北京市汇文中学2022年数学高二第二学期期末考试模拟试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷注意事项1考生要认真填写考场号和座位序号。2试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知正方体的棱长为2，P是底面上的动点,，则满足条件的点P构成的图形的面积等于（ ）ABCD2已知关于的方程，若对任意的，该方程总存在唯一的实数解，则实数的取值范围是（ ）ABCD3设是定义在上的奇函数，且,当时，有恒成立，则不等式的

2、解集是（ ）A B C D4已知下表所示数据的回归直线方程为y=3.4x+a，则实数ax23456y48111418A2.6B-2.6C-2.8D-3.45九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的体积为（ ）A2B4CD6在三棱锥中，平面，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）ABCD7在用反证法证明命题“三个正数a，b，c满足，则a，b，c中至少有一个不大于2”时，下列假设正确的是（ ）A假设a，b，c都大于2B假设a，b，c都不大于2C假设a，b，c至多有一个不大于2D假设a，b，c至少有一个大于28已知函数，若，则的最大值是（）AB

3、-CD-9当时，函数，则下列大小关系正确的是（ ）ABCD10小明、小红、小单三户人家，每户3人，共9个人相约去影院看老师好，9个人的座位在同一排且连在一起，若每户人家坐在一起，则不同的坐法总数为（ ）ABCD11已知函数f(x)=2x3+ax+a.过点M(-1,0)引曲线C:y=f(x)的两条切线，这两条切线与y轴分别交于A，B两点，若|MA|=|MB|，则f(x)A-324B-312已知命题在上递减；命题，且是的充分不必要条件，则m的取值范围为（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13某人从处向正东方向走千米，然后向南偏西的方向走3千米，此时他离点的距离为千米，那么

4、_千米.14下列说法：将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；设有一个回归方程，若变量增加一个单位时，则平均增加5个单位；线性回归方程所在直线必过；曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；在一个列联表中，由计算得，则其两个变量之间有关系的可能性是.其中错误的是_15正方体中，异面直线和所成角的大小为_16一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：从中任取3球，恰有一个白球的概率是；从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为；从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为其中所有正确结论的序号是_ 三、解答题：共70分。解答应写出文

5、字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）7名同学，在下列情况下，各有多少种不同安排方法？（答案以数字呈现）（1）7人排成一排，甲不排头，也不排尾（2）7人排成一排，甲、乙、丙三人必须在一起（3）7人排成一排，甲、乙、丙三人两两不相邻（4）7人排成一排，甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序（不一定相邻）（5）7人分成2人，2人，3人三个小组安排到甲、乙、丙三地实习18（12分）某学校高二年级举行了由全体学生参加的一分钟跳绳比赛，计分规则如下表：每分钟跳绳个数得分1617181920年级组为了解学生的体质，随机抽取了100名学生的跳绳个数作为一个样本，绘制了如下样本频率分布直方图.（1）现从

6、样本的100名学生跳绳个数中，任意抽取2人的跳绳个数，求两人得分之和小于35分的概率；（用最简分数表示）（2）若该校高二年级共有2000名学生，所有学生的一分钟跳绳个数近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值（同一组中数据以这组数据所在区间中点值作代表）.利用所得的正态分布模型，解决以下问题：（i）估计每分钟跳绳164个以上的人数（结果四舍五入到整数）；（ii）若在全年级所有学生中随机抽取3人，每分钟跳绳在179个以上的人数为，求随机变量的分布列和数学期望与方差.附：若随机变量服从正态分布，则，.19（12分）已知函数,其中为常数且.()若是函数的极值点,求的值;()若函数有3个零点,求的

7、取值范围.20（12分）在如图所示的多面体中，平面，是的中点.（1）求证：；（2）求二面角的平面角的余弦值.21（12分）夏天喝冷饮料已成为年轻人的时尚. 某饮品店购进某种品牌冷饮料若干瓶，再保鲜.（）饮品成本由进价成本和可变成本（运输、保鲜等其它费用）组成.根据统计，“可变成本”（元）与饮品数量（瓶）有关系.与之间对应数据如下表：饮品数量（瓶）24568可变成本（元）34445依据表中的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；如果该店购入20瓶该品牌冷饮料，估计“可变成本”约为多少元？（）该饮品店以每瓶10元的价格购入该品牌冷饮料若干瓶，再以每瓶15元的价格卖给顾客。如果当天前8小时卖不完

8、，则通过促销以每瓶5元的价格卖给顾客(根据经验，当天能够把剩余冷饮料都低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再购进)该店统计了去年同期100天该饮料在每天的前8小时内的销售量(单位：瓶)，制成如下表：每日前8个小时销售量（单位：瓶）15161718192021频数10151616151315若以100天记录的频率作为每日前8小时销售量发生的概率，若当天购进18瓶，求当天利润的期望值.（注：利润=销售额购入成本 “可变本成”）参考公式：回归直线方程为，其中参考数据：， .22（10分）已知椭圆经过两点.(1)求椭圆的方程；(2)若直线交椭圆于两个不同的点是坐标原点，求的面积参考答案一、选择题：本题共

9、12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】P是底面上的动点，因此只要在底面上讨论即可，以为轴建立平面直角坐标系，设，根据已知列出满足的关系【详解】如图，以为轴在平面内建立平面直角坐标系，设，由得，整理得，设直线与正方形的边交于点，则点在内部（含边界），易知，故选A【点睛】本题考查空间两点间的距离问题，解题关键是在底面上建立平面直角坐标系，把空间问题转化为平面问题去解决2、B【解析】 由成立，得， 设，则 则时，函数单调递减；时，函数单调递增； 且， 使得对于任意，对任意的，方程存在唯一的解， 则，即，即， 所以，所以实数得取值范围是，故选

10、B 点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，其中解得中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值和函数与方程等知识点的综合应用，试题有一定的难度，属于难题，解答中把方程存在唯一的解转化为函数的最值问题是解答的关键3、B【解析】试题分析：因为当时，有恒成立，所以恒成立，所以在内单调递减因为,所以在内恒有；在内恒有又因为是定义在上的奇函数，所以在内恒有；在内恒有又因为不等式的解集，即不等式的解集，由上分析可得，其解集为，故应选考点：1、函数的基本性质；2、导数在研究函数的单调性中的应用【思路点睛】本题主要考查了函数的基本性质和导数在研究函数的单调性中的应用，属中档题其解题的一般

11、思路为：首先根据商函数求导法则可知化为；然后利用导数的正负性可判断函数在内的单调性；再由可得函数在内的正负性；最后结合奇函数的图像特征可得，函数在内的正负性，即可得出所求的解集4、B【解析】根据最小二乘法：a=y-b【详解】由题意得：x=2+3+4+5+6a=11-3.44=-2.6本题正确选项：B【点睛】本题考查利用最小二乘法求解回归直线问题，关键在于明确回归直线必过x,y，因此代入点x,5、A【解析】根据三视图的特点可以分析该物体是一个直三棱柱，即可求得体积.【详解】由三视图可得该物体是一个以侧视图为底面的直三棱柱，所以其体积为.故选：A【点睛】此题考查三视图的认识，根据三视图求几何体的体

12、积，关键在于准确识别三视图的特征.6、C【解析】先求出的外接圆的半径，然后取的外接圆的圆心，过作，且，由于平面，故点为三棱锥的外接球的球心，为外接球半径，求解即可.【详解】在中，可得，则的外接圆的半径，取的外接圆的圆心，过作，且，因为平面，所以点为三棱锥的外接球的球心，则，即外接球半径，则三棱锥的外接球的表面积为.故选C.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球表面积的求法，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.7、A【解析】否定结论，同时“至少有一个”改为“全部”【详解】因为“a，b，c至少有一个不大于2”的否定是“a，b，c都大于2”，故选A.【点睛】本题考查反证法，在反证法中假设命题反面成立时，

13、结论需要否定的同时，“至少”，“至多”，“都”等词语需要改变8、A【解析】设，可分别用表示，进而可得到的表达式，构造函数，通过求导判断单调性可求出的最大值.【详解】设，则,则，故.令，则，因为时，和都是减函数，所以函数在上单调递减.由于，故时，；时，.则当时，取得最大值，.即的最大值为.故答案为A.【点睛】构造函数是解决本题的关键，考查了利用导数研究函数的单调性与最值，考查了学生分析问题、解决问题的能力与计算能力，属于难题.9、D【解析】对函数进行求导得出在上单调递增，而根据即可得出，从而得出，从而得出选项【详解】，由于时，函数在上单调递增，由于，故，所以，而，所以，故选D.【点睛】本题主要考

14、查增函数的定义，根据导数符号判断函数单调性的方法，以及积的函数的求导，属于中档题.10、C【解析】分两步，第一步，将每一个家庭的内部成员进行全排列；第二步，将这三个家庭进行排列【详解】先将每一个家庭的内部成员进行全排列，有种可能然后将这三个家庭（ 家庭当成一个整体）进行排列，有种可能所以共有种情况故选：C【点睛】本题考查的是排列问题，相邻问题常用捆绑法解决.11、A【解析】设切点的横坐标为t，利用切点与点M连线的斜率等于曲线C在切点处切线的斜率，利用导数建立有关t的方程，得出t的值，再由MA=MB得出两切线的斜率之和为零，于此得出a的值，再利用导数求出函数【详解】设切点坐标为(t,2t3+at

15、+a)，y=6解得t=0或t=-32.|MA|=|MB|，y则a=-274，f(x)=6x2-274.当x【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的极值点，在处理过点作函数的切线时，一般要设切点坐标，利用切线与点连线的斜率等于切线的斜率，考查计算能力，属于中等题。12、A【解析】由题意可得当时不成立，当时，满足求出的范围，从而求出，再求出，根据是的充分不必要条件，即可求解.【详解】由命题在上递减，当时，不满足题意，当时，则，所以：，由命题，则：，由因为是的充分不必要条件，所以.故选：A【点睛】本题考查了由充分不必要条件求参数的取值范围以及考查了二次函数的图像与性质，同时考查了学生的逻

16、辑推理能力，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、6【解析】根据题意作出图形，用正弦定理解出角，可得刚好构成直角三角形，可得答案.【详解】根据题意作出图形，如图.设向正东方向走千米到处，然后向南偏西的方向走3千米到处.即,由正弦定理得：.所以 又,所以.所以，则.所以.则.故答案为：6【点睛】本题考查了正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题14、【解析】分析：根据方程性质、回归方程性质及其含义、卡方含义确定命题真假.详解：由方差的性质知正确；由线性回归方程的特点知正确； 回归方程若变量增加一个单位时，则平均减少5个单位；曲线上的点与该点的坐标之间不一定具有相

17、关关系；在一个列联表中，由计算得，只能确定两个变量之间有相关关系的可能性，所以均错误点睛：本题考查方程性质、回归方程性质及其含义、卡方含义，考查对基本概念理解与简单应用能力.15、.【解析】分析：连接，三角形是直角三角形，根据正方形的性质得到线面垂直进而得到线线垂直.详解：连接，三角形是直角三角形，根据正方形的性质得到， ，而 于点，故垂直于面，进而得到.故两者夹角为.故答案为.点睛：这个题目考查的是异面直线的夹角的求法；常见方法有：将异面直线平移到同一平面内，转化为平面角的问题；或者证明线面垂直进而得到面面垂直，这种方法适用于异面直线垂直的情况.16、【解析】分析：所求概率为 ，计算即得结论

18、；利用取到红球次数 可知其方差为 ；通过每次取到红球的概率 可知所求概率为 详解：从中任取3球，恰有一个白球的概率是，故正确；从中有放回的取球6次，每次任取一球，取到红球次数，其方差为，故正确；从中有放回的取球3次，每次任取一球，每次取到红球的概率，至少有一次取到红球的概率为，故正确故答案为：点睛：本题主要考查命题的真假判断，涉及概率的计算，考查学生的计算能力三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、 (1)3600种；(2)720种；(3)1440种；(4)840种；(5)630种【解析】先特殊后一般【详解】(1)； (2)(3) ；(4)(5)【点睛】本题考查排列

19、组合，思想先特殊后一般属于简单题18、（1）；（2）（i）1683；（ii）.【解析】（1）根据频率分布直方图得到16分，17分，18分的人数，再根据古典概率的计算公式求解（2）根据离散型随机变量的分布列和数学期望与方差的公式进行求解【详解】（1）设“两人得分之和小于35分”为事件，则事件包括以下四种情况：两人得分均为16分；两人中一人16分，一人17分；两人中一人16分，一人18分；两人均17分.由频率分布直方图可得，得16分的有6人，得17分的有12人，得18分的有18人，则由古典概型的概率计算公式可得.所以两人得分之和小于35的概率为.（2）由频率分布直方图可得样本数据的平均数的估计值为

20、：（个）.又由，得标准差，所以高二年级全体学生的跳绳个数近似服从正态分布.（i）因为，所以，故高二年级一分钟跳绳个数超过164个的人数估计为（人）.（ii）由正态分布可得，全年级任取一人，其每分钟跳绳个数在179以上的概率为，所以，的所有可能的取值为0，1，2，3.所以，故的分布列为：0123所以，.【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题、正态分布的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与期望的计算问题19、 () ；()【解析】（I）由题意把代入导函数，导函数得0，即可求的值；（II）由题意等价转化为函数在区间上有三个零点问题，转化为求函数在定义域下求极值，列关于a的不等式求解【详解】

21、()依题意得,所以，是函数的极值点，得f(2)=0，解得或（舍去），故，() 函数有3个零点,即方程有三个不同实根，因为所以有三个不等实根，令，令，解得，在单调递增，单调递减，单调递增，所以为的极值点，根据函数有3个零点,需满足，解得，的取值范围为.【点睛】本题考查函数零点个数求参数的取值范围,通常利用转化思想将函数进行转化成等价函数或者方程根的问题，利用导数研究函数的性质,根据条件列出不等式求解，考查数学思想方法的灵活应用，属于较难题.20、（1）见解析；（2）【解析】试题分析：由题意可证得两两垂直，建立空间直角坐标系求解（1）通过证明，可得（2）由题意可得平面的一个法向量为，又可求得平面的法向量为，故可求得，结合图形可得平面与平面所成的二面角为锐角，由此可得所求余弦值试题解析：（1）平面平面平面，又，两两垂直，以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，；（2）由已知，得是平面的一个法向量，设平面的法向量为，由，得，令，得.，由图形知，平面与平面所