昆明理工大学数值分析上机报告1

1、第 页数值分析实验报告数值积分）姓名：学号：2006202062专业：材料学学院：材料与冶金工程学院授课教师：昆明理工大学06工科硕士数值分析上机实验报告专业：材料学姓名：学号：2006202062任课教师：作业完成实验室：实验成绩：理论描述(10)数值公式(10)程序流程图和程序结构(20)数据和结果(20)讨论(20)源程序(20)总分(100)实验内容：1题目/要求三次样条插值法一、问题提出设已知数据如下:0.20.40.60.81.00.97986520.91777100.80803480.63860920.3843735求f(x)的三次样条插值函数S(x)。二、要求1、满足自然边界条

2、件S(0.2)=SG.0)=0；2、满足第一类边界条件S(0.2)二0.20271，S(1.0)二1.55741。3、打印输出用追赶法解出的弯矩向量(M,M，,M)和014S(0.2+0.1i)(i二0,1,.,8)的值。*并画出y=S(x)的图形*。2.作业环境(包括选用的程序语言、运行环境)程序语言Turbo.C2.0运行环境WINDOWSXP3数学(理论背景)描述某些实际问题，如船体放样与机翼设计，要求插值曲线不仅连续而且处处平滑。甚至要求尽可能采用流线型，使气流沿机翼的表面能形成平滑的流线，以减少空气的阻力。换句话说，所谓光滑插值就是既要分段低次又要保证接头光滑。为适应这类需求，借助曲

3、线板来作图，以保证曲线在接头处的光滑。在工程技术如船体放样中，作图员常用“样条”在指定节点间做光滑曲第2页第 页线。光滑插值就是这类作图方法的数学模拟。因此，这类插值称作样条(Spline)插值。样条插值实际上是一种改进的分段插值，它要求插值函数在各分段的衔接处能保持一定程度的光滑性。既要保持插值函数的导数的连续性。在实际应用中，最常用的是三次样条插值，其定义如下：若函数S(x)eC2la,b,且在每个小区间L,x上是三次多项式，其jj+i中a=xxx=b是给定节点，则称S(x)是节点x,x，,x上的01n01n三次样条函数。若在节点x上给定函数值y二f(xIj=0,1,n)，并成jjj立S(

4、x)=y(j=0,1,n)，则称S(x)为三次样条插值函数。jj4数值计算公式三次样条函数分段插值公式S(x)=(x-x-xi6hi-16hM+(h2xx(h2)y+Mi+y亠Mii1k6.-1丿hiik61丿ix-4-1(1)Sf(x)=(x-x)2i2hi-12h-M)+(2)i-1Sff(x)=x-i(3)，i-1其中2M+aM(1a)M+2M+aM=P101121(1a)M+2M+aMn1n2n1n1naM+2M=卩i01n-1nnn=P0=Pn-1i+1h+h(5)(4)-xj+1ty.1i+1y,h+hh(6)i+15算法程序流程图I利用(5)(6)计算系数a,B,i=1,2,n1

5、iiI用追赶法解方程组(4)得M,M，,M01n判定插值点x所在的分段(x,x)i1iI按公式(1)(2)和(3)计算所求函数值S(x)及其一阶二阶数值导数Sr(x)S)打印S(x)Sf(x)Sff(x)I6程序结构（程序中的函数调用关系图）7实验数据和实验结果（打印或用屏幕图形拷屏表示，可加为附页）x(i)2.00000e-014.00000e-016.00000e-018.00000e-011.00000e+00t(i)2.00000e-013.00000e-014.00000e-015.00000e-016.00000e-017.00000e-018.00000e-019.00000e-

6、011.00000e+00y(i)9.79865e-019.17771e-018.08035e-016.38609e-013.84373e-01z(i)9.79865e-019.68558e-019.17771e-018.59047e-018.08035e-017.59253e-016.38609e-014.25808e-013.84373e-01dy(i)2.02710e-01-5.86877e-01-4.32658e-01-1.86992e+001.55741e+00dz(i)2.02710e-01-3.69665e-01-5.86877e-01-5.68138e-01-4.32658e-

7、01-6.95048e-01-1.86992e+00-1.82864e+001.55741e+00ddy(i)-7.49956e+00-3.96310e-011.93850e+00-1.63111e+015.05844e+01ddz(i)-7.49956e+00-3.94793e+00-3.96310e-017.71095e-011.93850e+00-7.18630e+00-1.63111e+011.71366e+015.05844e+01ProgramExitedSuccessfully!8讨论（包括题目要求的讨论和方法的适用性讨论）凡是用插值方法解决的问题，只要遇到高次插值都可以用三次样

8、条插值来降低次数，达到增强精确度加强实用性的目的。在插值中，拉格朗日给出了插值曲线的函数表达式。但是，当插值结点增多时，得到的插值曲线是高次的。这不仅增大了计算量，还影响结果的精确度。所以这种高次插值曲线不适合于实际应用。通常用分段的低次插值方法也能降低插值曲线的次数，使问题简化。但是分段插值的缺点是，各个分段衔接的连接点处不能保证曲线的光滑性。三次样条插值正是用来改变这种状况的一种改进的分段低次插值法，它保证了连接点的光滑性，即三次样条插值函数的导数连续。某些实际问题，如船体放样与机翼设计，要求插值曲线不仅连续而且处处光滑。甚至要求尽可能采用流线型，使气体沿机翼的表面能形成平滑的流线，以减少空气的阻力。这本身就要求光滑插值，也就是既要分段低次又要保证接头光滑。三次样条插值函数正是适应于这类需求。因为它来源于这种作图的数学模型：使用曲线板作图，以保证曲线在接头处的光滑。工程技术如船体放样中，作图员常用“样条”在指定结点间作光滑曲线。光滑插值就是这类作