绕该轴转动效应的

6、度量。1. 力对轴之矩的概念k22代数量； F d ；xy按右手定则来确定正负号。 当力与轴相交时； 当力与轴平行时；M (F) z= 0单位N m kN mM (F) z232. 力对点之矩与力对轴之矩的关系OxyzijkAF F xy F zrxyr F xyM (F) oM (F) z= ( r F )xyxy kM oz24OxyzijkAF F xy F zrxyr F xyM (F) oM (F) o= r F rzM oz= (r F ) oz= (r F ) k F xy F z+ )( ) k= (rxyrz+ F xy F z+= (rxyrz+ F xy F zrxyrz

7、+) k= ( r F )xyxy k= M (F) zrxyrzr = + F xy F zF =+ F xyrz) k(= F xyrz) k( rxy F z k)( F zrxy= k)(25M oz=M (F) zM oy=M (F) yM ox=M (F) x 力对点之矩在过该点的轴上的投影等于力对该轴之矩。结论26 力系的主矢和主矩的概念 力系的主矢 定义 一般力系中所有力的矢量和。F = FRii=1n F 1 F 2 F n4.3 力系的主矢和主矩27主矢 = 合力大小，方向，自由矢量大小，方向，作用线分析和讨论28a. 几何法多边形法则F2OF1F2F3F4F4F329b.

8、 解析法F = FRii=1nF RF iRxF kRzF jRy=+Fi zFi xFi yi +kF =j+ iFi xF Rx= i=1nFi yF Ry= i=1nFi zF Rz= i=1n30 力系的主矩 定义 力系中所有力对同一点之矩的矢量和，称为力系对这一点的主矩。=M o i=1nM ( F ) oir F ii= i=1n31M oyM ( F ) oyi= i=1n= i=1nM ozM ( F ) ozi=M ox i=1nM ( F ) oxi解析法M (F) oM oxM ozM oy= i+jk32F6F5F4F3F2F1 正立方体的顶角作用着六个大小相等的力，此

9、力系对任意点的 主矢 = 0 , 主矩 0 主矢 0 , 主矩 0 主矢 0 , 主矩 = 0 主矢 = 0 , 主矩 = 0分析和讨论33力系等效定理 两个不同力系等效的充分必要条件是主矢相等，且对同一点的主矩相等。推论力系平衡的充分必要条件主矢 = 0 ，对任意点的主矩 = 0344.4 力偶及其性质351. 力偶的定义 两个大小相等，作用线不重合的反向平行力所组成的力系，称为力偶。（ F , F ）dFF力偶的作用面力偶臂362. 力偶的基本性质FFF R 0 力偶的主矢 0 力偶不能与一个力等效（即力偶没有合力），因此也不能与一个力平衡。力偶是最基本、最简单的力系。FF R 037Ox

10、yzFFAB=M o i=12M ( F ) oirBArArB= r F Ar F B+F = FrBrA()F=rBA F= 力偶对任意点的主矩 = r F 38力偶对刚体的作用效应使刚体转动力偶三要素 力偶的转向 F d力偶矩的大小 力偶的作用面39d3. 力偶矩矢量M = r F FFr= Fr sin (r , F) = F dM = r F 大小方向 力偶作用面，指向按右手定则表示力偶的转向。自由矢量M定义 ：40M 代数量平面力偶矩ABDlMM = F d转向大小+M414. 力偶等效变换的性质 力偶可在作用面内任意转动和移动；FF42 力偶的作用面可任意平移；MM43 只要保持

11、力偶矩不变，可任意改变力偶中的力的大小和力偶臂的长短。FFdF 1F 1d1F 2F 2d2MF d = F d = F d = M12 1244 只要保持力偶矩矢量不变，不会改变力偶对刚体的作用效应。 力偶对刚体的作用完全取决于力偶矩矢量M。451. 力与力偶有什么不同？2. 力偶的合力等于零？3. 力矩与力偶矩有什么异同？分析和讨论461. 力偶等效条件若两个力偶的力偶矩矢相等，则两力偶等效。4.5 力偶系的合成与平衡47力偶矩矢M = MRF R= 0平面力偶系合力偶(代数量)一个合力偶简化结果2 . 力偶系的合成M = MR48MAB 带有不平行二槽的矩形平板上作用一矩为M的力偶，今在

12、槽内插入两个固定与地面的销钉，若不计摩擦则 平板保持平衡； 平板不能平衡； 平衡与否不能判断。分析和讨论4933. 力偶系的平衡条件M = 0空间力偶系平衡的必要充分条件是合力偶矩矢等于零，即力偶系各力偶矩矢的矢量和等于零。= 0 M x= 0 M y= 0 M z平衡方程50平面力偶系的平衡方程 M = 01ABCDF1F4F3F2刚体是否平衡 ？想一想FrOM = F r 既然力偶不能与一力相平衡，为什么图中的圆轮又能平衡呢 ?51 一简支梁作用一力偶矩为 M 的力偶 ，不计梁重，求二支座约束力。（ AB = d ）解：以梁为研究对象。 因为力偶只能与力偶平衡 ，所以 FA = FB =

13、M / d BAdMFAFB例 题 1dMBAFA = FB又 M = 0即 M + FAd = 0所以52 如图所示的工件上作用有三个力偶。已知三个力偶的矩分别为：M1 = M2 =10 N.m， M3 = 20 N.m；固定螺柱 A 和 B 的距离 l = 200 mm 。求两个光滑螺柱所受的水平力。 FA = FB解：M = 0 ，例 题 2BlAM2M1M3FA lM1 M2 M3 = 0FAFB选工件为研究对象 FA = FB = 200 N列平衡方程：53 横梁 AB 长 l ，A 端用铰链杆支撑，B 端为铰支座。梁上受到一力偶的作用，其力偶矩为 M ，如图所示。不计梁和支杆的自重

14、，求 A 和 B 端的约束力。ABDlM动脑又动笔 54选梁AB为研究对象ABM解：列平衡方程：ABDlMFA = FBFAFB45oM = 0 ，M FA l cos45o = 0FA = FB= 2M / l动脑又动笔 55 如图所示的铰接四连杆机构 OABD，在杆 OA 和 BD 上分别作用着矩为 M1 和 M2 的力偶，而使机构在图示位置处于平衡。已知OA = r，DB = 2r，= 30，不计杆重，试求 M1 和 M2 间的关系。BODM1M2A动脑又动笔 56写出平衡方程： M = 0 BDM2FDFBAFOFABOM1A解：BODM1M2A分别取杆 OA 和 DB 为研究对象。F

15、AB = FBAM1 FAB r cos = 0 M2+ 2FBA r cos = 0M2= M1 / 2动脑又动笔 57例 题 3 工件如图所示，它的四个面上同时钻五个孔，每个孔所受的切削力偶矩均为 80 Nm 。求工件所受合力偶的矩在 x，y，z 轴上的投影 Mx ，My ，Mz ，并求合力偶矩矢的大小和方向。58例 题 3将作用在四个面上的力偶用力偶矩矢表示，并平移到A点。解：A59例 题 3zxyAM 2M 1M 3M 4M 545oMx = Mx = M3 M4 cos 45o M5 cos 45o = 193.1 NmMy = My = M2 = 80 NmMz= Mz = M1

16、M4 cos 45o M5 cos 45o = 193.1 NmMx2 +My2 +Mz2M = 284.6 Nmcos (M, k) =MzM= 0.6786cos (M, j) =MyM= 0.2811cos (M, i) =MxM= 0.678660 图示的三角柱刚体是正方体的一半。在其中三个侧面各自作用着一个力偶。已知力偶（F1 ，F 1）的矩 M 1 = 20 Nm；力偶（F2， F 2 ）的矩 M 2 = 20 Nm；力偶（F3 ，F 3）的矩 M 3 = 20 Nm。试求合力偶矩矢 M 。又问使这个刚体平衡，还需要施加怎样一个力偶。例 题 4xzyOF3F2F1F1F2F3611.画出各力偶矩矢。例 题 4解：xzyOF3F2F1F1F2F3622.合力偶矩矢 M 的投影。xzy45OM145M2M3Mx = Mx = M1x + M2x + M3x = 0My = My = M1y + M2y + M3y = 11.2 NmMz = Mz = M1z + M2z + M3z = 41.2 Nm633.合力偶矩矢 M 的大小和方向。为使这个刚体平衡，需加一力偶，其力偶矩矢为xzy45OM145M2M3例 题 4M4. 由 M = 0 Mx2 +My2 +Mz2M =