2021年高考理科数学全国乙卷：答案解析

1、二零二一年（乙卷）理科数学（乙卷）答案详解适用地区为：河南、安徽、江西、山西、陕西、黑龙江、吉林、甘肃、内蒙古、青海、宁夏、新疆。一、选择题：本题共 小题，每小题 分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一125项是符合题目要求的。1.（复数）设zz)3(zz)4i，则zA.12iB.12iC.1iD.1i【答案】C【解析】设za，则22a34a4ai，ab1， z1i.2.（集合）已知集合 Sss2n1,nZ，Ttt4n1,nZ，则 STA.B.SC.TD.Z【答案】C【解析】ST，S TT.e 1，则下列命题中为真（简单逻辑）已知命题 pxRsinx1；命题qxR， x命题的是A.pq

2、B.pqC.pqD.(pq)【答案】A【解析】根据正弦函数的性质可知，命题 p 是真命题；对于任意 R， x 0，根据ex 1，故 q 是真命题，指数函数的性质可知， pq 是真命题，pq 是假命题，pq 是假命题，(pq)是假命题.1 xf(x)4.（函数）设函数A.f(x1)1，则下列函数中为奇函数的是1 xB.f(x1)1C.f(x1)1D.f(x1)1第 1 页 共 17 页二零二一年（乙卷）【答案】B1 x21，由此可知原函数 f(x)是由奇函数g(x)2f(x)【解析】x向左平移 11 x 1 x个单位再向下平移 1 个单位得到，故原函数 f(x)向右平移1个单位再向上平移1g(x

3、)2个单位即可得到x，故选 B.（立体几何）在正方体 ABCDA B C D 中，P 为 B D 的中点，则直线PB 与 AD 所成的1 111111角为A.346B.C.D.2【答案】D【解析】解法一：建立图 A5 左的直角坐标系，设 AB 为一个单位，A 为原点， 为x轴的正方向，为 y 轴的正方向，为 z B，11 11 1D P( , BP( , ，所以，故2 22 2111 21 3 , ，13 2 1212所成的角为 .直线 PB 与 AD16图 A5P、C B，计算出 C P、C B、BP 的长，在 C BP 中，解法二：如图A5右，连接C11111利用余弦定理，即可得到答案.

4、具体计算过程请同学们自己练习.第 2 页 共 17 页二零二一年（乙卷）（概率统计）将 5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶 4 个项目进行培训，每名志愿者只分到 1 个项目，每个项目至少分配 1 名志愿者，则不同的分配方案共有A.60 种B.120 种C.240 种D.480 种【答案】C【解析】故本任务可以分为两步完成：从5 名志愿者中任意选出 2 名，组成一个小组，其C种选法；再将四个小组分配2余 3 名志愿者各自为一个小组，共四个小组，有5AC A 种.2 4种排法. 故不同的分配方案共有到 4 个项目中，有445417.（函数）把函数 yf()图象上所有点的横坐

5、标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得4y sin x曲线向右平移 个单位长度，得到函数 的图像，则 f(x)3 x 7 x A. sinB. sin2 122 127 C. sin 2xD. sin 2x1212【答案】B【解析】由已知的函数y sin x逆向变换. 第一步：向左平移 个单位长度，得到43 y sin xsin x 的图象；第二步：图象上所有点的横坐标伸长到3 412x 原来的 2 倍，纵坐标不变，得到 ysin的图象，即为 yfx)的图象，所2 12x 2 12f(x) sin.以78.（概率统计）在区间（0,1）与（1,2）中各随机取1 个数，则两数之和大于4的概率为（

6、 ）742332929A.B.C.D.32【答案】B【解析】如图 A8 所示，设从区间(0,1)(1,2)中随机取出的数分别为 x、y，则所有结果构成 S 1 x,y |0 x1,1 y2，其面积为 设事件 A 表示两数之和区域为第 3 页 共 17 页二零二一年（乙卷）77 A , y |0 x 1,1 y 2,x y ，即图中的阴影大于 ，则构成的区域为44S231 3 3 23P()SS 1 A，所以.部分，其面积为A322 4 4 32图 A8（三角函数）魏晋时期刘徽撰写的海岛算经是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高。如图，点E、HG 在水平线 AC 上，DE 和 FG 是两

7、个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和 EH 都称为“表目距”，GC与 EH 的差称为“表目距的差”。则海岛的高 AB表高 表距表高 表距A.C.B.D.表高表距表高表距表目距的差表目距的差表高 表距表高 表距表目距的差表目距的差【答案】A【解析】由平面相似可知，DE EH FG CG,，而DE FG，AB AH AB ACDE EH CG CG EH CG EH所以，AB AH AC AC AHCH而CH CEEH CGEH EG，即第 4 页 共 17 页二零二一年（乙卷）CGEH EGEGDECG EH表高表距ABDE DE 表高.CG EH表目

8、距的差10.（函数）设 a0，若 xa 为函数 f(x) a(xa) (xb)的极大值点，则2A. abB. abC. aba2D. aba2【答案】Df(x) a(xa) 为单调函数，无极值点，不符合题意，故 ab.3【解析】若 ab，则 f(x)有 xa 和 xb 两个不同零点，且在 xa 左右附近是不变号，在 b 左 xa 为函数 f(x)的极大值点，在 a 左右附近都是小于零的. 当 a0 时，由 xb， f(x)0，画出 f(x)的图象如图 A10 左所示，由图可知ba，a0，故 aba. 当 a0 时，由xb， f(x)0，画出 f(x)的图象如图 A10 右所示，由图可知ba，a

9、0，故 aba.综上所述，aba 成立.2x2 y211.（解析几何）设 B 是椭圆 C：1 （ab0）的上顶点，若 C 上的任意一点 Pa b22都满足 PB b，则 C 的离心率的取值范围是第 5 页 共 17 页二零二一年（乙卷） 2 121 A.1B.1C. 0D. 0，2222 【答案】CP(x ,y )，由B(0,b)，因为【解析】设 ，22200a002cb22 232PB2a 1y b022 ，bb2c0222因为，即时，即，符合，化简，即；，即时，即得，显然该不等式不成立故选 C12.（函数）设a 2In1.01，bIn1.02，c 1.041，则A. abc B. bca

10、C. bacD. ab【答案】D a 2In1.01In 1.01 In1.0201In1.02b，a b.【解析】2下面比较 c 与 a、b 的大小关系. f(x)2In(x1) 14x 1 ，则 f(0)0，记2 1 4x x 1 2214xx) 2xx x(2x)，由于22，即，所以 f(x)在 0,2 上单调递增，所以，即，即 ac；第 6 页 共 17 页二零二一年（乙卷）令，则，由于，在 0 时，所以，即函数在0，+)上单调递减，所以，即综上，ba.二、填空题：本题共 小题，每小题 分，共20分。45x2m13.（解析几何）已知双曲线 C：y 1 （m0）的一条渐近线为 3xmy0

11、，则 C2的焦距为.【答案】43 x3b23y【解析】由渐近线方程 3xmy0化简得 a2 m2，mm又双曲线中22213，解得m3，m0（舍去），c a b 4，2，故222故焦距 2c4.14.（平面向量）已知向量 a13），b（34ab）b.3【答案】53【解析】ab(1,34)，（ab）b，)4(34)0，解得 .515.（三角函数）记ABC 的内角 ABC 的对边分别为 ， ， ，面积为 ， ，a b c 3 B 60 a2c 3ac，则 b.2【答案】2 2第 7 页 共 17 页二零二一年（乙卷）113 3，解得ac4，S acsinB ac222a c ac12，则221b a

12、 c 2accosB 1224 8，由余弦定理有，2222解得b2 2 .16.（立体几何）以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.【答案】（答案不唯一，如）【解析】由题意结合所给的图形确定一组三视图的组合即可. 如图 A16 所示，长方体ABCD-A B C D 中，ABBC2，BB 1，E、F 分别为棱 B C 、BC 的中点，则1 11111 1三棱锥 E-ADF 的正视图为、侧视图为、俯视图为，故答案为.图 A16第 8 页 共 17 页二零二一年（乙卷） 题为必考题，70 17 21每个

13、试题考生都必须作答。第 、 题为选考题，考生根据要求作答。22 23（一）必考题：共 60 分。17.（概率统计）（12 分）某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 10 件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备10.310.410.010.110.210.010.010.610.110.510.210.49.7新设备 10.110.110.310.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 和 s2和s2s ，s ；（1）求x， y，2122（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果

14、 ，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.s 0.036，s 0.04；【答案】（1）x 10， y 10.3，2122（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.【解析】（1），.（2）依题意，第 9 页 共 17 页，所以，70 .【答案】（1） 2 ；（2）14【解析】（1因为 PD平面 ABCD，且矩形ABCD 中，ADDC，故以点 D 为坐标原点，DADC、DP 所在直线分别为 xyz 轴建立如图A18 的空间直角坐标系D-xyz，设 BC2a，则D(0,0,0) 、P(0,0,1)、B(2a,1,0) 、M(a,1,0)、 (2

15、a,0,0) ， 所以PB (2a,1,1)， AM (a,1,0) ，二零二一年（乙卷） 2，2PBMAa 1 0a ，解得2故BC a 2 .图 A18m (x ,y ,z )（2）设平面 PAM 的法向量为，111AM (2,1,0)， AP ( 2,0,1) ，由（1）有2 2m AMx y 0 2 x 2 ，可得m ( 2,1,2).1故，取11 m AP2x z 0 11n (x ,y ,z )设平面 PBM 的法向量为，222BM (2,0,0)，BP ( 2,1,1)，由（1）有22m BM 2y 1，可得n (0,1,1)2由，取，2 m BP 222 cos ,nm n33

16、 14则，m n 70 .，即二面角 A-PM-B 的正弦值为 ,n 12 ,n 14第 11 页 共 17 页二零二一年（乙卷）19.（数列）（12 分）为数列a 的前 n 项和，b 为数列S 的前 n 项积，已知2 12记 Sn .nnnS bnn（1）证明：数列b是等差数列；（2）求a的通项公式.3n 1， 2【答案】（1）证明见解析；（2）a.1n，n 2 n 1 n【解析】2 1b12 Sb ，b ，（1）证明：由已知 得 ，且0nS bb 12nnnnnnb3b Sb ，1由 ，解得1b 12111为数列S 的前 n 项积， bnnbbbb S S S S，12nb 1 b 1 b

17、 1n12n 1 n12nbbbbbn1S S S S，12nn 1b 1 b 1 b 1 b112n 1 n 112nn 1bb，n 1n 1bb 1nn 1bn 10又 ，121bbn b1，即 n 1 ，其中nN ，bn2n 131是以b 为首项，以d 为公差等差数列. 数列bn2213 1n b n1 1，n（2）由（1）可得，2 22b1S1 ，nb 1 n 1nn第 12 页 共 17 页二零二一年（乙卷）3a S ，2当 n=1 时，11111 a S S当 n2 时， 11 ，显然对于 n=1 不成立， n 1 nn 1nnnn1 3n 1， 2.故a1n，n 2 n 1 n2

18、0.（函数）（12 分）设函数 f (x) In(ax) ，已知 x0 是函数 y xf (x)的极值点.（1）求 a；x f (x)xf(x)g(x)（2）设函数，证明：g(x)1.【答案】（1）1；（2）证明见解析.【解析】xya x（1）由已知有 y xf (x) xIn(ax)，所以 In( )，x a x 0是函数 y xf (x)的极值点， yg(x)(x1且x 0)，（2）由（1）得 f(x)In(1x)， 设h(x) xIn(1x)xIn(1x) x 1x In(1x) (x1)，则h(0) 0，h(x)In(1x)， 当x0 时，1x1，In(1x) 0，xIn(1x)0，h

19、(x)In(1x)0 h(x)单调递减，h(x) h(0) 0，即xIn(1x)xIn(1x)0 ， xIn(1x) xIn(1x) ，第 13 页 共 17 页二零二一年（乙卷）x In(1 x) 当0 x1 时，01x1，In(1x)0 ，xIn(1x)0，h(x)In(1x)0 h(x)单调递增，h(x) h(0) 0，即xIn(1x)xIn(1x)0 ， xIn(1x) xIn(1x) ，综上所述，g(x)1.21.（解析几何）（12 分）己知抛物线 C：x 2py（p0）的焦点为 F，且F 与圆 M：x (y4) 1 上点的距离222的最小值为 4.（1）求 p；（2）若点 P 在 M 上，PA，PB 是 C 的两条切线，A，B 是切点，求PAB 的最大值.【答案】（1）2；（2）20 5.【解析】（1）抛物线 C 的焦点为，解得，对该函数求导得，2设点、，即，即，同理可知，直线 PB 的方程为，第 14 页 共 17 页二零二一年（乙卷），所以点 A、B 的坐标满足方程所以直线 AB 的方程为，联立，可得，所以，由已知可得时，PAB 的面积取最大值.（二）