高等几何复习17-18-1

1、高等几何复习题一、填空题 TOC o 1-5 h z 1、平行四边形的仿射对应图形为：平行四边形；2、线坐标(1,2,1)的直线的齐次方程为：X1+2X2+X3=0 ；3、直线3x1 +2x2 =0上的无穷远点坐标为：(2,-3,0);4、设(AB,CD尸2,则点偶 AC调和分割点偶BD ;5、两个射影点列成透视的充要条件是保持公共元素不变；6、写出德萨格定理的对偶命题：三线形对应边的交点共线，则对应点连线共点。7、两个线束点列成透视的充要条件是底的交点自对应 _ *8、求射影变换72 -2九+1 =0的自对应兀素的参数19、平面上4个变换群，射影群、仿射群、相似群、正交群的大小关系为： 射影

2、群包含仿射群，仿射群包含相似群，相似群包含正交群。10、二次曲线的点坐标方程为 4X1X3 -x2 = 0 ,则其线坐标方程为是U1U3 -u2 = 0.11、经过一切透视仿射不改变的性质和数量，称为仿射不变性和仿射不变量.12、共线三点的简比是 仿射不变量. TOC o 1-5 h z 13、平面内三对对应点(原象不共线，映射也不共线 )决定唯一仿射变换. 2x -1 114、已知OX轴上的射影变换式为 X =,则原点的对应点 x 3322,一 、一一15、Ui -U2 =0 代表点 (1,1,0)、(1,-1,0)的万程.16、ABCD为平行四边形，过 A弓I AE与对角线BD平行，则 A

3、(BC,DE)=-匚17、对合由两对不同的对应元素唯一决定.18、二阶曲线就是两个射影线束对应直线交点的全体.2219、万程 U1 -5u1u2 +6u2 =0表本的图形坐标(1,2,0)(1,3,0)20、罗巴切夫斯基平面上既不相交，又不平行的两直线叫做分散 直线.21、平行四边形的仿射对应图形为：平行四边形：22、直线X1 +5x2 =0上无穷远点坐标为：(5, -1 ： 0)23、已知(l/z,%) =3,则(?3,12L)=3 ,(IiLLI)=-224、过点A(1, -i ,2)的实直线的齐次方程为：2X1 -X3 =025、两个不同中心的射影对应线束对应直线的交点构成一条二阶 曲线

4、.26、不在二阶曲线 C上的点P关于C的调和共轲点的轨迹是一条直线，称为P的 极 线.、选择1、下列哪个图形是仿射不变图形？( D )A.圆，B.直角三角形,C.矩形，D.平行四边形222、u1 +2u1u2-8u2=0 表不（C ）A.以-1/4为方向的无穷远点和以1/2为方向的无穷远点,B.以-4为方向的无穷远点和以2为方向的无穷远点，C.以4为方向的无穷远点和以-2为方向的无穷远点，D.以1/4为方向的无穷远点和以-1/2为方向的无穷远点. TOC o 1-5 h z 3、两个不共底且不成透视的射影点列至少可以由几次透视对应组成？（ B ）A.一次，B.两次，C.三次，D.四次.4、下面

5、的名称或定理分别不属于仿射几何学有（A ）:A.三角形的垂心，B.梯形，C.平面内无三线共点的四线有六个交点，D.椭圆5、二次曲线按射影分类总共可分为（B ）A.4 类， B.5 类，C.6 类， D.8 类6、设 Py）, P2（-1）, F3（g）为共线三点，则（PF2P3）= A .7、8、A.1 , B.2 , 已知共线四点A.-4 ,B-3,若共点四直线A.1 , B.2 ,C.3,D.4A、B、C、D 的交比(AB, CD)=2 ,则(CA , BD)= DC.-2,D.-1a,b,c,d 的交比为(ab,cd)=-1 ,则交比(ad,bc)= B .C.3,D.4 TOC o 1

6、-5 h z 9、点坐标为（1,0,0）的方程是AA.u 1=0, B. u2=0, C. u2=0 ,D. u4=010、证明公理体系的和谐性常用_C_ .A.公理法，B.反证法，C.模型法， D.演绎法11、一点列到自身的两射影变换，其中为对合的是BA.1t 2, 2T 3, 3T 4； b.0t 1, 2T 3, 1t 0C.1t 3, 2t 1, 3T 4；D.0t 1 , 2T 3, 1t 212、下列哪个名称或命题属于射影几何学（C ）A.三角形三条高线共点，B.直角三角形，C. Desargues定理，D.梯形.13、满足条件（C ）的一维射影变换必为对合变换.A.有一个自对应点

7、， B.有两个自对应点，C.有两个合点， D.有三个对合点.14、一维射影变换f如果满足f-1=f,则称之为（A ）变换.A.对合，B.简单，C.线性，D.非奇.三、判断 TOC o 1-5 h z 1、仿射对应不一定保持二直线的平行性.（X ）2、两直线能把射影平面分成两个区域.（，）3、当正负号任意选取时，齐次坐标（1,1,1）表示两个相异的点.（X）4、若一维射影变换的一对对应元素（非自对应元素）符合对合条件，则它一定是对合5、配极变换是一种非奇线性对应.（，）6、共线四点的交比是仿射不变量.（，）7、平行四边形的射影对应映像仍然是平行四边形.（X ）8、直线 2xi -X2 +X3 =

8、0 上的三点 A(1,3,1),B(2,5,1),C(1,2,0)的单比(ABC尸 0. ( x )9、共线三点的简比是射影不变量.（x ）10、Desargues定理是自对偶命题.（X）11、二直线所成角度是相似群不变量.（，）12、二维射影对应有 3对对应点口t 一确定.（X）13、若交比（P1P3, P2P4）=2,则（P1P2, P3P4）=-1.（ V）14、一维射影变换如果有一个自对应点则必定为对合变换.（X ）四、计算、作图1、求点（1,-1,0）关于二阶曲线2223xi +5x2 +X3 +7x1X2 +4x1X3 +5x2X3 =0 的极线万程.解：极线方程一 37 / 22

9、T-xJ(1,-1,0)7/255/2 x2 =0,即 X1 +3x2+x3 = 0- 25/213_2、求仿射变换式使直线 x+2y1 = 0上的每个点都不变，且使点(1,-1)变为(-1,2).解：设所求仿射变换为xr = a1x + b1y +gy =a2x +b2y + c2在已知直线x+2y-1=0上任取两点，例如取 （1,0）、（3,-1）,在仿射变换下，此二点不变。而点（1,-1）变为（-1,2）,把它们分别代入所设仿射变换式，得% +G =13al -b1 +g =3,% +c2 =032 -b2 +c2 = -11-1 -h +c1 = 1 g2 -b2 +c2 =2由以上方

10、程联立解得:故所求的仿射变换为:%=2, b1 =2, c1 =-1,、工 2 = -22b2 =-2,3 c2=2xH=2x +2y -1, 3x3y 二-2y ,224、求对合对应，使得3, 5分别对应与 2,1.题四5图以1 = ”3、求射影变换 伏2 = X2的固定元素。以3 =X3|( -1-U)Xi - 0解：固定元素的方程为 (1 -u)x2 =0 ,特征方程为1 U)X3 =0解得 u=1 , u = -1.将u = -1代入固定点方程组，即得固定点为 （1,0,0）将u=1代入固定点方程组，得 X1=0这一点列上的每一点都是固定点。解：设所求变换为 kx =Ax,则A=ab

11、-a c-k2 I 1k2 ：1j TOC o 1-5 h z 2k1k2352k1k2I 35 112k1=A,解得 A=-kik2111_kik2 111_2 k1 1-2灯k22 - k1k210k15k1- 3k23k2由于-2k+k2= 3k2-5k1,所以，可取 k1=8, k2=14,从而得 A =11111,即所求变换为-x 11x 15、已知线束中三直线a,b,c,求作直线d,使(ab,cd)= -1.(画图，写出作法过程和根据)作法过程：.设a,b,c交于点A,在c上任取一点 C,.过C点作两直线分别与 a交于B、巳与b交于F, D,. BD与EF交于G ,. AG即为所求

12、的d. TOC o 1-5 h z 根据：完全四点形的调和共轲性.6、 平面上经过A(-3,2)和B(6,1)两点的直线被直线 x+3y-6=0截于P点，求单比(ABP)解：设P点的坐标为(x0,y。)，:(ABP)=AP=空=九(分割比)，而：x0=3且，丫。=生匕且P在直线x+3y-6=0上,、7 BP PB01 , 701 ， 2)+3(21上)_6=0,解得入=1即P是AB中点，且(ABP) = -1.1 7、已知仿射平面上直线 L的非齐次坐标方程为 x-2y+1=0,求L的齐次坐标方程；(2) L上无穷远点的坐标；(3) L上无穷远点的方程。 Xi-2x2+X3=0(2) (1,1/

13、2,0)(3) 5 工=028、在直线上取笛氏坐标为2,0,3的三点作为射影坐标系的P*,Po,E, (i)求此直线上任一点 P的笛氏坐标x与射影坐标 入的关系；(ii)问有没有一点，它的两种坐标相等？解：(i)由定义入=(P*Po, EP) = (2 0, 3x) =(3-2)(x-0) TOC o 1-5 h z (x-2)(3-0)3x-6Y1 0故：九=,且=6#03x -63 6(ii)若有一点它的两种坐标相等，即 乂=入则有*=,即3x27x=0,3x-6当x=0及x= 7时两种坐标相等。39、求点列上的射影变换， 它将参数为1,2,3的点分别变为参数为 1,3,2的点，并求出此射

14、影变换的自对 应元素的参数。解：设射影变换的方程为：a，jJ + b，u+c，J + d=0,由题意知：a+b + c + d=0,6a+2b+3c+d =0,6a+3b+2c+d=0 ,得至k a:b:c:d=3:5:5:7故射影变换方程为：3, . -5. -5 7 =0重元素满足：37J_10九+7=0 得力.=7/3或K=110、求由两个射影线束 Xi，幺3=0, X2九%=0, 3儿婷=0所构成的二阶曲线的方程。解:由题意 T=3九，x2 3x3 =0，由上式得 九=工=上,故所求方程即为3x1x3-x2x3 = 0.3X3X32211、求直线 3x1 -x2 +6x3=0 关于 x

15、1 +x2 2x1x2+2 x1x3-6 x2x3=0 之极点。一1解：设P0(x0,x2,x0)为所求，则-1x0 一 x0 + x0 =3解线性方程组Jx0 +x2 - 3x0 = -100 x1 - x2 =6I即(3,-1,-1)为所求极点的坐标.-11-31 父1-3 x0 00予1一3-1-6 J20 0 0得 x1 = 3, x2 - -1, x3 - -1,12、求直线x- 2y+3=0上无穷远点的坐标。解：化为齐次式x1- 2x2+3x3=0，以 x3=0 代入1得 x2x2=0,x1=2x2 或x2= - x1无穷远点坐标为(2, 1, 0)、 x =7x y 113、求仿

16、射变换jy-x+2y+4的不变点解:, x = 7x -y , 1由 工工得y =4x 2y 46x - y -14x y 41解此万程，得不变点为 （一金,）14、求四点(2, 1, -1), (1, -1, 1), (1, 0, 0), (1, 5, -5)顺这次序的交比 解：以(2, 1, -1)和(1, -1, 1)为基底，则(2, 1 , - 1)+ 四(1,- 1,1)相当于(1, 0, 0).2 _ -1 L100得 M = 1又(2, 1, - 1)+ 以1,- 1,1)相当于(1,5,- 5)-12得应=所求交比为15、试求二阶曲线的方程,X1-入 3=0 与 X2-九X3=

17、0它是由两个射影线束（7J=上二1）所决定的./.-2解:=2-将X1-入3=0, X2-九1rx3=0中的，入 纭代入（1）得X2X3% -1X3_X1 2X3X1 - X3X1 2X3X2（X1+2X3）- X3（X1- X3）=0,化简，即得所求的二阶曲线方程x1x2 2x2x3 -x1x3 x216、求两对对应元素，其参数为1,0T 2,所确定的对合万程。2解设所求为a 1 +b( + 1 )+d=0将对应参数代入得:1a+(1 + l)b+d=0从中消去a,b,d得即九九+九+皿-2=0为所求17、给定点A、B,作出点C,作法：. (ABC)=ACBCAB延长线上，作点C,18、过定

18、点P,作一条直线,(0+2) b+d=0h n F九九-20使(ABC)=4.AC -BCBCBC= - AB3九十九3223,即=0使通过两条已知直线的不可到达的点作法：（利用代沙格定理）任取线束S,设束中两条直线交 a于A, C, 交b于A, C;连直线PC, PC分别交线束S的第三条直线于 B, B; 直线BA和B A勺交点Q与点P的连线，即为所求的直线.A1A19、如图，求作点 P关于二次曲线r的极线.作法：过P点任引两直线，使与 r分别交于A、B及C、D, 设Q=AC( BD , R=AD BC,那么直线 QR即为所求的极线.20、已知四直线ILD的方程顺次为2x1 - X2 + X

19、3 =0, 3Xi + X2 - 2X3 =0, 7x1 - X2 =0, 5x1 - X3 =0, 求证四直线共点，并求-1-2解：因为-2=0且-10 =0-1-1所以1i，12，13，L共点.四直线与X轴(X2=0)的交点顺次为A(1,0,-2),B(2,0,3),C(0,0,1),D(1,0,5),非齐次坐标为1_ 2_ 1A(- -,0),B( - ,0),C(0,0),D( -,0),所以 (lj,%。= (AB,235CD)=1 1 2(0)(-) d2531=112(0-)() 25221、求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的:X Zx3 =0与x2 九x3 =0

20、且九九一九十2工十1 =.0解：射影对应式为 九九九+2九+ 1 =0。由两线束的方程有：九=&,九=0 ,将它们代入射影对应式并化简得，X1X2 + 2x2x3 -X1X3 + x； = 0.X3X3此即为所求二阶曲线的方程。22、解：k1求射影变换，设所求变换为1使得(1,0,1), (0,1,1), (1,1,1), (0,0,1) kx =Ax,贝 U分别对应(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,1).由于由于k3=A一101【1一10一1k1,故A=k2101k3(0,0,1)对应(1,1,1),故一1-k1 =1k2【0-1k3-1工厂 k31 TOC o

21、 1-5 h z 0-11故 ki=1, k2=1, k3=-1. A= - 101 ,所求变换为1 - 110- 1 1kx，1 101 x1 -1 L23、求一维射影变换，使-1,0,1分别变为0,1,3.解：由于交比不变，所以(-10, 1 x) = ( 01, 3 x).即x=3(x+1)/(3-x).24、叙述下列图形中的点线结合关系及其对偶命题，并画出对偶图形。解：每三点不共线的五个点，两两连线，完全5点形。对偶：每三线不共点的五条线，两两相交，完全 5线形。 ？对偶图形就是自己五、证明题1、设(AB,CD)=(BC,DA)求证(AB,CD)=2. 1证明：(AB,CD)=(BA,

22、 CD)11 -(BC, AD)11 - 1/( BA, DA )1所以 (AB,CD)=1-1/( AB, CD)(AB,CD) =2,证毕.(AB,CD) -1 = 1,2、如图，设FGH是完全四点形ABCD对边三点形，过F的两直线TQ 与SP分另1J交AB, BC, CD, DA于T, S, Q, P.试利用德萨格定理(或 逆定理)证明： TS与QP的交点M在直线GH上。在三点形BTS与三点形DQP中 对应顶点的连线 BD,TQ,SP三线共点，由德萨格定理的逆定理知，对应边的交点BT与DQ的交点G, TS与QP的交点M以及 BS与DP的交点H三点共线，即TSWQP的交点M在直线 GH上3

23、、设P、Q、R、S是完全四点形的顶点,A=PSX QR,B=PRX QS,C=PQX RS,证明题五2图P1RQ :CBiAi=BCXQR,B 1=CAX RP, Ci=ABX PQ 三点共线.证明：在 ABC及4PQR中，. AP、BQ、CR 共点 S.，对应边的交点 C1=ABX PQ,Bi=CAX RP, Ai=BCX RQ 三点共线4、将ABC的每边分成三等份，每个分点跟三角形的对顶相连，这六条线构成一个六边形（图甲），求证它的三双对顶连线共点。证明（按以下程序作业）：第一步：任意两三角形，总存在仿射变换，使其中一个三角形仿射变换为另一三角形。故可将 ABC仿射变换为等边4 A B峭王

24、）。第二步：在图乙中，正三角形的每边三等份， 每一分点跟三角形的对顶相连，这六条线构成一个六边形，第三步：由A作B上的高线A AB是正三角形，由又称性可知K,N在AS上.同理J、M与P也分别在过点B、C所作的高线上，因为AB白C三高线共点，所以六边形JKLM勺NP三对顶点的连线共点.正三角形的垂心和重心是合一的，由于仿射变换构成变换群，且同素性和接合关系以及三角形的重心是仿射不变性，所以原命题也成立题五5图5、叙述Pascal定理的内容并予以证明。定理：内接于二阶曲线的简单六点形，三对对边的交点共线。证明：设简单六点形 A1A2A3A4A5A6 ,其三对对边的交点分别为L,M,N,L= AA2

25、 n a4A5, M= A2A3 n A5A6, n= A3A4 A6A.以A,A3为中心，分别连接其他四点，则由定理得到AdA2 A4A5 A6A3（A2A4A5 A6 ）设 A1A6 nA4A5=P, A5A6nA3A =Q则A A2A4A5A6L,A4,A5P , A3 A2A4A5A6M,Q,A5A6所以，(LAAPKfMQAA ).由于两个点列底的交点 A5TA5,故有L,A4,A5P M,Q,AA所以LM, A4Q, PA6三线共点，但 A4Q n PA6=N,即L,M,N三点共线。6、叙述并证明 Brianchon定理。定理：外切于非退化二级曲线的简单六线形，其三对对顶点的连线共点。9证明：设简单六线形313233343536,其三对对顶的连线分别为l, m, n.l为交点aia2, a4a5的连线，m为A23,A56的连线，n为A 34,a 6i的连线，以用,市为基线，分别与其他四线相交，则由定理得到ai(a2 3435a6)a3(a2a4a5%),设交点ai%与a4a5的连线为p,交点a5a6与a3a4的连线为q,则 94a5 : (a23435a6)(l,a4,a5,p),a5a6 : (a23435a6)(m,q,a5,a6),所以，(l,a4,a5,p)（m,q,a5,a6）,由于