经典单方程计量经济学模型一元线性回归模型

1、PAGE PAGE 27第二章 经典典单方程计量量经济学模型型：一元线性性回归模型一、内容提要本章介绍了回归归分析的基本本思想与基本本方法。首先先，本章从总总体回归模型型与总体回归归函数、样本本回归模型与与样本回归函函数这两组概概念开始，建建立了回归分分析的基本思思想。总体回回归函数是对对总体变量间间关系的定量量表述，由总总体回归模型型在若干基本本假设下得到到，但它只是是建立在理论论之上，在现现实中只能先先从总体中抽抽取一个样本本，获得样本本回归函数，并并用它对总体体回归函数做做出统计推断断。本章的一个重点点是如何获取取线性的样本本回归函数，主主要涉及到普普通最小二乘乘法（OLSS）的学习与与

2、掌握。同时时，也介绍了了极大似然估估计法（MLL）以及矩估估计法（MMM）。本章的另一个重重点是对样本本回归函数能能否代表总体体回归函数进进行统计推断断，即进行所所谓的统计检检验。统计检检验包括两个个方面，一是是先检验样本本回归函数与与样本点的“拟合优度”，第二是检检验样本回归归函数与总体体回归函数的的“接近”程度。后者者又包括两个个层次：第一一，检验解释释变量对被解解释变量是否否存在着显著著的线性影响响关系，通过过变量的t检检验完成；第第二，检验回回归函数与总总体回归函数数的“接近”程度，通过过参数估计值值的“区间检验”完成。本章还有三方面面的内容不容容忽视。其一一，若干基本本假设。样本本回

3、归函数参参数的估计以以及对参数估估计量的统计计性质的分析析以及所进行行的统计推断断都是建立在在这些基本假假设之上的。其其二，参数估估计量统计性性质的分析，包包括小样本性性质与大样本本性质，尤其其是无偏性、有有效性与一致致性构成了对对样本估计量量优劣的最主主要的衡量准准则。Gosss-marrkov定理理表明OLSS估计量是最最佳线性无偏偏估计量。其其三，运用样样本回归函数数进行预测，包包括被解释变变量条件均值值与个值的预预测，以及预预测置信区间间的计算及其其变化特征。二、典型例题分分析例1、令kidds表示一名名妇女生育孩孩子的数目，eeduc表示示该妇女接受受过教育的年年数。生育率率对教育年

4、数数的简单回归归模型为（1）随机扰动动项包含什么么样的因素？它们可能与与教育水平相相关吗？（2）上述简单单回归分析能能够揭示教育育对生育率在在其他条件不不变下的影响响吗？请解释释。解答：（1）收入、年年龄、家庭状状况、政府的的相关政策等等也是影响生生育率的重要要的因素，在在上述简单回回归模型中，它它们被包含在在了随机扰动动项之中。有有些因素可能能与增长率水水平相关，如如收入水平与与教育水平往往往呈正相关关、年龄大小小与教育水平平呈负相关等等。（2）当归结在在随机扰动项项中的重要影影响因素与模模型中的教育育水平eduuc相关时，上上述回归模型型不能够揭示示教育对生育育率在其他条条件不变下的的影响

5、，因为为这时出现解解释变量与随随机扰动项相相关的情形，基基本假设4不不满足。例2已知回归归模型，式中中E为某类公公司一名新员员工的起始薪薪金（元），NN为所受教育育水平（年）。随随机扰动项的的分布未知，其其他所有假设设都满足。（1）从直观及及经济角度解解释和。（2）OLS估估计量和满足线性性性、无偏性及及有效性吗？简单陈述理理由。（3）对参数的的假设检验还还能进行吗？简单陈述理理由。解答：（1）为接受过过N年教育的的员工的总体体平均起始薪薪金。当N为为零时，平均均薪金为，因因此表示没有有接受过教育育员工的平均均起始薪金。是每单位N变化所引起的E的变化，即表示每多接受一年学校教育所对应的薪金增加

6、值。（2）OLS估估计量和仍满足线性性性、无偏性性及有效性，因因为这些性质质的的成立无无需随机扰动动项的正态分分布假设。（3）如果的分分布未知，则则所有的假设设检验都是无无效的。因为为t检验与FF检验是建立立在的正态分分布假设之上上的。 例3、在在例2中，如如果被解释变变量新员工起起始薪金的计计量单位由元元改为1000元，估计的的截距项与斜斜率项有无变变化？如果解解释变量所受受教育水平的的度量单位由由年改为月，估估计的截距项项与斜率项有有无变化？ 解答：首先考察被解释释变量度量单单位变化的情情形。以E*表示以百元元为度量单位位的薪金，则则由此有如下新模模型或 这里，。所以新新的回归系数数将为原

7、始模模型回归系数数的1/1000。 再考虑虑解释变量度度量单位变化化的情形。设设N*为用月月份表示的新新员工受教育育的时间长度度，则N*=12N，于于是或 可见，估计的截截距项不变，而而斜率项将为为原回归系数数的1/122。例4、对没有截截距项的一元元回归模型称之为过原点回回归（reggrissiion thhroughh the origiin）。试证证明（1）如果通过过相应的样本本回归模型可可得到通常的的的正规方程程组 则可以得到的的两个不同的的估计值： ， 。 （2）在在基本假设下下，与均为无偏估估计量。 （3）拟拟合线通常不不会经过均值值点，但拟合合线则相反。 （4）只只有是的OLS估

8、估计量。解答：（1）由第一个个正规方程 得 或 求解得 由第22个下规方程程得 求解得 （2）对于，求求期望 这里用到了的非非随机性。 对对于，求期望望 （3）要想拟合合值通过点，必须等于。但但，通常不等等于。这就意意味着点不太太可能位于直直线上。相反地，由于，所所以直线经过过点。（4）OLS方方法要求残差差平方和最小小Min 关于求偏导得 即 可见是OLS估估计量。例5假设模型型为。给定个观察察值，按如下步步骤建立的一一个估计量：在散点图上上把第1个点点和第2个点点连接起来并并计算该直线线的斜率；同同理继续，最最终将第1个个点和最后一一个点连接起起来并计算该该条线的斜率率；最后对这这些斜率取

9、平平均值，称之之为，即的估计值值。（1）画出散点点图，给出的的几何表示并并推出代数表表达式。（2）计算的期期望值并对所所做假设进行行陈述。这个个估计值是有有偏的还是无无偏的？解释释理由。（3）证明为什什么该估计值值不如我们以以前用OLSS方法所获得得的估计值，并并做具体解释释。解答：（1）散点图如如下图所示。 （XX2,Y2） （Xn,Yn） （X1,Y1）首先计算每条直直线的斜率并并求平均斜率率。连接和的直线斜率率为。由于共共有1条这这样的直线，因因此（2）因为X非非随机且，因因此这意味着求和中中的每一项都都有期望值，所所以平均值也也会有同样的的期望值，则则表明是无偏偏的。（3）根据高斯斯马

10、尔可夫夫定理，只有有的OLS估估计量是最付付佳线性无偏偏估计量，因因此，这里得得到的的有效效性不如的OOLS估计量量，所以较差差。例6对于人均均存款与人均均收入之间的的关系式使用用美国36年年的年度数据据得如下估计计模型，括号号内为标准差差：0.5388（1）的经济解解释是什么？（2）和的符号号是什么？为为什么？实际际的符号与你你的直觉一致致吗？如果有有冲突的话，你你可以给出可可能的原因吗吗？（3）对于拟合合优度你有什什么看法吗？（4）检验是否否每一个回归归系数都与零零显著不同（在在1%水平下下）。同时对对零假设和备备择假设、检检验统计值、其其分布和自由由度以及拒绝绝零假设的标标准进行陈述述。

11、你的结论论是什么？解答： （1）为为收入的边际际储蓄倾向，表表示人均收入入每增加1美美元时人均储储蓄的预期平平均变化量。 （2）由由于收入为零零时，家庭仍仍会有支出，可可预期零收入入时的平均储储蓄为负，因因此符号应为为负。储蓄是是收入的一部部分，且会随随着收入的增增加而增加，因因此预期的符符号为正。实实际的回归式式中，的符号号为正，与预预期的一致。但但截距项为负负，与预期不不符。这可能能与由于模型型的错误设定定形造成的。如如家庭的人口口数可能影响响家庭的储蓄蓄形为，省略略该变量将对对截距项的估估计产生影响响；另一种可可能就是线性性设定可能不不正确。 （3）拟拟合优度刻画画解释变量对对被解释变量

12、量变化的解释释能力。模型型中53.88%的拟合优优度，表明收收入的变化可可以解释储蓄蓄中53.88 %的变动动。（4）检验单个个参数采用tt检验，零假假设为参数为为零，备择假假设为参数不不为零。双变变量情形下在在零假设下tt 分布的自自由度为n-2=36-2=34。由由t分布表知知，双侧1%下的临界值值位于2.7750与2.704之间间。斜率项计计算的t值为为0.0677/0.0111=6.009，截距项项计算的t值值为384.105/1151.1005=2.554。可见斜斜率项计算的的t 值大于于临界值，截截距项小于临临界值，因此此拒绝斜率项项为零的假设设，但不拒绝绝截距项为零零的假设。三、

13、习题（一）基本知识识类题型2-1解释下下列概念：总体回归函数样本回归函数随机的总体回归归函数线性回归模型随机误差项（uui）和残差项项（ei）条件期望非条件期望回归系数或回归归参数回归系数的估计计量最小平方法最大似然法估计量的标准差差总离差平方和回归平方和残差平方和协方差拟合优度检验t检验F检验2-2判断正正误并说明理理由：随机误差项uii和残差项eei是一回事总体回归函数给给出了对应于于每一个自变变量的因变量量的值线性回归模型意意味着变量是是线性的在线性回归模型型中，解释变变量是原因，被被解释变量是是结果随机变量的条件件均值与非条条件均值是一一回事2-3回答下下列问题：线性回归模型有有哪些基

14、本假假设？违背基基本假设的计计量经济学模模型是否就不不可估计？总体方差与参数数估计误差的的区别与联系系。随机误差项uii和残差项eei的区别与联联系。根据最小二乘原原理，所估计计的模型已经经使得拟合误误差达到最小小，为什么还还要讨论模型型的拟合优度度问题？为什么用决定系系数R2评价拟合优优度，而不用用残差平方和和作为评价标标准？R2检验与F检检验的区别与与联系。回归分析与相关关分析的区别别与联系。最小二乘法和最最大似然法的的基本原理各各是什么？说说明它们有何何区别？为什么要进行解解释变量的显显著性检验？是否任何两个变变量之间的关关系，都可以以用两变量线线性回归模型型进行分析？2-2下列方方程哪

15、些是正正确的？哪些些是错误的？为什么？ 其中带“”者者表示“估计值”。2-3下表列列出若干对自自变量与因变变量。对每一一对变量，你你认为它们之之间的关系如如何？是正的的、负的、还还是无法确定定？并说明理理由。因变量自变量GNP利率个人储蓄利率小麦产出降雨量美国国防开支前苏联国防开支支棒球明星本垒打打的次数其年薪总统声誉任职时间学生计量经济学学成绩其统计学成绩日本汽车的进口口量美国人均国民收收入（二）基本证明明与问答类题题型2-4对于一一元线性回归归模型，试证证明：（1）（2）（3） 2-5参数估估计量的无偏偏性和有效性性的含义是什什么？从参数数估计量的无无偏性和有效效性证明过程程说明，为什什么

16、说满足基基本假设的计计量经济学模模型的普通最最小二乘参数数估计量才具具有无偏性和和有效性？2-6对于过过原点回归模模型 ，试证证明2-7 试证证明：（1），从而：（2）（3）；即残差差与的估计值之之积的和为零零。2-8为什么么在一元线性性方程中，最最小二乘估计计量与极大似似然估计量的的表达式是一一致的？证明明：2的ML估计计量为 ，并且是是有偏的。2-9熟悉tt统计量的计计算方法和查查表判断。2-10证明明： ；其中R2是一元线性性回归模型的的判定系数，是y与x的相关系数。2-11 试试根据置信区区间的概念解解释t检验的的概率意义，即即证明：对于于显著性水平平，当时，bi的100（11-）%的

17、置信信区间不包含含0。2-12线性性回归模型 的0均值假设是是否可以表示示为？为什么么？2-13现代代投资分析的的特征线涉及及如下回归方方程：；其中中：r表示股股票或债券的的收益率；rrm表示有价证证券的收益率率（用市场指指数表示，如如标准普尔5500指数）；t表示时间间。在投资分分析中，1被称为债券券的安全系数数，是用来度度量市场的风风险程度的，即即市场的发展展对公司的财财产有何影响响。依据1995619976年间2240个月的的数据，Foogler和和Ganpaathy得到到IBM股票票的回归方程程；市场指数数是在芝加哥哥大学建立的的市场有价证证券指数： (0.30001) (0.0772

18、8) 要求：（1）解解释回归参数数的意义；（22）如何解释释r2？（3）安安全系数1的证券券称为不稳定定证券，建立立适当的零假假设及备选假假设，并用tt检验进行检检验（=5%）。2-14 已已知模型，证证明：估计量量可以表示为为： 这这里2-15已知知两个量X和和Y的一组观观察值（xii，yi），i=11，2，n。证明：Y的真实实值和拟合值值有共同的均均值。2-16一个个消费分析者者论证了消费费函数是无用用的，因为散散点图上的点点（，）不在直线线上。他还注注意到，有时时Yi上升但Ci下降。因此此他下结论：Ci不是Yi的函数。请请你评价他的的论据（这里里Ci是消费，YYi是收入）。2-17证明明

19、：仅当R22=1时，yy对x的线性性回归的斜率率估计量等于于x对y的线线性回归的斜斜率估计量的的倒数。2-18证明明：相关系数数的另一个表表达式是： 其中为为一元线性回回归模型一次次项系数的估估计值，Sxx、Sy分别为样本本标准差。2-19对于于经济计量模模型： ，其其OLS估计计参数的特性性在下列情况况下会受到什什么影响：（11）观测值数数目n增加；（2）Xii各观测值差差额增加；（33）Xi各观观测值近似相相等；（4）EE（u2）=0 。2-20假定定有如下的回回归结果：，其其中，Y表示示美国的咖啡啡的消费量（每每天每人消费费的杯数），XX表示咖啡的的零售价格（美美元/杯），tt表示时间。

20、要求：（1）这是一个个时间序列回回归还是横截截面序列回归归？做出回归归线；（2）如何解释释截距的意义义，它有经济济含义吗？如如何解释斜率率？（3）能否求出出真实的总体体回归函数？（4）根据需求求的价格弹性性定义：弹性性=斜率（X/Y），依依据上述回归归结果，你能能求出对咖啡啡需求的价格格弹性吗？如如果不能，计计算此弹性还还需要其他什什么信息？（三）基本计算算类题型2-21下面面数据是对XX和Y的观察察值得到的。Yi=11110； Xi=16800； XiYi=2042200Xi2=3115400； Yi2=1333300假定满足所有的的古典线性回回归模型的假假设，要求：（1）b11和b2？（2

21、）bb1和b2的标准差？（3）r22？（4）对对B1、B2分别建立995%的置信信区间？利用用置信区间法法，你可以接接受零假设：B2=0吗？2-22假设设王先生估计计消费函数（用用模型表示），并并获得下列结结果：，n=19 （3.1） (18.77) R2=0.988 这里里括号里的数数字表示相应应参数的T比比率值。要求：（1）利利用T比率值值检验假设：b=0（取取显著水平为为5%）；（22）确定参数数估计量的标标准方差；（33）构造b的的95%的置置信区间，这这个区间包括括0吗？2-23下表表给出了每周周家庭的消费费支出Y（美美元）与每周周的家庭的收收入X（美元元）的数据。每周收入（X）每周

22、消费支出（YY）8055，60，665，70，77510065，70，774，80，885，8812079，84，990，94，99814080，93，995，1033，108，1113，1115160102，1077，110，1116，1118，1255180110，1155，120，1130，1335，1400200120，1366，140，1144，1445220135，1377，140，1152，1557，1600，162240137，1455，155，1165，1775，1899260150，1522，175，1178，1880，1855，191 要求：（1）对每一收收入水平，计计算

23、平均的消消费支出，EE（YXii），即条件件期望值；（2）以收入为为横轴、消费费支出为纵轴轴作散点图；（3）在散点图图中，做出（11）中的条件件均值点；（4）你认为XX与Y之间、XX与Y的均值值之间的关系系如何？（5）写出其总总体回归函数数及样本回归归函数；总体体回归函数是是线性的还是是非线性的？2-24根据据上题中给出出的数据，对对每一个X值值，随机抽取取一个Y值，结结果如下：Y70659095110115120140155150X80100120140160180200220240260要求：（1）以Y为纵纵轴、X为横横轴作图，并并说明Y与XX之间是怎样样的关系？（2）求样本回回归函数，并

24、并按要求写出出计算步骤；（3）在同一个个图中，做出出样本回归函函数及从上题题中得到的总总体回归函数数；比较二者者相同吗？为为什么？2-25下表表给出了1999019996年间的的CPI指数数与S&P5500指数。年份CPIS&P500指指数1990130.7334.591991136.2376.181992140.3415.741993144.5451.411994148.2460.331995152.4541.641996159.6670.83资料来源：总统统经济报告，11997，CCPI指数见见表B-600，第3800页；S&PP指数见表BB-93，第第406页。要求：（1）以以CPI指数

25、数为横轴、SS&P指数为为纵轴做图；（2）你认为CCPI指数与与S&P指数数之间关系如如何？（3）考虑下面面的回归模型型：，根据表表中的数据运运用OLS估估计上述方程程，并解释你你的结果；你你的结果有经经济意义吗？2-26下表表给出了美国国30所知名名学校的MBBA学生19994年基本本年薪（ASSP）、GPPA分数（从从14共四四个等级）、GGMAT分数数以及每年学学费的数据。学校ASP/美元GPAGMAT学费/美元Harvardd1026303.465023894Stanforrd1008003.366521189Columbiian1004803.364021400Dartmouuth9

26、54103.466021225Whartonn899303.465021050Northweesternn846403.364020634Chicagoo832103.365021656MIT805003.565021690Virginiia742803.264317839UCLA740103.564014496Berkeleey719703.264714361Cornelll719703.263020400NUY706603.263020276Duke704903.362321910Carnegiie Meellon598903.263520600North CCaroliina698803

27、.262110132Michigaan678203.263020960Texas618903.36258580Indianaa585203.261514036Purdue547203.25819556Case Weesternn572003.159117600Georgettown698303.261919584Michigaan Staate418203.259016057Penn Sttate491203.258011400Southerrn Metthodisst609103.160018034Tulane440803.160019550Illinoiis471303.261612628

28、Lowa416203.25909361Minnesoota482503.260012618Washinggton441403.361711436要求：（1）用用双变量回归归模型分析GGPA是否对对ASP有影影响？（2）用合适的的回归模型分分析GMATT分数是否与与ASP有关关？（3）每年的学学费与ASPP有关吗？你你是如何知道道的？如果两两变量之间正正相关，是否否意味着进到到最高费用的的商业学校是是有利的；（4）你同意高高学费的商业业学校意味着着高质量的MMBA成绩吗吗？为什么？2-27从某某工业部门抽抽取10个生生产单位进行行调查，得到到下表所列的的数据：单位序号年产量（万吨）yy工作人员数

29、（千千人）x1210.87.0622210.17.0313211.57.0184208.96.9915207.46.9746205.37.9537198.86.9278192.16.3029183.26.02110176.85.310要求：假定年产产量与工作人人员数之间存存在线性关系系，试用经典典回归估计该该工业部门的的生产函数及及边际劳动生生产率。2-28下表表给出了19988年9个个工业国的名名义利率（YY）与通货膨膨胀率（X）的的数据：国家Y（%）X（%）澳大利亚11.97.7加拿大9.44.0法国7.53.1德国4.01.6意大利11.34.8墨西哥66.351.0瑞典2.22.0英国

30、10.36.8美国7.64.4资料来源：原始始数据来自国国际货币基金金组织出版的的国际金融融统计要求：（1）以利率为为纵轴、通货货膨胀率为横横轴做图；（2）用OSLL进行回归分分析，写出求求解步骤；（3）如果实际际利率不变，则则名义利率与与通货膨胀率率的关系如何何？（四）自我综合合练习类题型型2-29综合合练习：自己己选择研究对对象，收集样样本数据（利利用我国公开开发表的统计计资料），应应用计量经济济学软件（建建议使用Evviews33.1）完成成建立计量经经济学模型的的全过程，并并写出详细的的研究报告。（通通过练习，能能够熟练应用用计量经济学学软件Eviiews3.1中的最小小二乘法）四、习

31、题参考答答案2-1答： = 1 * GB2 总体体回归函数是是指在给定下下的的分布的的总体均值与与有函数关系系。 = 2 * GB2 样本本回归函数指指对应于某个个给定的的值的一个样样本而建立的的回归函数。 = 3 * GB2 随随机的总体回回归函数指含含有随机误差差项的总体回回归函数，形形如： = 4 * GB2 线性性回归模型指指对参数为线线性的回归，即即只以它的11次方出现，对对可以是或不不是线性的。 = 5 * GB2 随机机误差项也称称误差项，是是一个随机变变量，针对总总体回归函数数而言。 = 6 * GB2 残差差项是一随机机变量，针对对样本回归函函数而言。 = 7 * GB2 条

32、件件期望又称条条件均值，指指取特定值时的的的期望值。 = 9 * GB2 回归归系数（或回回归参数）指指、等未知但却却是固定的参参数。 = 10 * GB2 回归归系数的估计计量指用、等表示的用用已知样本所所提供的信息息去估计出来来的量。 = 13 * GB2 估计计量的标准差差指度量一个个变量变化大大小的标准。 = 14 * GB2 总离离差平方和用用TSS表示示，用以度量量被解释变量量的总变动。 = 15 * GB2 回归归平方和用EESS表示，用用以度量由解解释变量变化化引起的被解解释变量的变变化。 = 16 * GB2 残差差平方和用RRSS表示，用用以度量实际际值与拟合值值之间的差异异，是由除解解释变量以外外的其他因素素引起的。 = 17 * GB2 协方方差用Covv（X，Y）表表示，是用来来度量X、YY二个变量同同时变化的统统计量。2-2答：错错；错；错；错；错。（理理由见本章其其他习题答案案）2-3答： = 1 * GB2 线性回归模型型的基本假设设（实际是针针对普通最小小二乘法的基基本假设）是是：解释变量量是确定性变变量，而且解解释变量之间间互不相关；随机误差项项具有0均值值和同方差；随机误差项项在不同样本本点之间是独独立的，不存存在序列相关关；随机误差差项与解释变变量之间不相相关；随机误误差项服从00均值、