2.1.1函数的概念和图象 (3)

1、21.1函数的概念和图象第1课时函数的概念和定义域学习目标1.理解函数的概念(难点)；2.了解构成函数的要素(重点)；3.会求一些简单函数的定义域和函数值(重点)预习教材P2325的例2，完成下面问题：知识点一函数的概念设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为yf(x)，xA.其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数yf(x)的定义域【预习评价】试用函数的定义判断下列对应是不是函数？(1)f：求周长，A三角形，BR；(2)x123y321；(3)x123y111；(4)x111

2、y123；(5)x123y12.提示(1)不是，因为集合A不是数集(2)是对于数集A中的每一个x，在数集B中都有唯一确定的y和它对应(3)是对于数集A中的每一个x，在数集B中都有唯一确定的y和它对应(4)不是一个x1，对应了三个不同的y，违反了“唯一确定”(5)不是x3没有相应的y与之对应检验两个变量之间是否具有函数关系的方法：定义域和对应法则是否给出；根据给出的对应法则，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值y.只有当(1)(2)同时满足时，y才是x的函数知识点二函数的三要素函数的三个要素：定义域，对应法则，值域(1)定义域定义域是自变量x的取值集合有时函数的定义域可以省略

3、，如果未加特殊说明，函数的定义域就是指能使这个式子有意义的所有实数x的集合(2)对应法则对应法则f是核心，它是对自变量x进行“操作”的“程序”或者“方法”，是连接x与y的纽带，按照这一“程序”，从定义域A中任取一个x，可得到值域y|yf(x)且xA中唯一确定的y与之对应(3)值域函数的值域是函数值的集合，通常一个函数的定义域和对应法则确定了，那么它的值域也会随之确定【预习评价】1下列图形可以表示为以Mx|0 x1为定义域，Nx|0 x1为值域的函数是_(填序号)解析根据函数定义任意实数x对应唯一实数y，所以(3)正确答案(3)2函数yeq f(r(x4),|x|5)的定义域为_解析依题意有eq

4、 blcrc (avs4alco1(x40，,x5，)故定义域为x|4x5，或x5答案x|4x5，或x5知识点三函数相等如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，我们就称这两个函数相等【预习评价】下列各组函数中，表示同一函数的是_(填序号)(1)y1，yeq f(x,x)(2)yeq r(x1)eq r(x1)，yeq r(x21)(3)yx，yeq r(3,x3)(4)y|x|，yeq blc(rc)(avs4alco1(r(x)2解析四个表达式中对应法则和定义域均相同的只有(3)，故填(3)答案(3)题型一函数概念【例1】判断下列对应是否为从集合A到集合B的函数(1)AR，By|y0

5、，f：xy|x|；(2)AZ，BZ，f：xyx2；(3)AZ，BZ，f：xyeq r(x)；(4)Ax|1x1，B0，f：xy0.解(1)当取值为0时A中在B中没有对应值，故不是集合A到集合B的函数(2)对于集合A中的任意一个整数x，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数(3)集合A中的负整数没有平方根，在集合B中没有对应的值，故不是集合A到集合B的函数(4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应法则f：xy0在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数规律方法(1)判断一个对应法则是不是函数关系的方法：A，B必须都是非空数集；A中任意一个数

6、在B中有唯一确定的实数和它对应注意：A中元素无剩余，B中元素允许有剩余(2)函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”【训练1】下列对应或关系式中是A到B的函数的有_AR，BR，x2y21；A1,2,3,4，B0,1，对应关系如图：AR，BR，f：xyeq f(1,x2)；AZ，BZ，f：xyeq r(2x1).解析对于，x2y21可化为yeq r(1x2)，显然对任意xA，y值不唯一，故不符合；对于，符合函数的定义；对于，2A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合；对于，1A，但在集合B中找不到与之相对应

7、的数，故不符合答案题型二求函数的定义域【例2】求下列函数的定义域：(1)yeq f(x12,x1)eq r(1x)；(2)yeq f(x1,|x|x).解(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足eq blcrc (avs4alco1(x10，,1x0，)即eq blcrc (avs4alco1(x1，,x1.)所以函数的定义域为x|x1，且x1(2)要使函数有意义，必须满足|x|x0，即|x|x，x0.函数的定义域为x|x0规律方法(1)当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，必须考虑下列各种情形：负数不能开偶次方，所以偶次根号下的式子大于或等于零；分

8、式中分母不能为0；零次幂的底数不为0；如果f(x)由几部分构成，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合；如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况(2)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示【训练2】求下列函数的定义域：(1)yeq f(x10,r(x2)；(2)yeq r(2x3)eq f(1,r(2x)eq f(1,x).解(1)由于00无意义，故x10，即x1.又x20，x2，所以x2且x1.所以函数yeq f(x10,r(x2)的定义域为x|x2，且x1(2)要使函数有意义，需eq blcrc (

9、avs4alco1(2x30，,2x0，,x0，)解得eq f(3,2)x2，且x0，所以函数yeq r(2x3)eq f(1,r(2x)eq f(1,x)的定义域为eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(f(3,2)x0时，求f(a)，f(a1)的值解(1)由eq blcrc (avs4alco1(x30，,x20，)得函数的定义域为3，2)(2，)(2)f(3)1，f(eq f(2,3)eq f(3,8)eq f(r(33),3).(3)当a0时，f(a)eq r(a3)eq f(1,a2)，a1(1，)，f(a1)eq r(a2)eq f(1,a1).

10、能力提升8函数f(x)(xa)2满足：对任意的xR，总有f(1x)f(1x)，则实数a_.解析f(1x)f(1x)即(x1a)2(1ax)2，化简得4(1a)x0恒成立，故a1.答案19函数yeq r(mx22mxm2)的定义域是R，则实数m的取值范围是_解析当m0时，符合题意；当m0时，由题意知mx22mxm20对xR恒成立，则eq blcrc (avs4alco1(m0，,4m24mm20，)解得m0.综上，m0.答案0，)10若函数f(x)ax2eq r(2)，a为一个正常数，且f(f(eq r(2)eq r(2)，那么实数a_.解析f(eq r(2)2aeq r(2)，所以f(f(eq

11、 r(2)f(2aeq r(2)a(2aeq r(2)2eq r(2)，所以a(2aeq r(2)2eq r(2)eq r(2)，a(2aeq r(2)20，因为a0，所以(2aeq r(2)20，所以aeq f(r(2),2).答案eq f(r(2),2)11设f(x)2x22，g(x)eq f(1,x2)，则g(f(2)_.解析f(2)222210，g(f(2)g(10)eq f(1,102)eq f(1,12).答案eq f(1,12)12若函数f(x)的定义域为0,1，求g(x)f(xm)f(xm)(m0)的定义域解由题意得eq blcrc (avs4alco1(0 xm1，,0 xm

12、1，)即eq blcrc (avs4alco1(mx1m，,mx1m.)m0，mm,1m1m，而m与1m大小不定，对m与1m的大小讨论如下：若m1m，即meq f(1,2)，则xmeq f(1,2)；若m1m，即meq f(1,2)，则mx1m；若m1m，即meq f(1,2)，则x，与题意不符，故m不可能大于eq f(1,2).综上所述，当0meq f(1,2)时，所求定义域为x|mx1m当meq f(1,2)时，函数g(x)不存在13(选做题)(1)已知f(x)的定义域为0,1，求函数f(x21)的定义域；(2)已知f(2x1)的定义域为0,1，求f(x)的定义域；(3)已知函数yf(x)的定义域为0,2，求函数g(x)eq f(f2x,2x1)的定义域解(1)f(x21)中的x21的范围与f(x)中的x的取值范围相同0 x211，x0，即f(x21)的定义域为0(2)由题意知f(2x1)中，x0,1，12