湖南省永州市道县第三中学2020年高三数学理测试题含解析

1、湖南省永州市道县第三中学2020年高三数学理测试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a,b,c，成等比数列，且c=2a，则cosC=( ) A. B. C. D. 参考答案：B2. 执行右图的程序，若输入的实数=4，则输出结果为A4 B3C2 D参考答案：C3. 是所在平面内一点，为中点，则的值为（ ）A B C. 1 D2参考答案：BD是AC的中点，又，=，=,故选：B【考查方向】本题考查了向量的平行四边形法则、向量形式的中点坐标公式、向量的模，考查了推理能力和计算能力

2、，属于中档题【易错点】向量线性运算的转化和求解【解题思路】D是AC的中点，可得，由于，可得=，即可得出答案；4. 如果数列是首项为1，公比为的等比数列，则a5等于 A32 B64 C32 D64参考答案：5. 若复数满足,则复数的模为【 】.A. B. C. D.参考答案：B因为，所以设，则，所以，所以，所以复数的模为。6. 已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得为整数的正整数的个数是（）A2 B3 C4 D5参考答案：D略7. 函数的定义域为（ ）A B C D参考答案：B试题分析：要使函数有意义，满足，解得，故答案为B考点：求函数的定义域8. 如图，F1，F2是双曲线C1：与椭圆

3、C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限的公共点若|F1F2|F1A|，则C2的离心率是（ ）A B C. D 参考答案：B9. 设数列是等差数列，且，则这个数列的前5项和= （ ）A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 参考答案：D略10. 已知则等于（A）7（B）（C）（D）参考答案：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知510角的始边在x轴的非负半轴上，终边经过点P（m，2），则m=参考答案：2略12. 定义在上的函数的图象如下图所示，那么不等式的解集是_.参考答案：13. 下面有五个命题：函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是.终边在y轴上的角

4、的集合是a|a=.在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点.把函数函数所有正确命题的序号是 .（把你认为正确命题的序号都填上）参考答案：14. （几何证明选讲选做题）如右图，从圆O外一点P引圆O的割线PAB和PCD，PCD过圆心O，已知PA1，AB2，PO3，则圆O的半径等于参考答案：试题分析：设半径为，则,.根据割线定理可得，即，所以，所以.考点：切割线定理.15. 在三个数，中，最小的数是_参考答案：，故三个数，中最小的数是16. 已知点，则向量在方向上的投影为 参考答案： 17. 已知数列满足(N*)，则数列的第4项是 .参考答案：6三、 解答题：本大题共5小

5、题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分14分）已知函数，其中且（）讨论的单调区间；（）若直线的图像恒在函数图像的上方，求的取值范围;（）若存在，使得，求证：.参考答案：(I)f(x)的定义域为.其导数1分当上是增函数;2分当时,在区间上,;在区间(0,+)上,所以在是增函数,在是减函数. 4分(II)当时, 取，则, 不合题意.当时令,则6分问题化为求恒成立时的取值范围. 由于 7分在区间上,;在区间上,.的最小值为,所以只需即,9分()由于当上是增函数,不满足题意,所以构造函数:()11分则 19. 已知定义在上的函数, 其中表示不小于的最小整数,如, ,

6、. (1) 求的值, 其中为圆周率; (2) 若在区间上存在, 使得成立, 求实数的取值范围;(3) 求函数的值域. 参考答案：(1) (2) （3）解析：(1) 因为, , 所以 .3分(2) 因为, 所以, . . . . .4分则. 求导得, 当时,显然有, 所以在区间上递增, 即可得在区间上的值域为, . . . .6分在区间上存在, 使得成立,所以. . .7分(3) 由于恒成立, 且, 不妨设. 易知, 下面讨论的情况. . .8分当时, , . 所以,当, , 时, , .设, 所以在上是增函数,故当时，, 因此的值域为 . .10分记, . 当时, , 即 当时, , 即而,所

7、以.故的值域为 . .12分略20. 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l过点，倾斜角为（1）写出直线l的参数方程，及当时，直线l的极坐标方程.（2）已知从极点O作直线m与直线相交于点M，在OM上取一点P，使，求点P的极坐标方程.参考答案：（1） （为参数） （为参数）的极坐标方程为设点，即点的轨迹方程为。21. 如图，在四棱锥PABCD中，ABC=ACD=90，BAC=CAD=60，PA平面ABCD，PA=2，AB=1（1）设点E为PD的中点，求证：CE平面PAB；（2）线段PD上是否存在一点N，使得直线CN与平面PAC所成的角的正弦值为？若存在，试确定点N

8、的位置，若不存在，请说明理由参考答案：【分析】（1）取AD中点M，利用三角形的中位线证明EM平面PAB，利用同位角相等证明MCAB，得到平面EMC平面PAB，证得EC平面PAB；（2）建立坐标系，求出平面PAC的法向量，利用直线CN与平面PAC所成的角的正弦值为，可得结论【解答】（1）证明：取AD中点M，连EM，CM，则EMPAEM?平面PAB，PA?平面PAB，EM平面PAB在RtACD中，CAD=60，AC=AM=2，ACM=60而BAC=60，MCABMC?平面PAB，AB?平面PAB，MC平面PABEMMC=M，平面EMC平面PABEC?平面EMC，EC平面PAB（2）解：过A作AFAD，交BC于F，建立如图所示的坐标系，则A（0，0，0），B（，0），C（，1，0），D（0，4，0），P（0，0，2），设平面PAC的法向量为=（x，y，z），则，取=（，3，0），设