数字信号处理第六章资料

1、第6章 无限(wxin)脉冲响应数字滤波器的设计 6.1 数字滤波器的基本概念6.2 模拟滤波器的设计6.3 用脉冲响应不变法(bin f)设计IIR数字低通滤波器6.4 用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器6.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计6.6 IIR 数字滤波器的直接设计法共一百九十四页数字(shz)滤波器：是指输入输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信号所含频率成分(chng fn)的相对比例或者滤除某些频率成分(chng fn)的器件。 高精度、稳定、体积小、重量轻、灵活，不要求阻抗匹配，可实现特殊滤波功能优点：6.1 数字滤波器的基本概念共一百九十四页 1、数字(sh

2、z)滤波器的分类 经典(jngdin)滤波器：现代滤波器：选频滤波器维纳滤波器卡尔曼滤波器自适应滤波器等共一百九十四页图6.1.1 按功能分类(fn li)：理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性 共一百九十四页数字滤波器从实现(shxin)的网络结构或者从单位脉冲响应分类，可以分成无限脉冲响应(IIR)滤波器和有限脉冲响应(FIR)滤波器。它们的系统函数分别为： (6.1.1) (6.1.2) 共一百九十四页用一个因果稳定的离散LSI系统(xtng)的系统(xtng)函数H(z)逼近此性能指标按设计任务(rn wu)，确定滤波器性能要求，制定技术指标利用有限精度算法实现此系统函数：如运算结

3、构、字长的选择等实际技术实现：软件法、硬件法或DSP芯片法共一百九十四页2、数字滤波器的技术(jsh)要求选频滤波器的频率响应(pn l xin yn)： 为幅频特性：表示信号通过该滤波器后 各频率成分的衰减情况 为相频特性：反映各频率成分通过滤波器 后在时间上的延时情况共一百九十四页图6.1.2 低通滤波器的技术(jsh)要求阻带(z di)：过渡带：通带：共一百九十四页 通带内和阻带内允许的衰减(shui jin)一般用dB数表示，通带内允许的最大衰减用p表示，阻带内允许的最小衰减用s表示，p和s分别定义为：(6.1.3) (6.1.4) 对单调下降(xijing)幅频特性，且|H(ej0

4、)|归一化为1，(6.1.3)和(6.1.4)式则表示成：(6.1.5) (6.1.6) 共一百九十四页当 时，称 为3dB通带截止频率共一百九十四页 3. 数字(shz)滤波器设计方法概述 IIR滤波器和FIR滤波器的设计方法是很不相同的。IIR滤波器设计方法有两类：直接法和间接法。后者指的是借助于模拟滤波器的设计方法进行的。其设计步骤是：先设计模拟滤波器得到传输函数Ha(s)，然后将Ha(s)按某种方法转换成数字滤波器的系统函数H(z)。直接法指直接在频率域或者时间域中进行设计，要解联立方程，需采用计算机辅助设计。 FIR滤波器不能采用间接法，常用的设计方法有窗函数法、频率采样法、Cheb

5、yshev等波纹逼近法等。 本章主要介绍IIR的间接设计法。共一百九十四页6.2 模拟(mn)滤波器的设计 模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Ellipse)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员(rnyun)使用。 共一百九十四页 图6.2.1 各种( zhn)理想滤波器的幅频特性 共一百九十四页 1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法 模拟低通滤波器的设计指标有p, p,s和s。其中p和s分别称为通带

6、截止频率和阻带截止频率，p是通带(=0p)中的最大衰减系数，s是阻带s的最小衰减系数，p和s一般用dB数表示。对于单调下降(xijing)的幅度特性，可表示成：(6.2.1) (6.2.2) 共一百九十四页 如果=0处幅度已归一化到1，即|Ha(j0)|=1,p和s表示(biosh)为 以上技术指标用图6.2.2表示。图中c称为3dB截止频率，因 (6.2.3) (6.2.4) 共一百九十四页图6.2.2 低通滤波器的幅度(fd)特性共一百九十四页 滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函数Ha(s)，希望(xwng)其幅度平方函数满足给定的指标p和s，一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此(

7、6.2.6) Ha(s)必须是因果稳定系统，因此其所有极点(jdin)必须落在s平面的左半平面。共一百九十四页 2.巴特沃斯低通滤波器的设计方法 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方(pngfng)函数|Ha(j)|2用下式表示：(6.2.7) 图6.2.3 巴特沃斯幅度(fd)特性和N的关系共一百九十四页 3dB不变性 通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小 过渡带及阻带内快速单调减小 当 （阻带截止频率）时，衰减 为阻带最小衰减共一百九十四页 用s替换j, 将幅度(fd)平方函数|Ha(j)|2写成s的函数： (6.2.7) 此式表明幅度平方(pngfng)函数有2N个极点，极点sk用下式表示：(6

8、.2.8) 共一百九十四页图6.2.4 三阶(sn ji)巴特沃斯滤波器极点分布共一百九十四页 为形成(xngchng)稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha(s)，而右半平面的N个极点构成Ha(-s)。 Ha(s)的表示式为设N=3，极点(jdin)有6个，它们分别为共一百九十四页取s平面左半平面的极点(jdin)s0,s1,s2组成Ha(s)： 共一百九十四页 由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有(suyu)的频率归一化。这里采用对3dB截止频率c归一化，归一化后的Ha(s)表示为 令，ps/c=+j。 令=/c，称为归一化频率；p称为归一化复变量，这样

9、归一化巴特沃斯的传输函数为(6.2.10) (6.2.11) 共一百九十四页 式中，pk为归一化极点，用下式表示： 将极点表示式(6.2.12)代入(6.2.11)式，得到(d do)的Ha(p)的分母是p的N阶多项式，用下式表示： (6.2.12) 将=s代入(6.2.6)式中，再将|Ha(js)|2代入(6.2.4)式中，得到(d do)：(6.2.14) (6.2.15) 同理：共一百九十四页 由(6.2.14)和(6.2.15)式得到(d do)：令,则N由下式表示(biosh)： (6.2.16) 上式所求出的N不一定是整数，应取大于或等于N的最小整数。共一百九十四页关于3dB截止频

10、率c，如果技术指标中没有(mi yu)给出，可以按照(6.2.14)式或(6.2.15)式求出，由(6.2.14)式得到： 或由(6.2.15)式得到(d do)： (6.2.17)(6.2.18) 共一百九十四页 总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤(bzhu)如下： (1)根据技术指标p,p,s和s，用(6.2.16)式求出滤波器的阶数N。 (2)按照(6.2.12)式，求出归一化极点pk，将pk代入(6.2.11)式，得到归一化传输函数Ga(p)。也可直接查表得到 pk (3)将Ha(p)去归一化。将p=s/c代入Ha(p)，得到实际的滤波器传输函数Ha(s)。 共一百九十四页表6.2

11、.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数(cnsh) 共一百九十四页共一百九十四页共一百九十四页 例6.2.1 已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减p=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减s=30dB，按照(nzho)以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。 解 (1) 确定阶数N。 共一百九十四页 (2) 按照(nzho)(6.2.12)式，其极点为按照(6.2.11)式，归一化传输(chun sh)函数为共一百九十四页 上式分母可以展开成为五阶多项式，或者将共轭极点放在一起(yq)，形成因式分解形式。这里不如直接查表6.2.1简单，由N=5，直接查表得到： 极点：-0.3090

12、j0.9511,-0.8090j0.5878; -1.0000 式 b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361共一百九十四页 (3) 为将Ga(p)去归一化，先求3dB截止频率c。 按照(nzho)(6.2.17)式，得到：将c代入(6.2.18)式，得到(d do)：将p=s/c代入Ga(p)中得到：共一百九十四页共一百九十四页 3.切比雪夫滤波器的设计方法 我们这里仅介绍切比雪夫型滤波器的设计方法。图6.2.5分别(fnbi)画出阶数N为奇数与偶数时的切比雪夫型滤波器幅频特性。其幅度平方函数用A2()表示： (6.2.19) 共一百九

13、十四页N：滤波器的阶数幅度(fd)平方函数： ：截止频率，不一定(ydng)为3dB带宽 ，表示通带波纹大小， 越大，波纹越大 ：N阶Chebyshev多项式共一百九十四页共一百九十四页当N=0时，C0(x)=1；当N=1时，C1(x)=x；当N=2时，C2(x)=2x2-1；当N=3时，C3(x)=4x 3-3x。由此可归纳(gun)出高阶切比雪夫多项式的递推公式为C N+1 (x)=2xCN(x)C N-1 (x) (6.2.20) 共一百九十四页 图6.2.6示出了阶数N=0,4,5时的切比雪夫多项式特性。 由图可见： (1)切比雪夫多项式的过零点在|x|1的范围内； (2)当|x|1时

14、，|CN(x)|1,在|x|1时，CN(x)是双曲线函数(hnsh)，随x单调上升。 N等于(dngy)通带内最大值和最小值个数的和共一百九十四页图6.2.6 N=0,4,5切比雪夫多项式曲线(qxin)共一百九十四页 1）幅度函数(hnsh)特点： 通带外：迅速单调下降趋向0N为偶数N为奇数 通带内：在1和 间等波纹起伏 共一百九十四页 ：通带截止频率，给定(i dn) ：表征通带内波纹大小N：滤波器阶数，等于(dngy)通带内最大最小值的总数由通带衰减决定阻带衰减越大所需阶数越高为阻带截止频率共一百九十四页 图6.2.7 切比雪夫型与巴特沃斯低通的A2()曲线(qxin)注意这里是平方共一

15、百九十四页 设阻带的起始点频率(pnl)(阻带截止频率)用s表示，在s处的A2(s)用(6.2.19)式确定： (6.2.23) 令s=s/p，由s1，有(6.2.24) (6.2.25)可以(ky)解出 共一百九十四页 3dB截止频率用c表示(biosh)，按照(nzho)(6.2.19)式，有通常取c1，因此上式中仅取正号，得到3dB截止频率计算公式： (6.2.26) 共一百九十四页 以上p,和N确定后，可以求出滤波器的极点，并确定Ga(p)，p=s/p。求解的过程请参考(cnko)有关资料。下面仅介绍一些有用的结果。 设Ha(s)的极点为si=i+ji，可以证明： (6.2.27) 式

16、中 (6.2.28) 共一百九十四页 (6.2.28)式是一个椭圆(tuyun)方程，长半轴为pch(在虚轴上)，短半轴为psh(在实轴上)。令bp和ap分别表示长半轴和短半轴，可推导出： (6.2.29) (6.2.30) (6.2.31) 式中 共一百九十四页图6.2.8 三阶(sn ji)切比雪夫滤波器的极点分布p共一百九十四页 设N=3，平方幅度函数的极点分布如图6.2.8所示(极点用叉“X”表示)。为稳定，用左半平面(pngmin)的极点构成Ga(p)，即(6.2.32) 式中c是待定系数。根据(gnj)幅度平方函数(6.2.19)式可导出：c=2 N-1，代入(6.2.32)式，得

17、到归一化的传输函数为(6.2.33a) 共一百九十四页 按照以上(yshng)分析，下面介绍切比雪夫型滤波器设计步骤。1) 确定技术要求p,p,s和sp是=p时的衰减系数，s是=s时的衰减系数，它们为 去归一化后的传输(chun sh)函数为(6.2.33b) (6.2.34) (6.2.35) 共一百九十四页 这里p就是前面(qin mian)定义的通带波纹，见(6.2.21)式。归一化频率 2) 求滤波器阶数N和参数 由(6.2.19)式，得到： 共一百九十四页 将以上(yshng)两式代入(6.2.41)式和(6.2.42)式，得到： 令 (6.2.36) (6.2.37)则 共一百九十

18、四页 这样，先由(6.2.36)式求出k-11，代入(6.2.37)式，求出阶数N，最后取大于等于(dngy)N的最小整数。 按照(6.2.27)式求，这里p=。 2=10 0.1-1 3) 求归一化传输函数Ga(p) 为求Ga(p)，先按照(6.2.46)式求出归一化极点pk,k=1,2,N。 共一百九十四页 将极点(jdin)pk代入(6.2.39)式，得到： 4) 将Ga(p)去归一化，得到(d do)实际的Ha(s)，即 (6.2.38) (6.2.39) 共一百九十四页 例6.2.2设计低通切比雪夫滤波器，要求通带截止频率fp=3kHz，通带最大衰减p=0.1dB，阻带(z di)截

19、止频率fs=12kHz，阻带最小衰减s=60dB。 解 (1) 滤波器的技术要求： 共一百九十四页 (2) 求阶数N和：共一百九十四页 (3) 求Ga(p):由(6.2.46)式求出N=5时的极点(jdin)pi，代入上式，得到： (4)将Ga(p)去归一化，得到(d do)：共一百九十四页模拟高通, 带通, 带阻滤波器设计(shj)流程4. 模拟(mn)高通、带通及带阻滤波器的设计设计模拟低通滤波器G(p)给定高通、带通或带阻的技术指标频率转换低通滤波器技术指标得到高通、带通或带阻滤波器H(s)频率转换共一百九十四页想办法实现(shxin)高通到低通的转换： 低通幅频高通幅频给定(i dn)

20、高通滤波器的技术指标：先作频率归一化：4.1 模拟高通滤波器的设计共一百九十四页或共一百九十四页由：如何：？（HP）实现：设计出（LP）归一化高通滤波器的复变量(虚轴上）归一化低通滤波器的复变量(虚轴上）共一百九十四页得：于是可得到模拟高通滤波器的转移(zhuny)函数 后面(hu mian)带通、带阻滤波器和低通滤 波器的转换过程大体相同。共一百九十四页 模拟高通滤波器具体的设计步骤如下： (1)确定高通滤波器的技术指标：通带边界频率p，阻带边界频率s，通带最大衰减(shui jin)p，阻带最小衰减s，并对p进行归一化处理。 (2)确定相应低通滤波器的设计指标：按照公式 将高通滤波器的边界

21、频率转换成低通滤波器的边界频率，各项设计指标为： 低通滤波器通带截止频率p=1/p； 低通滤波器阻带截止频率s=1/s； 通带最大衰减仍为p，阻带最小衰减仍为s。共一百九十四页 (3)设计(shj)归一化低通滤波器G(p)。 (4)求模拟高通的H(s)。将G(p)按照公式H(q)=1/ G(p) ，转换成归一化高通H(q)，再对频率去归一化，即将q=s/p代入H(q)中，得 例6.2.3 设计高通滤波器,fp=200Hz,fs=100Hz，幅度特性单调下降，fp处最大衰减为3dB，阻带最小衰减s=15dB。(6.2.42) 共一百九十四页 解 高通技术(jsh)要求： fp=200Hz,p=3

22、dB; fs=100Hz,s=15dB 归一化频率低通技术(jsh)要求：共一百九十四页 设计(shj)归一化低通G(p)。采用巴特沃斯滤波器，故共一百九十四页 求模拟(mn)高通H(s)： 共一百九十四页对带通滤波器，如何(rh)实现频率的归一化？定义(dngy)：有 ：用带宽归一化4.2 模拟带通滤波器的设计然后要实现带通滤波器技术指标到低通的转换。关键问题是找到 对应关系： 定义 中心频率：共一百九十四页共一百九十四页图6.2.10 带通与低通滤波器的幅度(fd)特性 表6.2.2 与的对应(duyng)关系 共一百九十四页 由与的对应(duyng)关系，得到：(6.2.53) (6.2

23、.53)式称为低通到带通的频率(pnl)变换公式。利用该式将带通的边界频率(pnl)转换成低通的边界频率(pnl)。下面推导由归一化低通到带通的转换公式。由于 共一百九十四页 将(6.2.43)式代入上式，得到(d do)：将q=j代入上式，得到(d do)：为去归一化，将q=s/B代入上式( ) ，得到：(6.2.44) (6.2.45)共一百九十四页上式就是由归一化低通直接转换成带通的计算公式。下面总结模拟带通的设计步骤。(1)确定(qudng)模拟带通滤波器的技术指标，即：带通上限频率u，带通下限频率l下阻带上限频率 s1 ,上阻带下限频率 s2 通带中心频率20=lu，通带宽度B=u-

24、l与以上边界频率对应的归一化边界频率如下：共一百九十四页 (2) 确定归一化低通技术要求： s与-s的绝对值可能(knng)不相等，一般取绝对值小的s，这样保证在较大的s处更能满足要求。 通带最大衰减仍为p，阻带最小衰减亦为s。 (3) 设计归一化低通G(p)。 (4) 由(6.2.55)式直接将G(p)转换成带通H(s)。 共一百九十四页 例6.2.4 设计模拟带通滤波器，通带带宽B=2200rad/s，中心频率0=21000rad/s，通带(tn di)内最大衰减p=3dB，阻带s1=2830rad/s,s2=21200rad/s，阻带最小衰减s=15dB。 解 (1) 模拟带通的技术要求

25、： 0=21000rad/s,p=3dB s1 =2830rad/s,s2=21200rad/s,s=15dB B=2200rad/s; 0=5,s1=4.15,s2=6共一百九十四页 (2) 模拟归一化低通技术(jsh)要求： 取s=1.833,p=3dB,s=15dB。 (3)设计模拟(mn)归一化低通滤波器G(p)： 采用巴特沃斯型，有共一百九十四页 取N=3，查表6.2.1，得(4) 求模拟(mn)带通H(s)： 共一百九十四页 3) 模拟(mn)带阻滤波器的设计 低通与带阻滤波器的幅频特性如图6.2.11所示。 图6.2.11 低通与带阻滤波器的幅频特性共一百九十四页 图中，l和u分

26、别是下通带截止频率和上通带截止频率，s1和s2分别为阻带的下限频率和上限频率，0为阻带中心频率，20=ul，定义阻带带宽为B=u-l，B作为归一化参考(cnko)频率。相应的归一化边界频率为 u=u/B,l=l/B,s1=s1/B,s2=s2/B; 20=ul 表6.2.3 与的对应(duyng)关系 共一百九十四页 根据(gnj)与的对应关系，可得到： 且ul=1，p=1，(6.2.46)式称为低通到带阻的频率变换公式。将(6.2.46)式代入p=j，并去归一化，可得 上式就是直接由归一化低通转换成带阻的频率变换公式。 (6.2.46) (6.2.47) (6.2.48) 共一百九十四页下面

27、总结设计带阻滤波器的步骤：(1)确定模拟带阻滤波器的技术要求，即：下通带截止频率l,上通带截止频率u阻带(z di)下限频率s1，阻带上限频率s2阻带中心频率02=ul，阻带宽度B=u-l它们相应的归一化边界频率为 l=l/B,u=u/B,s1=s1/B; s2=s2/B,20=ul以及通带最大衰减p和阻带最小衰减s。 共一百九十四页 (2) 确定归一化模拟低通技术要求，即： 取s和-s的绝对值较小的s；通带最大衰减为p，阻带最小衰减为s。 (3) 设计(shj)归一化模拟低通G(p)。 (4) 按照(6.2.48)式直接将G(p)转换成带阻滤波器H(s)。共一百九十四页 例6.2.5 设计模

28、拟(mn)带阻滤波器，其技术要求为： l=2905rad/s, s1=2980rad/s, s2= 21020rad/s,u=21105rad/s,p=3dB, s=25dB。试设计巴特沃斯带阻滤波器。 解 (1) 模拟带阻滤波器的技术要求： l=2905,u=21105; s1=2980,s2=21020; 20=lu=421000025, B=u-l=2200; 共一百九十四页 l=l/B=4.525,u=u/B=5.525; s1=s1/B=4.9,s2=5.1; 20=lu=25 (2) 归一化低通的技术(jsh)要求：(3)设计(shj)归一化低通滤波器G(p):共一百九十四页 (4

29、) 带阻滤波器的H(s)为共一百九十四页用模拟(mn)滤波器设计IIR数字滤波器设计(shj)思想： s 平面 z 平面模拟系统 数字系统H(z) 的频率响应要能模仿 Ha(s) 的频率响应，即 s 平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆因果稳定的 Ha(s) 映射到因果稳定的 H(z) ，即 s 平面的左半平面 Res 0 映射到 z 平面的单位圆内 |z| 1共一百九十四页设计(shj)方法：- 冲激响应不变法(bin f)- 阶跃响应不变法- 双线性变换法共一百九十四页五、脉冲响应不变法(bin f)数字滤波器的单位脉冲响应 模仿模拟滤波器的单位冲激响应1、变换(binhun)原理T抽样周期

30、共一百九十四页共一百九十四页2、混迭失真(sh zhn)仅当数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟(mn)滤波器的频响而不产生混迭失真：数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓，周期为 共一百九十四页 实际系统不可能严格限带，都会混迭失真，在 处衰减越快，失真越小当滤波器的设计指标以数字域频率 给定时，不能通过提高抽样频率来改善混迭现象共一百九十四页3、模拟(mn)滤波器的数字化方法共一百九十四页系数相同：极点：s 平面 z 平面稳定性不变：s 平面 z 平面共一百九十四页当T 很小时，数字(shz)滤波器增益很大，易溢出，需修正令：则：共一百九十四页 例6.3.1 已知模拟(mn)滤

31、波器的传输函数Ha(s)为 用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z)。 解 首先将Ha(s)写成部分分式：极点(jdin)为那么H(z)的极点为共一百九十四页按照(6.3.4)式，并经过(jnggu)整理，得到 设T=1s时用H1(z)表示，T=0.1s时用H2(z)表示，则 转换时，也可以直接按照(nzho)(6.3.11),(6.3.12)式进行转换。首先将Ha(s)写成(6.3.12)式的形式，如极点s1,2=1j1,则共一百九十四页再按照(nzho)(6.3.14)式，H(z)为共一百九十四页试用冲激响应不变法，设计IIR数字滤波器例：设模拟滤波器的系统函数为解：

32、据题意，得数字(shz)滤波器的系统函数：设T = 1s，则共一百九十四页模拟(mn)滤波器的频率响应：数字(shz)滤波器的频率响应：共一百九十四页4、优缺点优点(yudin)：缺点(qudin)：保持线性关系：线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器频率响应混迭只适用于限带的低通、带通滤波器h(n)完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应时域逼近良好共一百九十四页双线性变换法1、变换(binhun)原理使数字滤波器的频率响应与模拟(mn)滤波器的频率响应相似。冲激响应不变法、阶跃响应不变法：时域模仿逼近缺点是产生频率响应的混叠失真共一百九十四页共一百九十四页共一百九十四页为使模拟(mn)滤波器某

33、一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系，引入系数 c共一百九十四页2、变换常数(chngsh)c的选择2）某一特定频率严格相对应：1）低频处有较确切的对应关系：特定频率处频率响应严格(yng)相等，可以较准确地控制截止频率位置共一百九十四页3、逼近(bjn)情况1）s平面虚轴z平面单位圆2）左半平面单位圆内s平面z平面右半平面单位圆外虚轴单位圆上共一百九十四页4、优缺点优点(yudin)：避免(bmin)了频率响应的混迭现象s 平面与 z 平面为单值变换共一百九十四页缺点(qudin)： 除了零频率附近， 与 之间严重非线性2）要求模拟滤波器的幅频响应为分段(fn dun)常数型，不然会产生畸

34、变1）线性相位模拟滤波器 非线性相位数字滤波器分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器，但临界频率点产生畸变共一百九十四页预畸变(jbin)给定数字滤波器的截止频率 ，则按 设计模拟滤波器，经双线性变换后，即可得到 为截止频率的数字滤波器共一百九十四页6、模拟(mn)滤波器的数字化方法共一百九十四页可分解成级联的低阶子系统可分解成并联(bnglin)的低阶子系统共一百九十四页 例6.4.1试分别用脉冲响应不变法和双线性不变法将图6.4.4所示的RC低通滤波器转换成数字(shz)滤波器。 解 首先按照图6.4.4写出该滤波器的传输函数Ha(s)为 利用(lyng)脉冲响应不变法转换，

35、数字滤波器的系统函数H1(z)为 共一百九十四页 利用(lyng)双线性变换法转换，数字滤波器的系统函数H2(z)为 H1(z)和H2(z)的网络结构分别(fnbi)如图6.4.5(a),(b)所示。图6.4.5 例6.4.1图H1(z)和H2(z)的网络结构 (a)H1(z); (b)H2(z) 共一百九十四页 下面我们总结利用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波器的步骤。 (1)确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率p、通带衰减p、阻带(z di)截止频率s、阻带衰减s。 (2)将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标（脉冲响应不变法）。 如果(rgu)采用双线性变换法，边

36、界频率的转换关系为共一百九十四页 (3)按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器。 (4)将模拟滤波器Ha(s)，从s平面(pngmin)转换到z平面，得到数字低通滤波器系统函数H(z)。 例6.4.2 设计低通数字滤波器，要求在通带内频率低于0.2 rad时，容许幅度误差在1dB以内；在频率0.3到之间的阻带衰减大于15dB。指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器。试分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计滤波器。共一百九十四页 用双线性变换法设计(shj)数字低通滤波器。 数字低通技术指标仍为 p=0.2rad,p=1dB; s=0.3rad,s=15dB 模拟低通的技术指标为共一百九十

37、四页 设计(shj)巴特沃斯低通滤波器。阶数N计算如下： 取N=6。为求c,将s和s代入(6.2.18)式中，得到c=0.7662rad/s。这样阻带技术指标满足要求，通带指标(zhbio)已经超过。共一百九十四页 根据N=6，查表6.2.1得到(d do)的归一化传输函数Ha(p)与脉冲响应不变法得到的相同。为去归一化，将p=s/c代入Ha(p)，得实际的Ha(s)， 用双线性变换法将Ha(s)转换成数字滤波器H(z)：共一百九十四页用脉冲响应不变法设计(shj)IIR数字低通滤波器 模拟滤波器按双线性变化法转换为数字滤波器，采用的函数为 Bz, Az = bilinear (B, A, F

38、s) 其中B和A分别为模拟滤波器冲激响应函数H(s)的分子和分母(fnm)系数向量，Fs为采样频率，Bz和Az分别对应数字滤波器系统函数H(z)的分子和分母系数向量。共一百九十四页6.5 数字(shz)高通、带通和带阻滤波器的设计 例如高通数字滤波器等。具体设计(shj)步骤如下： (1) 确定所需类型数字滤波器的技术指标。 (2) 将所需类型数字滤波器的技术指标转换成所需类型模拟滤波器的技术指标，转换公式为 共一百九十四页 (3)将所需类型模拟滤波器技术指标转换成模拟低通滤波器技术指标(具体转换(zhunhun)公式参考本章6.2节)。 (4)设计模拟低通滤波器。 (5)将模拟低通通过频率变

39、换，转换成所需类型的模拟滤波器。 (6)采用双线性变换法，将所需类型的模拟滤波器转换成所需类型的数字滤波器。共一百九十四页 例6.5.1 设计一个数字高通滤波器，要求通带截止频率p=0.8rad，通带衰减(shui jin)不大于3dB，阻带截止频率s=0.44rad,阻带衰减不小于15dB。希望采用巴特沃斯型滤波器。 解 (1)数字高通的技术指标为 p=0.8rad,p=3dB; s=0.44rad,s=15dB共一百九十四页 (2) 模拟(mn)高通的技术指标计算如下： 令T=1，则有(3)模拟低通滤波器的技术指标计算(j sun)如下：共一百九十四页 将p和s对3dB截止频率c归一化，这

40、里c=p, (4)设计归一化模拟(mn)低通滤波器G(p)。模拟低通滤波器的阶数N计算如下：共一百九十四页 查表6.2.1，得到归一化模拟(mn)低通传输函数G(p)为 为去归一化，将p=s/c代入上式得到(d do)： (5) 将模拟低通转换成模拟高通。将上式中G(s)的变量换成1/s，得到模拟高通Ha(s)： 共一百九十四页 (6)用双线性变换法将模拟(mn)高通H (s)转换成数字高通H(z)：实际上(5)、(6)两步可合并(hbng)成一步，即共一百九十四页 例6.5.2设计一个数字带通滤波器，通带范围为0.3rad到0.4rad，通带内最大衰减为3dB，0.2rad以下和0.5rad

41、以上(yshng)为阻带，阻带内最小衰减为18dB。采用巴特沃斯型模拟低通滤波器。 解 (1)数字带通滤波器技术指标为 通带上截止频率 u=0.4rad 通带下截止频率 l=0.3rad共一百九十四页 阻带上截止频率 s2=0.5rad 阻带下截止频率 s1=0.2rad 通带(tn di)内最大衰减p=3dB，阻带内最小衰减s=18dB。 共一百九十四页 (2) 模拟(mn)带通滤波器技术指标如下： 设T=1，则有(通带中心(zhngxn)频率) (带宽) 共一百九十四页 将以上(yshng)边界频率对带宽B归一化，得到 u=3.348,l=2.348; s2=4.608,s1=1.498;

42、 0=2.804 (3) 模拟归一化低通滤波器技术指标： 归一化阻带截止频率归一化通带截止频率p=1p=3dB,s=18dB共一百九十四页 (4) 设计(shj)模拟低通滤波器：查表6.2.1，得到(d do)归一化低通传输函数G(p),共一百九十四页 (5) 将归一化模拟低通转换成模拟带通： (6)通过双线性变换法将Ha(s)转换成数字带通滤波器H(z)。下面(xi mian)将(5)、(6)两步合成一步计算：共一百九十四页 将上式代入(5)中的转换(zhunhun)公式，得将上面(shng min)的p等式代入G(p)中，得 共一百九十四页6.3 用脉冲响应不变法设计(shj)IIR数字低

43、通滤波器 为了保证转换后的H(z)稳定且满足技术要求，对转换关系提出(t ch)两点要求： (1) 因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。s平面的左半平面映射到z平面的单位圆内。 (2)数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响，s平面的虚轴映射z平面的单位圆，相应的频率之间成线性关系。共一百九十四页 设模拟(mn)滤波器的传输函数为Ha(s),相应的单位冲激响应是ha(t) 设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点，且分母(fnm)多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将Ha(s)用部分分式表示： (6.3.1) 式中si为Ha(s)的单阶极点。将Ha(s)进行逆拉氏变换得到ha(t)：

44、(6.3.2) 共一百九十四页 式中u(t)是单位(dnwi)阶跃函数。对ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到： (6.3.3)对上式进行(jnxng)Z变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)： (6.3.4)设ha(t)的理想采样信号用 表示，共一百九十四页 对 进行拉氏变换(binhun)，得到: 式中ha(nT)是ha(t)在采样点t=nT时的幅度(fd)值，它与序列h(n)的幅度值相等，即h(n)=ha(nT)，因此得到: (6.3.5) 共一百九十四页 上式表示(biosh)采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系可用下式表示： 我们知道模拟信号ha(t)的傅里叶

45、变换Ha(j)和其采样信号 的傅里叶变换 之间的关系满足(1.5.5)式，重写如下：(6.3.6) 共一百九十四页将s=j代入上式，得由(6.3.5)式和(6.3.8)式得到(d do):(6.3.7) (6.3.8) (6.3.9) 共一百九十四页 上式表明将模拟信号ha(t)的拉氏变换在s平面上沿虚轴按照周期s=2/T延拓后，再按照(6.3.6)式映射关系，映射到z平面上，就得到H(z)。(6.3.6)式可称为标准(biozhn)映射关系。下面进一步分析这种映射关系。设按照(nzho)(6.3.6)式，得到:因此得到:(6.3.10) 共一百九十四页 那么 =0,r=1 0,r0,r1 另

46、外，注意到z=esT是一个(y )周期函数，可写成为任意(rny)整数共一百九十四页图6.3.1 z=esT,s平面(pngmin)与z平面之间的映射关系共一百九十四页图6.3.2 脉冲响应不变法的频率(pnl)混叠现象共一百九十四页 假设 没有频率混叠现象，即满足(mnz) 按照(6.3.9)式，并将关系式s=j代入，=T，代入得到： 令共一百九十四页 一般(ybn)Ha(s)的极点si是一个复数，且以共轭成对的形式出现，在(6.3.1)式中将一对复数共轭极点放在一起，形成一个二阶基本节。如果模拟滤波器的二阶基本节的形式为极点(jdin)为(6.3.11) 可以推导出相应的数字滤波器二阶基本

47、节(只有实数乘法)的形式为 (6.3.12) 共一百九十四页 例6.3.1 已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为 用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z)。 解 首先将Ha(s)写成部分(b fen)分式：极点(jdin)为那么H(z)的极点为共一百九十四页按照(6.3.4)式，并经过(jnggu)整理，得到 设T=1s时用H1(z)表示，T=0.1s时用H2(z)表示，则 转换时，也可以直接(zhji)按照(6.3.11),(6.3.12)式进行转换。首先将Ha(s)写成(6.3.12)式的形式，如极点s1,2=1j1,则共一百九十四页再按照(nzho)(6.3.14)

48、式，H(z)为共一百九十四页图6.3.3 例6.3.1的幅度(fd)特性不同采样频率对转换结果的影响共一百九十四页6.4 用双线性变换法设计(shj)IIR数字低通滤波器 为消除频谱混叠现象，用正切变换实现(shxin)频率压缩： (6.4.1) 式中T仍是采样间隔，当1从-/T经过0变化到/T时，则由-经过0变化到+，实现了s平面上整个虚轴完全压缩到s1平面上虚轴的/T之间的转换。这样便有(6.4.2) 共一百九十四页 再通过(tnggu) 转换到z平面上，得到：(6.4.3) (6.4.4) 共一百九十四页 下面(xi mian)分析模拟频率和数字频率之间的关系。 图6.4.1 双线性变换

49、法的映射(yngsh)关系共一百九十四页 令s=j,z=e j，并代入(6.4.3)式中，有(6.4.5) 图6.4.2 双线性变换法的频率(pnl)变换关系共一百九十四页图6.4.3 双线性变换法幅度和相位特性(txng)的非线性映射共一百九十四页 设 将上面第二式整理成第三式当阶数较高时是件比较困难的事，当阶数较低时，可以查询已有的表格(biog)。如下：共一百九十四页 表6.4.1 系数(xsh)关系表 共一百九十四页共一百九十四页 例6.4.1试分别用脉冲响应不变法和双线性不变法将图6.4.4所示的RC低通滤波器转换成数字滤波器。 解 首先按照图6.4.4写出该滤波器的传输(chun

50、sh)函数Ha(s)为 利用脉冲响应不变法转换，数字(shz)滤波器的系统函数H1(z)为 共一百九十四页 利用(lyng)双线性变换法转换，数字滤波器的系统函数H2(z)为 H1(z)和H2(z)的网络结构分别(fnbi)如图6.4.5(a),(b)所示。图6.4.5 例6.4.1图H1(z)和H2(z)的网络结构 (a)H1(z); (b)H2(z) 共一百九十四页 下面我们总结利用模拟(mn)滤波器设计IIR数字低通滤波器的步骤。 (1)确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率p、通带衰减p、阻带截止频率s、阻带衰减s。 (2)将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标（

51、脉冲响应不变法）。 如果采用(ciyng)双线性变换法，边界频率的转换关系为共一百九十四页图6.4.6例6.4.1 图数字(shz)滤波器H1(z)和H2(z)的幅频特性及T的影响 共一百九十四页 (3)按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器。 (4)将模拟滤波器Ha(s)，从s平面转换(zhunhun)到z平面，得到数字低通滤波器系统函数H(z)。 例6.4.2 设计低通数字滤波器，要求在通带内频率低于0.2 rad时，容许幅度误差在1dB以内；在频率0.3到之间的阻带衰减大于15dB。指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器。试分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计滤波器。共一百九十四

52、页 解 (1) 用脉冲响应不变法设计数字(shz)低通滤波器。 数字低通的技术指标为 p=0.2rad,p=1dB; s=0.3rad,s=15dB 模拟低通的技术指标为 T=1s,p=0.2rad/s,p=1dB; s=0.3rad/s,s=15dB共一百九十四页 设计(shj)巴特沃斯低通滤波器。先计算阶数N及3dB截止频率c。 共一百九十四页 取N=6。为求3dB截止频率c,将p和p代入(6.2.17)式，得到c=0.7032rad/s，显然此值满足通带技术要求，同时给阻带衰减留一定余量(y lin)，这对防止频率混叠有一定好处。 根据阶数N=6，查表6.2.1，得到归一化传输函数为 为

53、去归一化，将p=s/c代入Ha(p)中，得到实际(shj)的传输函数Ha(s), 共一百九十四页 用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成H(z)。首先将Ha(s)转变成部分分式，并按照(6.3.11)式、(6.3.12)式，或者(huzh)(6.3.13)式和(6.3.14)式，得到：共一百九十四页图6.4.7 例6.4.2图用脉冲响应不变法设计的数字低通滤波器的幅度(fd)特性共一百九十四页 (2) 用双线性变换法设计数字(shz)低通滤波器。 数字低通技术指标仍为 p=0.2rad,p=1dB; s=0.3rad,s=15dB 模拟低通的技术指标为共一百九十四页 设计(shj)巴特沃斯低通滤波

54、器。阶数N计算如下： 取N=6。为求c,将s和s代入(6.2.18)式中，得到c=0.7662rad/s。这样阻带技术指标满足要求，通带指标(zhbio)已经超过。共一百九十四页 根据N=6，查表6.2.1得到的归一化传输(chun sh)函数Ha(p)与脉冲响应不变法得到的相同。为去归一化，将p=s/c代入Ha(p)，得实际的Ha(s)， 用双线性变换法将Ha(s)转换成数字滤波器H(z)：共一百九十四页图6.4.8 例6.4.2图用双线性变换法设计(shj)的数字低通滤波器的幅度特性共一百九十四页6.5 数字(shz)高通、带通和带阻滤波器的设计 例如高通数字(shz)滤波器等。具体设计步

55、骤如下： (1) 确定所需类型数字滤波器的技术指标。 (2) 将所需类型数字滤波器的技术指标转换成所需类型模拟滤波器的技术指标，转换公式为 共一百九十四页 (3)将所需类型模拟滤波器技术指标转换成模拟低通滤波器技术指标(具体转换公式参考(cnko)本章6.2节)。 (4)设计模拟低通滤波器。 (5)将模拟低通通过频率变换，转换成所需类型的模拟滤波器。 (6)采用双线性变换法，将所需类型的模拟滤波器转换成所需类型的数字滤波器。共一百九十四页 例6.5.1 设计(shj)一个数字高通滤波器，要求通带截止频率p=0.8rad，通带衰减不大于3dB，阻带截止频率s=0.44rad,阻带衰减不小于15dB。希望采用巴特沃斯型滤