角形全等之手拉手模型、倍长中线、截长补短法、旋转、寻找三角形全等方法归纳总结

1、一、手拉手模型要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点结论：(1) AABD AEC (2)+/BOC=180OA平分/ BOC变形：例1.如图在直线 ABC的同一侧作两个等边三角形ABD与 BCE,连结AE与CD,证ABE DBCAE DC与DC之间的夹角为60AGB DFBEGB CFBBH 平分 AHCGF /AC变式精练1:如图两个等边三角形ABD与 BCE ,连结AE与CD ,证明(1) ABE DBCAE DCAE与DC之间的夹角为60AE与DC的交点设为H,BH平分 AHC变式精练2：如图两个等边三角形 ABD与 BCE ,连结AE与CD,

2、证明(1) ABE DBCAE DCAE与DC之间的夹角为60AE与DC的交点设为H , BH平分 AHC例2：如图，两个正方形 ABCD与DEFG ,连结AG,CE ,二者相交于点 H问：(1) ADGCDE是否成立AG是否与CE相等AG与CE之间的夹角为多少度HD是否平分 AHE例3：如图两个等腰直角三角形 ADC与EDG ,连结AG,CE ,二者相交于点 H问：(1) ADG CDE是否成立AG是否与CE相等AG与CE之间的夹角为多少度HD是否平分 AHE例4：两个等腰三角形 ABD与 BCE,其中AB BD, CB EB, ABD CBE连结AE与CD ,问：(1) ABE DBC是否

3、成立AE是否与CD相等AE与CD之间的夹角为多少度HB是否平分 AHC、倍长与中点有关的线段倍长中线类?考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线， 倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。1【例1】 已知： ABC中，AM是中线.求证： AM _(AB AC).【练1】在 ABC中，AB 5, AC 9 ,则BC边上的中线 AD的长的取值范围是什么【练2】如图所示，在 ABC的AB边上取两点E、F ,使AE BF ,连接CE、CF ,求 证：AC BC EC FC .【例2】 如图，已知在 ABC中，AD是BC边上的中线， E是AD上一点，延长 B

4、E交AC 于 F , AF EF ,求证：AC BE .【练1】如图，已知在 ABC中，AD是BC边上的中线， E是AD上一点，且 BE AC , 延长BE交AC于F ,求证：AF EF【练2】如图，在 ABC中，AD交BC于点D ,点E是BC中点，EF /AD交CA的延长 线于点F ,交AB于点G ,若BG CF ,求证：AD为 ABC的角平分线.【练3】如图所示，已知 ABC中，AD平分 BAC , E、F分别在BD、AD上.DE CD , EF AC .求证：EF / AB【例3】 已知AM为ABC的中线， AMB , AMC的平分线分别交 AB于E、交AC于 F .求证：BE CF E

5、F .【练1】在Rt ABC中，F是斜边 AB的中点， D、E分别在边 CA、CB上，满足 DFE 90 .若AD 3, BE 4,则线段DE的长度为.【练2】在 ABC中，点D为BC的中点，点M、N分别为AB、AC上的点，且MD ND. (1)若 A 90 ,以线段BM、MN、CN为边能否构成一个三角形若能，该三角 形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形(2)如果 BM 2 CN2 DM 2 DN2 ,求证 AD2 1 AB2 AC2 .4【例4】 如图所示，在 ABC中，AB AC ,延长AB到D ,使BD AB , E为AB的中点， 连接CE、CD ,求证CD 2EC .【练1】已知 A

6、BC中，AB AC , BD为AB的延长线，且 BD AB , CE为 ABC的AB 边上的中线.求证：CD 2CE全等之截长补短： 人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方.如图所示， ABC 中，C 900, B 45O,AD 平分 BAC 交 BC于 d 求证：AB=AC+C D如图所示，在 ABC中，B 60, ABC的角平分线AR CE相交于点O。求证：AE+CD=AC.如图所示，已知 12, P为BN上一点，且 PD BC于D, AB+BC=2BD求证:BAP BCP 180o

7、.如图所示，在 Rt ABC 中，AB=AC BAC 90, ABD CBD , CE 垂直于 BD的延长线于Eo求证：BD=2CE5如图所示，在 ABC中， ABC 900,AD为 BAC的平分线，C =300, BE AD于E点，求证：AC-AB=2BE6.如图所示，已知 AB ABC, BCD图，E是 AOB的平分线上一点，EC OA ,ED OB ,垂足为 G Do 求证：(1) OC=OD (2) DF=CF三、截长补短问题1:垂直平分线（性质）定理是 问题2 :角平分线（性质）定理是 问题3:等腰三角形白两个底角 ，简称;如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也 ,简称.问题

8、4:当见到线段的 考虑截长补短，构造全等或等腰转移 、车t移,然后和 重新组合解决问题.三角形全等之截长补短（一）一、单选题（共4道，每道25分）.已知，如图，BM平分/ABC P为BML上一点，PDL BC于点D, BD=AB+C D求证：/ BAP+ BCP=180 .请你仔细观察下列序号所代表的内容：；/ 1=2 2; /A=Z BEP AP=PE；以上空缺处依次所填最恰当的是（）A.B.C.D.已知，如图，BIW分/ ABC 点 P为 BMLh一点，PDLBC 于点 D, BD=AB+DC 求证：/ BAP廿 BCP=180 .请你仔细观察下列序号所代表的内容：延长BA,过点P作PEL

9、 BA于点E;延长BA到E,使AE=DC连接PE延长BA到E,使DC=AE；.以上空缺处依次所填最恰当的是（）A.B.C.D.已知，如图，在五边形 ABCD中,AB=AE AD平分/ CDE / BAE=Z CAD求证：BC+DE=CD请你仔细观察下列序号所代表的内容：在CD上截取CF=CB连接AR在DC上截取DF=DE连接AF;在 DC上截取 DF=DE AE=AF AF=AE / 4=/ 3; / 4=/ 3;；.以上空缺处依次所填最恰当的是（）A.B.C.D.已知，如图，在五边形 ABCD中,AB=AE / BAE=N CAD / ABC也 AED=180 ,求证：BC+DE=CD请你仔

10、细观察下列序号所代表的内容：延长DE至IF,使EF=BC连接AF;延长DE至F,使BC=EF延长DE至IF,连接AF;；.以上空缺处依次所填最恰当的是（）A.B.C.D.四、三角形全等旋转与截长补短专题问题一：题中出现什么的时候，我们应该想到旋转(构造旋转的条件)问题二：旋转都有哪些模型例1如图，P是正 ABC内的一点，若将 PBC绕点B旋转到 P/ BA ,则/ PBP的度数是 ()A. 45B. 60C. 90D. 120例2如图，正方形 BAFEW正方形 ACG映点于A,连接BD CF,求证：BD= CF并求出/ DOH勺度 数。【例3】如图，正方形 ABCW, / FAD= / FAE

11、。求证：BE+ DF= AE.题干中出现对图形的旋转一一现成的全等.图形中隐藏着旋转位置关系的全等形一一找到并利用.题干中没提到旋转，图形中也没有旋转关系存在一一通过作辅助线构造旋转！【例4】已知：如图：正方形 ABCDK / MAN= 45 , / MAN勺两边分别交 CB DC于点M N。求证：BMF DN= MN【例5】如图，正方形 ABCDK / EAM45 ,连接对角线 B改 AE于M交AF于N,证明：DN+bM = mN例6如图，已知 OABOCM等边三角形，连结 AC和BD相交于点E, AC和BO交于点F, 连结BC求/ AEB的大小。【例7】如图所示： ABC43, Z ACB

12、= 90 , AC= BC P 是ABCft 的一点，且 AP= 3, C鼻 2, BP =1,求/ BPC勺度数。本课总结问题一：题中出现什么的时候，我们应该想到旋转（构造旋转的条件）.图中有相等的边（等腰三角形、等边三角形、正方形、正多边形）.这些相等的边中存在共端点。.如果旋转（将一条边和另一条边重合）,会出现特殊的角：大角夹半角、手拉手、 被分割的特殊角。问题二：旋转都有哪些模型构造旋转辅助线模型：.大角夹半角.手拉手（寻找旋转）.被分割的特殊角测试题.如图，P是正内的一点，且BP是/ABC勺角平分线，若将绕点P旋转到，则的度数是（） A. 45B, 60C. 90D. 120.如图：

13、 ABC, AB= AC BC为最大边，点 H E分别在BC AC上，BD= CE F为BA延长线上一点，BF= CD则下列正确的是（）A. DF= DEB. DC= DFC. EC= EAD.不确定.如图，四边形 ABCDK / ABC= 30 , / ADC= 60 , AD= DC则下列正确的是（）A.BD= A百+BCB. BDvAg十 BC2C.bDa+bCD,不确定.已知中，于，AE为角平分线交 CD F,则图中的直角三角形有（） TOC o 1-5 h z A.7个B. 6个C.5个D. 4个.如图，DAL AB, EAL AC, AD= AB, AE= AC 则下列正确的是（）

14、A.B.C.D.如图，已知P为正方形 ABCD勺对角线 AC上的一点（不与A、C重合），PEL BC与点E, PF CD与点F,若四边形A. B2 DPPEC就点C逆时针旋转，连结 BE DF,则下列一定正确的是（）B. B+E(C= BC2C. BA DFD. BE= DF7.如图，等腰直角4 ADB等腰直角 AEC共点于，连结、，则下列一定正确的是（）BE= DCAD/ CEBEL CEBE= CE.如图，等边三角形与等边三角形共点于，连接、 ，则的度数为（）A . 4560C . 90 D. 120 TOC o 1-5 h z .如图，在四边形中，分别是边、上的点，且。则下列一定正确的是

15、（）A.B.C.D.在正方形 ABCW, BE= 3, EF= 5, DF= 4,则/ BAEF / DCE（）A. 45B, 60C. 90D. 120五、寻找全等三角形的几种方法利用全等三角形的性质可以证明分别属于两个三角形中的线段或角相等.在证明线段或角相等时， 解题的关键往往是根据条件找到两个可能全等的三角形，再证明这两个三角形全等，最后得出结论.下面介绍寻找全等三角形的几种方法，供同学们参考.一、利用公共角例 1 如图 1 , AB = AC AE = AF 求证：ZB = Z C.分析：要证明/ B =ZC,只需证明 BOE24COF或ABFAACE而由图形可知/ A是公共角，又由

16、已知 条件AB = AC AE= AF所以AB国AACE于是问题获证.二、利用对顶角（题目中的隐含条件）例2如图2, R E、F、D在同一直线上，AB = CD BE = DF, AE = CF,连接 AC交BD于点 O求证：AO= CO分析：要证明 AO= CO只需证明 AO津COF或AO摩 COD即可.根据现有条件都无法直接证明.而由已知条件 AB = CD BE = DF AE = CF可直接证明 ABE CDF则有/ AEB= / CFD进而有/ AEO =Z CFO再利用对顶角相等，即可证明。三、利用公共边（题目中的隐含条件）例 3 如图 3 , AB = CD AC= BD 求证：

17、/ B = / C.分析：设 AC与BD交于点 Q此日BZ B与/ C分别在 AOB和 DOC中，而用现有的已知条件是不可能直 接证明这两个三角形全等的，需添加辅助线来构造另一对全等三角形.此时可以连接 AD那么AD ABD和 DCA的公共边，这样可以证明 AB挈 DCA四、利用相等线段中的公共部分例4如图4, E、F是平行四边形 ABCD的对角线 AC上的两点，AF = CE求证：BE/ DF分析：要证明 BE/ DF只需证明/ BEC=Z DFA此时可以转换为证明/ AEB = /CFD进而证明 AEtBACFD.五、利用等角中的公共部分例 5 如图 5 ,已知/ E = 30 , AB

18、= AD AC = AE, / BAE= / DAC 求/ C 的度数.分析：已知/ E = 30 ,要求/ C,可考虑证明 ABC2 ADE由/ BAE=Z DAC结合图形可知/ BAC=Z DAE 于是问题获解.六、利用互余或互补角的性质考点：同角或等角的余角相等例6如图6 ,已知/ DCE= 90 , Z DAC= 90 , BEX AC于B,且 DC= EC,能否找出与 ABAD相等 的线段，并说明理由.分析：由于 AC= ARBC可以猜想 AC= ABAD或BE = ARAD此时只需证明 AD = BC即可.而事实上，用同角的余角相等可得到/DCA=Z E,从而证明 ADC2ABCEE问题获证.例7,如图71,在正方形 ABCM, M,N分别是CD AD上的点，BM与CN相交于点 O,若/ BON=90 , 求证： DNC CMB.变式：如图72,在等边 ABC中，M,N分别是AC,AB上的点，BM与CN相交于点 O