新沪教版七年级下册数学（全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习）（基础版）（家教、补习、复习用）

1、沪教版初一数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习平方根和开平方（基础） 【学习目标】1了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根2了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1.平方根的定义如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算. 2.算术平方根的定义正数的两个平方根可以用“”表示，其中表示的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号”；表示的负平方根，读作“负根号”.要点诠释：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即0，0.要点二、平方根和算术

2、平方根的区别与联系1区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和2联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.要点三、平方根的性质要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、下列说法错误的是（）A

3、.5是25的算术平方根 B.l是l的一个平方根 C.的平方根是4 D.0的平方根与算术平方根都是0 【答案】C；【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项A.因为5，所以本说法正确；B.因为1，所以l是l的一个平方根说法正确；C.因为4，所以本说法错误；D.因为0，0，所以本说法正确；【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题举一反三：【变式】判断下列各题正误，并将错误改正： （1）没有平方根（ ）（2）（ ）（3）的平方根是（ ）（4）是的算术平方根（ ）【答案】 ； ； ， 提示：（2）；（4）是的算术平方根2、 填空：（1）是 的负平方根

4、（2）表示 的算术平方根， （3）的算术平方根为 （4）若，则 ，若，则 【思路点拨】（3）就是的算术平方根，此题求的是的算术平方根. 【答案与解析】(1)16；(2) (3) (4) 9；3【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.举一反三：【变式1】下列说法中正确的有（ ）：3是9的平方根 9的平方根是34是8的正的平方根是64的负的平方根A1个 B2个 C3个 D4个【答案】B；提示：是正确的.【变式2】（2015凉山州）的平方根是 【答案】3.解：因为=9，9的平方根是3，所以答案为3.3、使代数式有意义的的取值范围是_ 【答案】；【解析】10，解

5、得.【总结升华】当式子有意义时，一定表示一个非负数，即0，0.举一反三：【变式】代数式有意义，则的取值范围是 【答案】.类型二、利用平方根解方程4、（2015春鄂州校级期中）求下列各式中的x值，（1）169x2=144 （2）（x2）236=0【思路点拨】（1）移项后，根据平方根定义求解；（2）移项后，根据平方根定义求解【答案与解析】解：（1）169x2=144， x，x=，x=.（2）（x2）236=0， （x2）2=36， x2=，x2=6，x=8或x=4【总结升华】本题考查了平方根，注意一个正数的平方根有两个，他们互为相反数类型三、平方根的应用5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是

6、宽的3倍，面积是1323平方米求长和宽各是多少米？【答案与解析】解：设宽为，长为3， 由题意得，31323 31323 21(舍去)答：长为63米，宽为21米.【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.沪教版初一数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习【巩固练习】一.选择题1. 16的平方根是（ ）A.4 B.4 C. 4 D. 2562下列各数中没有平方根的是（ ）AB0 C D3下列说法正确的是（ ）A169的平方根是13B1.69的平方根是1.3C的平方根是13D（13）没有平方根4. 要使代数式有意义，则的取值范围是( )A B C D5.（201

7、5江西校级模拟）下列各等式中，正确的是（）A=3B=3C（）2=3D =36.一个数的算术平方根是，则比这个数大8数是（ ）A8B4C8D8二.填空题7计算：（1）_；（2）_；（3）_；（4）_；（5）_；（6）_8.的算术平方根的相反数是_.9.的平方根是_；0.0001算术平方根是_：0的平方根是_10的算术平方根是_：的算术平方根的相反数是_11（2015春丹江口市期末）若一个正数的两个平方根是2a1和a+2，则a= ，这个正数是 12表示3的_；表示3的_三.解答题13求下列各式中的（1）； （2）； （3）14（2015春福清市期中）福清某小区要扩大绿化带面积，已知原绿化带的形状是

8、一个边长为10m的正方形，计划扩大后绿化带的形状仍是一个正方形，并且其面积是原绿化带面积的4倍，求扩大后绿化带的边长15.思考题：估计与最接近的整数【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C；【解析】正数的平方根有两个，它们互为相反数.2. 【答案】D；【解析】负数没有平方根.3. 【答案】B；【解析】169的平方根是，的平方根是.4. 【答案】B；【解析】被开方数为非负数.5. 【答案】A；【解析】解：A、=3，故A正确；B、3，故B错误；C、被开方数是非负数，故C错误；D、=3，故D错误；故选：A6. 【答案】D；【解析】一个数的算术平方根是，则这个数是.二.填空题7. 【答案】11；16；

9、9；3；.8. 【答案】；9. 【答案】；0.01；0.10.【答案】2；3； 【解析】4，9，此题就是求4的算术平方根和9的算术平方根的相反数.11.【答案】1，9； 【解析】解：依题意得，2a1+（a+2）=0，解得：a=1则这个数是（2a1）2=（3）2=9故答案为：1，9.12.【答案】算术平方根；平方根.三.解答题13.【解析】解：（1） （2） （3） 14.【解析】解：原绿化带的面积：102=100（m2），后绿化带的面积：4100=400（m2），则扩大后绿化带的边长是=20（m），答：扩大后绿化带的边长为20m15.【解析】解：253536即5635比较接近36，最接近的整数

10、是6.沪教版初一数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习立方根和开立方 【学习目标】1. 了解立方根的含义； 2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根.【要点梳理】【：立方根、实数，知识要点】要点一、立方根的定义如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.要点诠释：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.要点二、立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.要点诠释：任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根，并且它的符

11、号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.要点三、立方根的性质要点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.要点四、立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，.要点五、次方根如果一个数的次方（是大于1的整数）等于，那么这个数叫做的次方根.当为奇数时，这个数为的奇次方根；当为偶数时，这个数为的偶次方根.求一个数的次方根的运算叫做开次方，叫做被开方数，叫做根指数.要点诠释：实数的奇次方根有且只有一个，正数的偶次方根有两个，它们互为相反数；负数的偶次方根不存在.；零的次方根

12、等于零，表示为.【典型例题】类型一、立方根的概念【：立方根 实数，例1】1、下列结论正确的是（ ）A64的立方根是4B是的立方根C立方根等于本身的数只有0和1D【答案】D；【解析】64的立方根是4；是的立方根；立方根等于本身的数只有0和1.【总结升华】一个非零数与它的立方根符号相同；.举一反三：【变式】（2015春滑县期末）我们知道a+b=0时，a3+b3=0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数（1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；（2）若与互为相反数，求1的值【答案】解：（1）2+（2）=0，而

13、且23=8，（2）3=8，有88=0，结论成立；即“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数”是成立的（2）由（1）验证的结果知，12x+3x5=0，x=4，1=12=1类型二、立方根的计算【：立方根 实数，例2】2、求下列各式的值：（1） （2）（3） （4）（5）【答案与解析】 解：（1） （2） （3） （4） （5） 【总结升华】立方根的计算，注意符号和运算顺序，带分数要转化成假分数再开立方.举一反三：【变式】计算：（1）_；（2）_；（3）_（4）_.【答案】（1）0.2；（2）；（3）；（4）.类型三、利用立方根解方程3、 （2015春罗平县期末）求下列各式中x的值：（1

14、）3（x1）3=24（2）（x+1）3=64【思路点拨】先整理成x3=a的形式，再直接开立方解方程即可【答案与解析】解：（1）3（x1）3=24，（x1）3=8，x1=2，x=3（2）开立方得：x+1=4，解得：x=5【总结升华】本题是用开立方的方法解一元三次方程，要灵活运用使计算简便举一反三：【变式】求出下列各式中的：（1）若0.343，则_；（2）若3213，则_；（3）若1250，则_；（4）若8，则_【答案】（1）0.7；（2）6；（3）5；（4）3类型四、立方根实际应用4、在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体

15、积为64，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？【思路点拨】铁块排出的64水的体积，是铁块的体积，也是高为烧杯的体积.【答案与解析】解：铁块排出的64的水的体积，是铁块的体积设铁块的棱长为，可列方程解得设烧杯内部的底面半径为，可列方程,解得6.答：烧杯内部的底面半径为6，铁块的棱长 4 .【总结升华】应该熟悉体积公式，依题意建立相等关系（方程），解方程时，常常用到求平方根、立方根，要结合实际意义进行取舍.本题体现与物理学科的综合. 举一反三：【变式】将棱长分别为和的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为_。(不计损耗)

16、【答案】；类型五、次方根的运算5、（1）求的5次方根；（2）求的6次方根.【答案与解析】解：（1）； （2）， 还有.【总结升华】正数的偶次方根有两个，它们互为相反数沪教版初一数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习【巩固练习】一.选择题1下列结论正确的是（ ）A的立方根是B没有立方根C有理数一定有立方根D的立方根是12如果是的立方根，则下列结论正确的是（ ）ABCD3.下列说法中正确的有（ ）个. 负数没有平方根，但负数有立方根的平方根是的立方根是如果，那么2 算术平方根等于立方根的数只有1A1 B2 C3 D44. （2015衡南县自主招生）64的立方根与的平方根之和是（）A7 B

17、1或7 C13或5 D55. 下列各式中，正确的是（ ）A. B. C. D.6. 有如下命题：负数没有立方根；一个实数的立方根不是正数就是负数；一个正数或负数的立方根与这个数同号；如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0，其中错误的是（）A. B. C. D.二.填空题7中的的取值范围是_，中的的取值范围是_8.（2015春霸州市期末）若一个数的立方根就是它本身，则这个数是 9若则与的关系是_10若则_11. 如果那么的值是_12._；_.三.解答题13.若和互为相反数，求的值.14.（2015春桃园县校级期末）已知x2的平方根是2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的平方根1

18、5.已知实数，满足求1|1的值【答案与解析】一.选择题1. 【答案】 C；【解析】的立方根是；的立方根是1. 一个非零数与它的立方根符号相同.2. 【答案】A；【解析】由题意.3. 【答案】A；【解析】只有正确. 算术平方根等于立方根的数有0和14. 【答案】B；5.【答案】D；【解析】A.结果应为4；B.结果应为5；C.无意义.6. 【答案】B；【解析】负数有立方根；一个实数的立方根是正数、0、负数；如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0二.填空题7.【答案】任意实数；1; 【解析】开立方时被开方数可以为任意实数，第二题需10，10，解得1.8. 【答案】1，09. 【答案】；

19、【解析】两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数.10.【答案】1； 【解析】2141，解得1.11.【答案】343； 【解析】464，60，677，.12.【答案】5； 【解析】.三.解答题13.【解析】解：和互为相反数 0， ， ， 2131, 23， .14.【解析】解：x2的平方根是2，2x+y+7的立方根是3，x2=22，2x+y+7=27，解得x=6，y=8，x2+y2=62+82=100，x2+y2的平方根是1015.【解析】解：当0时，原式0，解得0,1|1112. 当0时，原式0，解得0， 1|1112.沪教版初一数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习实数的概念和运

20、算（基础） 【学习目标】1. 了解无理数和实数的意义；2. 了解有理数的概念、运算在实数范围内仍适用.【要点梳理】要点一、有理数与无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：含类.看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111.带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.要点二、实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类 2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应

21、.要点三、实数大小的比较正实数大于0，负实数小于0.两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小.从数轴上看，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大.要点四、实数的运算有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.要点五、近似数及有效数字1.近似数：完全符合实际地表示一个量多少的数叫做准确数；与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数.2.精确度：近似数与准确数的接近程度即近似

22、程度.对近似程度的要求叫做精确度. 要点诠释：精确度有两种形式：精确到哪一位保留几个有效数字3.有效数字：从一个数的左边第一个不为零的数字起，往右到末位数字为止的所有的数字都是这个数的有效数字，如0.208的有效数字有三个：2，0，8【典型例题】类型一、实数概念1、指出下列各数中的有理数和无理数： 【思路点拨】对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据它的最后结果进行分类，不能仅看到根号表示的数就认为是无理数.是无理数，化简后含的代数式也是无理数.【答案与解析】有理数有无理数有【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.常见的无理数有三种形式：含类.看

23、似循环而实质不循环的数，如：0.1010010001.带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如，. 举一反三：【变式】（2015春聊城校级月考）在下列语句中：无理数的相反数是无理数；一个数的绝对值一定是非负数；有理数比无理数小；无限小数不一定是无理数其中正确的是（）ABCD【答案】C；解：因为实数包括有理数和无理数，无理数的相反数 不可能式有理数，故本选项正确；一个数的绝对值一定0，故本选项正确；数的大小，和它是有理数还是无理数无关，故本选项是错误的；无限循环小数是有理数，故本选项正确类型二、实数大小的比较2、比较和0.5的大小【答案与解析】解：作商，得因为，即，所以【总结升华】根据若，均为

24、正数，则由“，”分别得到结论“，”从而比较两个实数的大小比较大小的方法有作差法和作商法等，根据具体情况选用适当的方法.举一反三：【变式】比较大小 【答案】； ； ； ； ； ； .3、（2015枣庄）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）AacbcB|ab|=abCabcDacbc【答案】D；【解析】解：由图可知，ab0c，A、acbc，故A选项错误；B、ab，ab0，|ab|=ba，故B选项错误；C、ab0，ab，故C选项错误；D、ab，c0，acbc，故D选项正确故选：D【总结升华】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键类型三、

25、实数的运算4、化简： (1) (2) (3)【答案与解析】解： .【总结升华】有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.有理数的运算法则及运算性质等同样适用.5、若，则_【思路点拨】由有限个非负数之和为零，则每个数都应为零可得到方程中，b，c的值.【答案】3；【解析】解：由非负数性质可知：，即， 【总结升华】初中阶段所学的非负数有|，非负数的和为0，只能每个非负数分别为0 .举一反三：【变式】已知，求的值【答案】解：由已知得，解得 .类型四、近似数和有效数字6、下列各数有几个有效数字，分别是什么？（1）；（2）万；（3）； （4）【答案与解析】解：由有效数字的定义可得：（1）有4个有效数字

26、，分别为：1，0，2，0；（2）万有3个有效数字，分别为：1，5，0；（3）有5个有效数字，分别为：1，5，0，0，0；（4）有3个有效数字，分别是：2，3，0【总结升华】带有文字单位或用科学记数法表示的数，有效数字的个数与文字单位或没有关系.沪教版初一数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习【巩固练习】一.选择题1.（2015通辽）实数，0，0.3131131113（相邻两个3之间依次多一个1），其中无理数的个数是（）A4 B2C1D32. 下列说法正确的是（ ） A无理数都是无限不循环小数B无限小数都是无理数C有理数都是有限小数D带根号的数都是无理数3.估计的大小应在（ ）A78之

27、间B8.08.5之间C8.59.0之间D910之间4.如图，数轴上点表示的数可能是（）.A B C D 5. 实数和的大小关系是（ ）AB CD 6.精确到百分位，约等于（ ）A. 0.39 B. 0.40 C. 0.4 D. 0.400二.填空题7.在，这五个实数中，无理数是_ 8.在数轴上与1距离是的点，表示的实数为_9.3.14_； _10.的整数部分是_，小数部分是_11.已知为整数，且满足，则_12. （2015春仙桃校级期末）的相反数是，2的绝对值是_，的立方根是三.解答题13（2014春西城区校级期中）化简：|3|14. 天安门广场的面积大约是440000，若将其近似看作一个正方

28、形，那么它的边长大约是多少？（用计算器计算，精确到）15. 已知求的值【答案与解析】一.选择题1.【答案】B【解析】在实数，0，0.3131131113（相邻两个3之间依次多一个1）中，无理数有：，0.3131131113（相邻两个3之间依次多一个1），共2个.2. 【答案】A； 【解析】根据无理数的定义作答.3. 【答案】C； 【解析】，因为76比较接近81，所以在8.59.0之间.4. 【答案】B； 【解析】235. 【答案】C； 【解析】.6. 【答案】B；【解析】0.40中末尾的“0”不能去掉，近似数“0.40”与“0.4”的意义不同.二.填空题7 【答案】，；8. 【答案】； 【解析

29、】与1的距离是的点在1的左右两边各有一个点，分别是、.9. 【答案】3.14；. 【解析】负数的绝对值等于它的相反数.10.【答案】2； 【解析】，故整数部分为2，2为小数部分.11.【答案】 1, 0, 1；12.【答案】；2；2三.解答题13.【解析】解：|3|=（3）=2314.【解析】解：设广场的边长为，由题意得：440000 663.15.【解析】解：20且0解得2，3，231.沪教版初一数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习分数指数幂 掌握分数指数幂，并能利用分数指数幂进行运算.2. 会用计算器计算分数指数幂.【要点梳理】要点一、分数指数幂把指数的取值扩大到分数，我们规定

30、，其中为正整数，.上面规定中的和叫做分数指数幂，是底数.整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂.要点诠释：（1）当与互素时，如果为奇数，那么分数指数幂中的底数可为负数.（2）指数的取值范围扩大到有理数后，方根就可以表示为幂的形式，开方运算可以转化为乘方形式的运算.要点二、有理数指数幂的运算性质设为有理数，那么（1）.（2）.（3）.【典型例题】类型一、分数指数幂的运算1、 把下列方根化为幂的形式：（1）； （2）； （3）； （4）. 【思路点拨】根据分数指数幂的定义解题.【答案与解析】解：（1）； （2）； （3）； （4）. 【总结升华】，其中为正整数，.举一反三：【变式】(2015.三

31、台期末)根式（，为正整数，1）用分数指数幂可表示为（）A. B. C. D. 【答案】D；解：， .2、 口算： （1）；（2）；（3）；（4）.【思路点拨】可将分数指数幂表示成方根的形式再求值.【答案与解析】解：（1）；（2）；（3）；（4）.【总结升华】求分数指数幂的值，就是求一个数的方根，一个正数的分数指数幂的值是一个正数.举一反三：【变式】口算：（1）；（2）；（3）.【答案】解：（1）；（2）；（3）.3、(2015.黄石模拟)用计算器计算,结果保留三位小数： （1）；（2）；（3）.【答案与解析】解：（1）；（2）；（3）.【总结升华】利用计算器，可直接求出一个分数指数幂的值，要熟

32、悉求分数指数幂的值与相应的乘方、开方运算之间的关系.4、 计算：（1）；（2）；（3）；（4）【答案与解析】解：（1）；（2）；（3）；（4）.【总结升华】利用有理数指数幂的运算性质解题.沪教版初一数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习【巩固练习】一.选择题1.(2015.绵竹期中)下列运算正确的是（ ） A. B. C. D.2. 根式（，为正整数，1）用分数指数幂可表示为（）A. B. C. D. 3. 把写成幂的形式是（ ）A. B. C. D.4. 计算：的值为（ ） A.100 B.10 C. D.二.填空题5.计算： =_.6.(2015.彭州期末) 把改写成指数幂的形式

33、是_.7.计算： =_.8.计算： =_.9.计算： =_.10.计算： =_.11.计算： =_.12.计算： =_.三.解答题13.计算（结果表示为含幂的式子）： （1）；（2）；（3）；（4）.14.用计算器计算（保留三位小数）： （1）；（2）；（3）；（4）.15.(2015.泰州模拟)计算（结果表示为含幂的形式）：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案与解析】一.选择题1.【答案】C； 【解析】.2.【答案】D；【解析】， .3.【答案】A；4.【答案】A； 【解析】.二.填空题5.【答案】2； 【解析】.6.【答案】；7.【答案】-2； 【解析】.8.【答案】； 【解析】.9.【

34、答案】； 【解析】.10.【答案】；【解析】.11.【答案】； 【解析】.12.【答案】1； 【解析】.三.解答题13.【解析】解：（1）；（2）；（3）；（4）.14.【解析】解：（1）；（2）；（3）；（4）.15.【解析】解：（1）；（2）；（3）；（4）.沪教版初一数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习实数全章复习与巩固（基础） 【学习目标】1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴

35、上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.【知识网络】【要点梳理】要点一、平方根和立方根 类型项目平方根立方根被开方数非负数任意实数符号表示性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论要点二、次方根如果一个数的次方（是大于1的整数）等于，那么这个数叫做的次方根.当为奇数时，这个数为的奇次方根；当为偶数时，这个数为的偶次方根. 求一个数的次方根的运算叫做开次方，叫做被开方数，叫做根

36、指数.实数的奇次方根有且只有一个，正数的偶次方根有两个，它们互为相反数；负数的偶次方根不存在.；零的次方根等于零.要点三、实数有理数和无理数统称为实数1.实数的分类 要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数 （2）无理数分成三类：开方开不尽的数，如，等；有特殊意义的数，如； 有特定结构的数，如0.1010010001 （3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.2.实数与数轴上的点一 一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应

37、.3.实数的三个非负性及性质：在实数范围内，正数和零统称为非负数我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即|0；（2）任何一个实数的平方是非负数，即0；（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即().非负数具有以下性质：（1）非负数有最小值零；（2）有限个非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.4.实数的运算：数的相反数是；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，

38、有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较：有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大；法则2正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.要点四、近似数及有效数字1.近似数：完全符合实际地表示一个量多少的数叫做准确数；与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数.2.精确度：近似数与准确数的接近程度即近似程度.对近似程度的要求叫做精确度. 要点诠释：精确度有两种形式：精确到哪一位保留几个有效数字3.有效数字：从一个

39、数的左边第一个不为零的数字起，往右到末位数字为止的所有的数字都是这个数的有效数字，如0.208的有效数字有三个：2，0，8要点五、分数指数幂，其中为正整数，.上面规定中的和叫做分数指数幂，是底数.整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂.要点诠释：设为有理数，那么（1）.（2）.（3）.【典型例题】类型一、有关方根的问题1、下列命题：负数没有立方根；一个实数的算术平方根一定是正数；一个正数或负数的立方根与这个数同号；如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是1或0；如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0 ，其中错误的有（）A.2个 B.3 个 C.4 个 D.5个 【答案】B

40、；【解析】负数有立方根；0的平方根是0；立方根是本身的数有0，1.【总结升华】把握平方根和立方根的定义是解题关键.举一反三：【变式1】下列运算正确的是（ ） A B C D【答案】C； 【变式2】的5次方根是_. 【答案】； 2、若，则 若，则【答案】1.01；7.16；【解析】102.01向左移动2位变成1.0201，它的平方根向左移动1位，变成1.01，注意符号；0.3670向右移动3位变成367，它的立方根向右移动1位，变成7.16【总结升华】一个数向左移动2位，它的平方根向左移动1位；一个数向右移动3位，它的立方根向右移动1位.类型二、与实数有关的问题3、把下列各数填入相应的集合：1、

41、3.14、（1）有理数集合 ；（2）无理数集合 ；（3）正实数集合 ；（4）负实数集合 【思路点拨】首先把能化简的数都化简，然后对照概念填到对应的括号里.【答案与解析】（1）有理数集合1、3.14、 ；（2）无理数集合、；（3）正实数集合、；（4）负实数集合 1、3.14、【总结升华】有理数是有限小数和无限循环小数，无理数是无限不循环小数.总结常见的无理数形式.举一反三：【变式】（2015绥化）在实数0、中，无理数的个数有（）A1个 B2个 C3个 D4个【答案】B；4、计算（1）（2）（3）【思路点拨】先逐个化简后，再按照计算法则进行计算.【答案与解析】解：（1） （2） （3）.【总结升华

42、】根据开立方和立方，开平方和平方互逆运算的关系，可以通过立方、平方的方法去求一个数的立方根、平方根.举一反三：【变式】计算(1) (2) 【答案】解：(1) (2) . 5、（2015资阳）已知：（a+6）2+=0，则2b24ba的值为【答案】12【解析】解：（a+6）2+=0，a+6=0，b22b3=0，解得，a=6，b22b=3，可得2b24b=6，则2b24ba=6（6）=12，故答案为：12【总结升华】本题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式（算术平方根）当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0举一反三：【变式1】实数、在数轴上所对应的点

43、的位置如图所示：化简 .【答案】解：0,0()2.【变式2】实数在数轴上的位置如图所示，则的大小关系是： ；【答案】；6、用四舍五入法，按括号中的要求把下列各数取近似数.(1)0.0198 (精确到0.001)；(2)0.34082(精确到千分位)；(3)64.49 (精确到个位)；【答案与解析】解：（1）0.01980.020； （2）(2)0.340820.341； （3）64.4964.【总结升华】从一个数的左边第一个不为零的数字起，往右到末位数字为止的所有的数字都是这个数的有效数字. 近似数末位的0不能随便去掉，去掉了就会改变它的精确度.7、把下列方根化为幂的形式：（1）； （2）；

44、（3）； （4）. 【答案与解析】解：（1）； （2）； （3）； （4）. 【总结升华】，其中为正整数，.类型三、实数综合应用8、现有一面积为150平方米的正方形鱼池，为了增加养鱼量，欲把鱼池的边长增加6米，那么扩建鱼池的面积为多少（最后结果保留4个有效数字）？【答案与解析】解：因为原正方形鱼池的面积为150平方米，根据面积公式，它的边长为（米）由题意可得扩建后的正方形鱼池的边长为（12.2476）米，所以扩建后鱼池的面积为333.0（平方米）答：扩建后的鱼池的面积约为333.0（平方米）【总结升华】要求扩建后的鱼池的面积，应先求出其边长，而原鱼池的面积为150平方米，由此可得原鱼池的边长，

45、再加上增加的6米，故新鱼池面积可求举一反三：【变式】一个底为正方形的水池的容积是486，池深1.5，求这个水池的底边长【答案】解：设水池的底边长为，由题意得答：这个水池的底边长为18.沪教版初一数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习【巩固练习】一.选择题1. 下列说法正确的是（ ）A数轴上任一点表示唯一的有理数B数轴上任一点表示唯一的无理数C两个无理数之和一定是无理数D数轴上任意两点之间都有无数个点2.（2015日照）的算术平方根是（）A2 B2 C D3已知、是实数，下列命题结论正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则4.，则的值是（ ）A. B. C. D. 5. 若式子有

46、意义,则的取值范围是 ( ).A. B. C. D. 以上答案都不对. 6. 下列说法中错误的是（ ）A.中的可以是正数、负数或零. B.中的不可能是负数. C. 数的平方根有两个. D.数的立方根有一个.7. 数轴上A，B两点表示实数，则下列选择正确的是（ ）A. B. C. D.8. 估算的值在 （ ）A. 5和6之间 B.6和7之间 C.7和8之间 D.8和9之间二.填空题9. 若的整数部分是，则其小数部分用表示为 10当 时，有意义.11. .12. 若是225的算术平方根，则的立方根是 .13._ . 14.（2015春罗山县期末）64的立方根与的平方根之和是 15. 比较大小： ，

47、 ， 16. 数轴上离原点距离是的点表示的数是 .三.解答题17. 一个正数的平方根是与，则是多少？18.（2015春桃园县校级期末）已知x2的平方根是2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的平方根19. 已知：表示、两个实数的点在数轴上的位置如图所示，请你化简20. 阅读题：阅读下面的文字，解答问题.大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用1表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗?事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分.请解答：已知：10，其中是整数，且,求的相反数.【答案与解析】一.

48、选择题1. 【答案】D；【解析】数轴上任一点都表示唯一的实数.2.【答案】C3. 【答案】B；【解析】B答案表明，故.4. 【答案】B； 【解析】.5. 【答案】A；6. 【答案】C；【解析】数不确定正负，负数没有平方根.7. 【答案】C；8. 【答案】B； 【解析】，.二.填空题9. 【答案】；10.【答案】为任意实数 ； 【解析】任何实数都有奇次方根.11.【答案】； 【解析】.12.【答案】3； 【解析】1215,27,.13.【答案】；【解析】. 14.【答案】2或6【解析】64的立方根是4， =4，4的平方根是2，4+2=2，4+（2）=6，64的立方根与的平方根之和是2或615.【

49、答案】；16.【答案】； 【解析】数轴上离原点距离是的点有两个，分别在原点的左右两边.三.解答题17.【解析】解：一个正数的平方根是与，与互为相反数，即0，解得.18.【解析】解：x2的平方根是2，2x+y+7的立方根是3，x2=22，2x+y+7=27，解得x=6，y=8，x2+y2=62+82=100，x2+y2的平方根是1019.【解析】解：020.【解析】解：111012 11，1011 .沪教版初一数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习相交线，垂线（基础）知识讲解 【学习目标】1.了解两直线相交所成的角的位置和大小关系，理解邻补角和对顶角概念，掌握对顶角的性质；2.理解垂直

50、作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；3.理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；4.能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质，进行简单的计算.【要点梳理】知识点一、邻补角与对顶角1邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角要点诠释：(1)邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为180(2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角(3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角(4)邻补角满足的条件：有公共顶点；有一条公共边，另一边互为反向延长线

51、.2. 对顶角及性质： （1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角 （2）性质：对顶角相等要点诠释：(1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角(2)对顶角满足的条件：相等的两个角；有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.3. 邻补角与对顶角对比： 角的名称特 征性 质相 同 点不 同 点对顶角两条直线相交形成的角； 有一个公共顶点；没有公共边. 对顶角相等.都是两条直线相交而成的角；都有一个公共顶点；都是成对出现的. 有无公共边；两直线相交时，对顶角只有2对；邻补角有4对. 邻补角两条直线相交而成；有一个公共顶点；有一条公共边.

52、邻补角互补. 【：相交线 403101 两条直线垂直】知识点二、垂线1垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足要点诠释：(1)记法：直线a与b垂直，记作：； 直线AB和CD垂直于点O，记作：ABCD于点O.(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：CDAB2垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)要

53、点诠释： (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段3垂线的性质：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短简单说成：垂线段最短要点诠释：（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短

54、，即垂线段最短在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题4点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离要点诠释：点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度【典型例题】类型一、邻补角与对顶角1如图所示，M、N是直线AB上两点，12，问1与2，3与4是对顶角吗? 1与5，3与6是邻补角吗？【答案与解析】解：1和2，3和4都不是对顶角1与5，3与6也都不是邻补角【总结升华】牢记两条直线相交，才能产生对顶角或邻补角举一反三：【变式】判断正误：（1）如果两个角有公共

55、顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角. （ ）（2）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.（ ）(3)有一条公共边的两个角是邻补角. （ ）(4)如果两个角是邻补角，那么它们一定互补. （ ）(5)有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角.（ ）【答案】(1) （2） （3） （4） （5），反例：AOC为120，射线OB为AOC的角平分线，AOB与AOC互补，且有边公共为AO，公共顶点为O，但它们不是邻补角. 2.如图所示，直线AB、CD相交于点O，165，求2、3、4的度数【答案与解析】解： 1是2的邻补角，165， 218065115又 1和3是对顶角，2与4是对顶角 316

56、5， 42115【总结升华】 (1)两条直线相交所成的四个角中，只要已知其中一个角，就可以求出另外三角；(2)求出2后用 “对顶角相等”，求3和4举一反三：【变式】（2015梧州）如图，已知直线AB与CD交于点O，ON平分DOB，若BOC=110，则AON的度数为度【答案】145解：BOC=110，BOD=70，ON为BOD平分线，BON=DON=35，BOC=AOD=110，AON=AOD+DON=145.3. 任意画两条相交的直线，在形成的四个角中，两两相配共能组成几对角?各对角存在怎样的位置关系？根据这种位置关系将它们分类【答案与解析】解：如图，任意两条相交直线，两两相配共组成6对角，在

57、这6对角中，它们的位置关系有两种：有公共顶点，一边重合，另一边互为反向延长线；有公共顶点，角的两边互为反向延长线这6对角为1与2，1与3，1与4，2与3，2与4，3与4，其中13，24，1+2180，3+4180，1+4180，2+3180在位置上1与3，2与4是对顶角，1与2，3与4，l与4，2与3是邻补角【总结升华】两条相交的直线，两两相配共组成6对角，这6对角中有：4对邻补角，2对对顶角类型二、垂线4下列语句中，正确的有 ( ) 一条直线的垂线只有一条；在同一平面内，过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直； 两直线相交，则交点叫垂足； 互相垂直的两条直线形成的四个角一定都是直角 A0

58、个 B1个 C2个 D3个【答案】C【解析】正确的是：【总结升华】充分理解垂直的定义与性质.举一反三：【变式1】直线外有一点P，则点P到直线的距离是( ).A点P到直线的垂线的长度.B点P到直线的垂线段.C点P到直线的垂线段的长度.D点P到直线的垂线.【答案】C 5. （2015河北模拟）如图，已知点O在直线AB上，CODO于点O，若1=145，则3的度数为（）A35B45C55D65【答案】C【解析】解：1=145，2=180145=35，CODO，COD=90，3=902=9035=55.【总结升华】本题考查了垂线和邻补角的定义；弄清两个角之间的互补和互余关系是解题的关键【：相交线 403

59、101 经典例题3】举一反三：【变式】如图, 直线AB和CD交于O点, OD平分BOF, OE CD于点O, AOC=40,则EOF=_.【答案】1306. 如图所示，要把水渠中的水引到水池C，在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最短?画出图来，并说明原因【答案与解析】解：如图，过点C作CDAB，垂足为D所以在点D沿CD开沟，才能使沟最短，原因是从直线外一点到直线上所有各点的连线中，垂线段最短【总结升华】 “如何开沟、使沟最短”，实质上是如何过C点向AB引线段，使线段最短，这就是最熟悉的垂线的性质的应用举一反三：【变式】(1)用三角尺或量角器画已知直线的垂线，这样的垂线能画出几条?(2)经过直线

60、上一点A画的垂线，这样的垂线能画出几条?(3)经过直线外一点B画的垂线，这样的垂线能画出几条?【答案】 解：(1)能画无数条；(2)能画一条；(3)能画一条沪教版初一数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习【巩固练习】一、选择题1如图所示，1和2是对顶角的图形共有（ ） A0个 B1个 C2个 D3个2以下四个叙述中，正确的有( ) 相等的角是对顶角；互补的角是邻补角；两条直线相交，可构成2对对顶角；对顶角、邻补角都有一个共同特点：两个角有公共的顶点A4个 B3个 C2个 D1个3（2014春琼海期中）在同一平面内两条直线的位置关系可能是（）A相交或垂直B垂直或平行C平行或相交D平行或