全等中的动点

1、全等三角形之动点问题典型例题：如图1，点P、Q分别是等边ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M（1）求证：ABQCAP；（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数练习题：1.（2016山东省济宁市3分）如图，ABC中，ADBC，CEAB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件： ，使AEHC

2、EB 2.如图，已知ABC中，AB=AC=12厘米，BC=9厘米，点D为AB的中点（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒得速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，1秒钟时，BPD与CQP是否全等，请说明理由；若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPDCQP？(2)若点Q以(1)中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC的哪条边上相遇？3. 如图，边长为6的等边三角形ABC中，D是AB边上的一动点，由A向B运动（A、B不重合

3、），F是BC延长线上的一动点，与D同时以相同的速度由C向BC延长线方向运动（与C不重合），过点D作DEAC，连接DF交AC于G（1）当点D运动到AB的中点时，直接写出AE的长；（2）当DFAB时，求AD的长；（3）在运动过程中线段GE的长是否发生变化？如果不变，求出线段GE的长；如果发生改变请说明理由课后作业：1.如图，在RtABC中，BAC900 ，AB=4，AC=10，PQ=BC，P、Q分别在AC和AB的反向延长线上移动，当PC等于多少时，ABCAPQ。2如图，在RtABC中，B900，AB=6，BC=8，过点C作 CFBC，点D、E分别在BC、CF上移动，且始终保持DE=AC，当CD等于

4、多少时，ABC与DCE全等。3.如图，AB=2，BC=5，ABBC于点B，QCBC于点C,点P从点B开始沿射线BC移动，过点P作PQPA，交直线L于点Q。 求证：A=QPC 当点P运动到何处时，PA=PQ，并说明理由。4.（2015秋龙海市期末）如图，在ABC中，AB=AC=2，B=40，点D在线段BC上运动（不与B、C重合），连接AD，作ADE=40，DE交线段AC于点E（1）当ADB=115时，BAD= ，DEC= ；（2）线段DC的值为多少时，ABD与DCE全等？请说明理由；（3）在点D的运动过程中，ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出ADB的度数；若不可以，请说明理由参考

5、答案：例题：【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证明ABQCAP；（2）由ABQCAP根据全等三角形的性质可得BAQ=ACP，从而得到QMC=60；（3）由ABQCAP根据全等三角形的性质可得BAQ=ACP，从而得到QMC=120【解答】（1）证明：ABC是等边三角形，ABQ=CAP，AB=CA，又点P、Q运动速度相同，AP=BQ，在ABQ与CAP中，ABQCAP（SAS）；（2）解：点P、Q在运动的过程中，QMC不变 理由：ABQCAP，BAQ=ACP，QMC=ACP+MAC，QMC=BAQ+MAC=BAC=60（6分）（3）解：点P

6、、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，QMC不变（7分）理由：ABQCAP，BAQ=ACP，QMC=BAQ+APM，QMC=ACP+APM=180PAC=18060=120【点评】主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识当堂巩固：1. AH=CB或EH=EB或AE=CE（只要符合要求即可）2. 【考点】全等三角形的判定【专题】动点型【分析】（1）先求得BP=CQ=3，PC=BD=6，然后根据等边对等角求得B=C，最后根据SAS即可证明；因为VPVQ，所以BPCQ，又B=C，要使BPD与CQP全等，只能BP=CP=4.5，根据全等得出CQ=BD=6，然后根据运动速度求得运

7、动时间，根据时间和CQ的长即可求得Q的运动速度；（2）因为VQVP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得【解答】解：（1）t=1（秒），BP=CQ=3（厘米）AB=12，D为AB中点，BD=6（厘米）又PC=BCBP=93=6（厘米）PC=BD。AB=AC，B=C，在BPD与CQP中，BPDCQP（SAS），VPVQ，BPCQ，又B=C，要使BPDCPQ，只能BP=CP=4.5，BPDCPQ，CQ=BD=6点P的运动时间t=1.5（秒），此时VQ=4（厘米/秒）（2）因为VQVP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程设经过x秒后

8、P与Q第一次相遇，依题意得4x=3x+212，解得x=24（秒）此时P运动了243=72（厘米）又ABC的周长为33厘米，72=332+6，点P、Q在BC边上相遇，即经过了24秒，点P与点Q第一次在BC边上相遇【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，以及数形结合思想的运用，解题的根据是熟练掌握三角形全等的判定和性质3. 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质【分析】（1）由点D运动到AB的中点时，于是得到AD=AB=3，根据等边三角形的性质得到A=60，求得ADE=30，根据直角三角形的性质即可得到结论；（2）由点D、F同时运动且速度相同，得到AD=CF，求出AG

9、D=CGF=30，F=30，于是得到CF=CG=AD，设AD=CG=CF=x，则AG=2x，列方程即可得到结论；（3）当点D、F同时运动且速度相同时，线段GE的长度不会改变理由如下：作FQAC，交直线AC的延长线于点Q，连接FE，DQ，由点D、F速度相同，得到AD=CF，根据等边三角形的性质得到A=ABC=QCF=60，推出ADECFQ（AAS），根据全等三角形的性质得到AE=CQ，DE=QF且DEQF，证得四边形DEFQ是平行四边形，根据平行四边形的性质得到GE=EQ，推出GE=AC，即可得到结论【解答】解：（1）点D运动到AB的中点时，AD=AB=3，A=60，DEAC，ADE=30，AE

10、=AD=；（2）点D、F同时运动且速度相同，AD=CF，DFAB，A=60，AGD=CGF=30，B=60，F=30，CGF=F，CF=CG=AD，设AD=CG=CF=x，则AG=2x，AG+CG=2x+x=3x=6，x=2，AD=2；（3）当点D、F同时运动且速度相同时，线段GE的长度不会改变理由如下：作FQAC，交直线AC的延长线于点Q，连接FE，DQ，又DEAB于E，GQF=AED=90，点D、F速度相同，AD=CF，ABC是等边三角形，A=ABC=QCF=60，在ADE和CFQ中，AED=CQF=90，AED=CQF，在ADE和CQF中，ADECFQ（AAS），AE=CQ，DE=QF且

11、DEQF，四边形DEFQ是平行四边形，GE=EQ，EC+AE=CE+CQ=AC，GE=AC，又等边ABC的边长为6，GE=3，点D、F同时运动且速度相同时，线段GE的长度不会改变【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，直角三角形的性质的应用，能推出两三角形全等是解此题的关键课后作业参考答案：三角形ABC与三角形APQ全等，（1）ABCAPQ时,AP=AB=4,则CP=AC+AP=14。（2）ABCAQP时,AP=AC=10,则CP=AC+AP=20。2. 解：ABC与DCF全等，DE=AC，分两种情况：AB与CD是对应边时，CD=AB=6；AM与AC是对

12、应边时，CD=BC=8；综上所述：当CD=6或8时，ABC与DCF全等；故答案为：6或8【点评】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，主要利用了全等三角形对应边相等的性质，难点在于要分情况讨论3. 解：（1）证明：PQAP，ABP=90，APB+QPC=90，ABBC于点B，A+APB=90，A=QPC； （2）当P运动到离C处距离为2时，PA=PQ，证明：当PC=2时，PC=AB，在ABP与PCQ中，ABPPCQ（ASA），PA=PQ；同理，BP=7时，PC=2也符合，所以，点P运动到与点C距离为2时，PA=PQ【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及余角的性质：同角的余角相等，正确证明

13、A=QPC是关键4.【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定【分析】（1）利用邻补角的性质和三角形内角和定理解题；（2）当DC=2时，利用DEC+EDC=140，ADB+EDC=140，求出ADB=DEC，再利用AB=DC=2，即可得出ABDDCE（3）当BDA的度数为110或80时，ADE的形状是等腰三角形【解答】解：（1）B=40，ADB=115，BAD=180BADB=18011540=25，AB=AC，C=B=40，EDC=180ADBADE=25，DEC=180EDCC=115，故答案为：25，115；（2）当DC=2时，ABDDCE，理由：C=40，DEC+EDC=140，又ADE=40，ADB+EDC=140，ADB=DEC，又AB=DC=2，在ABD和DCE中，ABDDCE