概率统计第3章多维随机变量及其分布

1、第三章 多维随机变量及其分布二维随机变量联合分布和边缘分布函数二维离散型随机变量联合分布律和边缘分布律相互独立的随机变量二维连续型随机变量联合概率密度和边缘概率密度二维随机变量的概念二维随机变量的联合分布函数及其性质二维随机变量的边缘分布函数第一节 二维随机变量的分布函数定义1：设随机试验的样本空间是设和是定义在上的随机变量，则它们构成的一个向量称为二维随机变量或二维随机向量。一、二维随机变量的概念 例：抛掷硬币3次，记 X 为正面出现的次数，Y为正面与反面出现的次数之差的绝对值，可能取值对于是二维随机变量 定义2:设是二维随机变量，对于任意实数二元函数称为二维随机变量的分布函数，或联合分布函

2、数。 二、联合分布函数二维分布函数的几何意义处的函数值:在随机点落在以为顶点的左下方矩形开域上的概率。所以性质： 是变量和的不减函数，即对任意固定的，当时，对任意固定的，当时， 关于右连续，即三、边缘分布函数 的分布函数为分别设的边缘分布函数。 则的分布函数为记和，称为关于和同理可得注：已知联合分布，可以求解 X , Y 的边缘分布。例1. 设的分布函数为求常数的值及概率【解】 由分布函数的性质得典型例题分析1.已知联合分布函数，求解未知参数和区域概率【解】的边缘分布函数为关于例2:已知的分布函数为的边缘分布函数和求关于问各服从什么分布？同理，2.已知联合分布函数，求解边缘分布函数二维离散型随

3、机变量的概念二维离散型随机变量的联合分布律及其性质二维离散型随机变量的边缘分布律第二节 二维离散型随机变量的概率分布二维离散型随机变量的独立性定义:若二维随机变量的所有可能取值是有限对或可列无限多对时，则称为离散型随机变量。一、二维离散型随机变量的联合分布律。则称(1)式为二维随机变量满足：二、 离散型随机变量的边缘分布律 设的联合分布律为则关于的边缘分布律为记做记做同理通常用以下表格表示的分布律和边缘分布律典型例题分析1.求古典概型中二维随机变量的分布律例1:箱内有6个球,其中红、白、黑球分别为1,2,3个，现从箱中随机的取出2球，记 X 为取出的红球的个数，Y为取出的白球的个数，求（X,Y

4、）的联合分布。【解】随机变量可能取值为0,1；可能取值为0,1,2；所以随机变量（X ,Y）的联合分布律为随机变量X ,Y 的边缘分布律为 例2.一袋中有四个球,上面分别标有数字1,2,2,3.从袋中任取一球后不放回,再从袋中任取一个球,以分别表示第一、二次取得的球上标有的数字，求的分布律。【解】可能取值均为1,2,3.同理可得所以的分布律为 0 1/6 1/12 1/6 1/6 1/6 1/12 1/6 0 1 2 3 1 2 32.已知边缘分布律，求解联合分布律【解】由题意可知即例3:设随机变量且，则于是可得 下面将填写分布律表格所以作业（1）(X,Y)的联合分布律；设随机变量且，求（2）

5、3.已知随机变量的概率分布，求函数的联合分布律【解】由题意可知的可能取值对为于是例4:设随机变量求的联合分布律和边缘分布律。，记 于是联合分布律和边缘分布律为事实上，边缘分布率还可以直接求解同理可得三、两个随机变量的独立性定义：若二维随机变量的分布律满足（1）联合分布律为边缘分布律的乘积，即或（2）记联合分布矩阵若矩阵两行或两列对应成比例，即则随机变量 X 与 Y 相互独立.例5:设随机变量相互独立，试确定其余值？【解】因为相互独立，则两行或两列对应成例，即首先，解得解得又由归一性可得，同时满足解得二维连续型随机变量的概念二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质二维连续型随机变量的边缘概率密度

6、第三节 二维连续型随机变量的概率分布二维连续型随机变量的独立性定义:设二维随机变量的分布函数为若存在使得对任意实数总有则称为二维连续型随机变量,称为的概率密度,或称为随机变量和的联合概率密度。一、二维连续型随机变量若在点连续，则有,即连续型随机变量在某点的概率为0。G 表示xOy平面上的区域,落在此区域上的概率相当于以G为底,以曲面为顶的曲顶柱体体积。注：f (x , y) 的性质:于是设 为有效函数，为有效区域。（1）X 型区域表示Y 型区域表示（归一性）（2）同时注意有效区域的表示注：称二、连续型随机变量的边缘概率密度若是二维连续型随机变量,其概率密度为则:同理（关于Y 的边缘概率密度）事

7、实上，（关于X 的边缘概率密度）已知联合概率密度求解边缘概率密度的难点为：若的联合概率密度的有效区域 D 可以表示为（2）自变量的有效区间积分表达式上下限（1）三、常见连续型分布1.均匀分布2.二元正态分布例1:设二维随机变量的概率密度试求：常数的值；(2) 概率【解】 由概率密度的性质得,从而得典型例题分析1.已知概率密度求解未知参数，或区域概率。（2）将看作平面上随机点的坐标，有作业:设二维随机变量的概率密度为则(X , Y)服从的概率密度为例2:设二维随机变量为区域 D 上的均匀分布，,则其中【解】则【解】例3.上服从均匀分布,密度的概率密度为xy012.已知联合概率密度，求解边缘概率密度函数xy01y=x区域 G 用 Y 型区域表示为于是 Y 的边缘概率密度函数为【解】例4:已知, 求边缘概率密度函数.区域 D 用 X 型区域表示为于是 X 的边缘概率密度函数为区域 D 用 Y 型区域表示为于是 Y 的边