2020年人教版八年级数学上册12.2-三角形全等的判定(4)-课件

人教版数学八年级上册12.2三角形全等的判定“斜边、直角边”定理人教版数学八年级上册12.2三角形全等的判定如图，Rt△ABC中，∠C=90°，直角边是_____、_____，斜边是______.CBAACBCAB思考前面学过的四种判定三角形全等的方法,对直角三角形是否适用？探究新知三角形全等的判定——“HL”定理如图，Rt△ABC中，∠C=90°，直角边是_____、_ABCB′C′1.两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？2.两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？3.两个直角三角形中，两直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？问题A′ABCB′C′1.两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，如图，已知AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，△ABC≌△DEF吗？

我们知道，证明三角形全等不存在SSA定理.ABCDEF如图，已知AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，△A如果这两个三角形都是直角三角形，即∠B=∠E=90°，且AC=DF，BC=EF，现在能判定△ABC≌△DEF吗？ABCDEF如果这两个三角形都是直ABCDEF

任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°.再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB，把画好的Rt△A′B′C′剪下来，放到Rt△ABC上，它们能重合吗？ABC任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°.再画一个R画图思路（1）先画∠MC′

N=90°.ABCM

C′N画图思路（1）先画∠MC′N=90°.ABCMC′N（2）在射线C′M上截取B′C′=BC.MC′ABCNB′MC′画图思路（2）在射线C′M上截取B′C′=BC.MC′ABCNB′M（3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于A′.MC′ABCNB′A′画图思路（3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于A′.M（4）连接A′B′.MC′ABCNB′A′思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？画图思路（4）连接A′B′.MC′ABCNB′A′思考：通过上面的探“斜边、直角边”判定方法文字语言：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.几何语言：

ABCA′B′C′在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).“SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角.AB=A′B′,BC=B′C′,“斜边、直角边”判定方法文字语言：几何语言：ABCA′B′判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：

（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（）

（2）一个锐角和这个角的邻边对应相等；（）

（3）一个锐角和斜边对应相等；（）

（4）两直角边对应相等；（）（5）一条直角边和斜边对应相等（）HLAAS或ASASASAASAAS判一判判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，

例1

如图，AC⊥BC，

BD⊥AD，

AC﹦BD.求证：BC﹦AD.证明：∵AC⊥BC，

BD⊥AD，

∴∠C与∠D都是直角.

AB=BA,AC=BD.在Rt△ABC和Rt△BAD中，∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).∴BC﹦AD.ABDC应用“HL”的前提条件是在直角三角形中.这是应用“HL”判定方法的书写格式.利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路.考点探究1利用“HL”定理判定直角三角形全等例1如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC﹦BD.证

如图，∠ACB=∠ADB=90°，要证明△ABC≌△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由.（1）

（）（2）

（）（3）

（）（4）

（）ABDCAD=BC∠DAB=∠CBABD=AC∠DBA=∠CABHLHLAASAAS

如图，AC、BD相交于点P，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C、D，AD=BC.

求证：AC=BD.HLAC=BDRt△ABD≌Rt△BAC如图，AC、BD相交于点P，AC⊥BC，BD⊥AD如图：AB⊥AD，CD⊥BC，AB=CD，判断AD和BC的位置关系.HL∠ADB=∠CBDRt△ABD≌Rt△CDBAD∥BC如图：AB⊥AD，CD⊥BC，AB=CD，判1.如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.求证：Rt△ABE≌Rt△CBF.证明：在Rt△ABE和Rt△CBF中，∠ABE＝∠CBF＝90°，∵AB＝CB，AE＝CF，∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)．巩固练习1.如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为A例2

如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.

求证：BC＝BE.证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．∴CD＝EF.∵AD＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．∴BD＝BF.∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE.探究新知例2如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE方法点拨证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．方法点拨证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为2.如图，已知AE⊥BC，DF⊥BC，E，F是垂足，AE＝DF，AB＝DC，求证：AC＝DB.证明：AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠AEB＝∠DFC＝90°.在Rt△ABE和Rt△DCF中，∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL)，∴∠ABC＝∠DCB.在△ABC和△DCB中，∴△ABC≌△DCB(SAS)，∴AC＝DB巩固练习2.如图，已知AE⊥BC，DF⊥BC，E，F是垂足，AE＝D例3

如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？解：在Rt△ABC和Rt△DEF中,

BC=EF,

AC=DF.∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).∴∠B=∠DEF(全等三角形对应角相等).∵∠DEF+∠F=90°,∴∠B+∠F=90°.考点探究2利用直角三角形全等解决实际问题探究新知例3如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边3.如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。所以Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)所以BD=CD解：BD=CD因为∠ADB=∠ADC=90°在Rt△ABD和Rt△ACD中,

AB=ACAD=AD巩固练习3.如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆D1.判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（）

A.两条直角边对应相等

B.斜边和一锐角对应相等

C.斜边和一条直角边对应相等

D.两个锐角对应相等课堂检测基础题D1.判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（3.如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC

（填“全等”或“不全等”），根据

（用简写法）.全等HLA2.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点

E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则

CH的长为（）A．1

B．2C．3

D．43.如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△A4.如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE⊥AB，BD=CE.求证：△EBC≌△DCB.ABCED证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，

∴∠BEC=∠BDC=90°.在Rt△EBC和Rt△DCB中，

CE=BD,BC=CB.∴Rt△EBC≌Rt△DCB(HL).4.如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE⊥AB，BD如图，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BF=DE.证明:∵BF⊥AC,DE⊥AC,∴∠BFA=∠DEC=90°.∵AE=CF，

∴AE+EF=CF+EF.即AF=CE.在Rt△ABF和Rt△CDE中，

AB=CD,AF=CE.∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).AFCEDB∴BF=DE.提升题如图，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？拓展题如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝(2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC.在Rt△ABC与Rt△QPA中，∵PQ＝AB，AP＝AC，∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)，∴AP＝AC＝10cm，∴当AP＝5cm或10cm时，△ABC才能和△APQ全等．解：(1)当P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90°.在Rt△ABC与Rt△QPA中，∵PQ＝AB，AP＝BC，∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，∴AP＝BC＝5cm；(2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC.解：(1)当P运

1、三人行，必有我师。20.7.57.5.202014:4714:47:52Jul-2014:472、书是人类进步的阶梯。二〇二〇年七月五日2020年7月5日星期日3、会当凌绝顶，一览众山小。14:477.5.202014:477.5.202014:4714:47:527.5.202014:477.5.20204、纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。7.5.20207.5.202014:4714:4714:47:5214:47:525、一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴。Sunday,July5,2020July20Sunday,July5,20207/5/20206、路遥知马力日久见人心。2时47分2时47分5-Jul-207.5.20207、山不在高，有仙则灵。20.7.520.7.520.7.5。2020年7月5日星期日二〇二〇年七月五日8、有花堪折直须折，莫待无花空折枝。14:4714:47:527.5.2020Sunday,July5,2020亲爱的读者：春去燕归来，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，感谢你的阅读。1、三人行，必有我师。20.7.57.5.2020129人教版数学八年级上册12.2三角形全等的判定“斜边、直角边”定理人教版数学八年级上册12.2三角形全等的判定如图，Rt△ABC中，∠C=90°，直角边是_____、_____，斜边是______.CBAACBCAB思考前面学过的四种判定三角形全等的方法,对直角三角形是否适用？探究新知三角形全等的判定——“HL”定理如图，Rt△ABC中，∠C=90°，直角边是_____、_ABCB′C′1.两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？2.两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？3.两个直角三角形中，两直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？问题A′ABCB′C′1.两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，如图，已知AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，△ABC≌△DEF吗？

我们知道，证明三角形全等不存在SSA定理.ABCDEF如图，已知AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，△A如果这两个三角形都是直角三角形，即∠B=∠E=90°，且AC=DF，BC=EF，现在能判定△ABC≌△DEF吗？ABCDEF如果这两个三角形都是直ABCDEF

任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°.再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB，把画好的Rt△A′B′C′剪下来，放到Rt△ABC上，它们能重合吗？ABC任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°.再画一个R画图思路（1）先画∠MC′

N=90°.ABCM

C′N画图思路（1）先画∠MC′N=90°.ABCMC′N（2）在射线C′M上截取B′C′=BC.MC′ABCNB′MC′画图思路（2）在射线C′M上截取B′C′=BC.MC′ABCNB′M（3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于A′.MC′ABCNB′A′画图思路（3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于A′.M（4）连接A′B′.MC′ABCNB′A′思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？画图思路（4）连接A′B′.MC′ABCNB′A′思考：通过上面的探“斜边、直角边”判定方法文字语言：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.几何语言：

ABCA′B′C′在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).“SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角.AB=A′B′,BC=B′C′,“斜边、直角边”判定方法文字语言：几何语言：ABCA′B′判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：

（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（）

（2）一个锐角和这个角的邻边对应相等；（）

（3）一个锐角和斜边对应相等；（）

（4）两直角边对应相等；（）（5）一条直角边和斜边对应相等（）HLAAS或ASASASAASAAS判一判判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，

例1

如图，AC⊥BC，

BD⊥AD，

AC﹦BD.求证：BC﹦AD.证明：∵AC⊥BC，

BD⊥AD，

∴∠C与∠D都是直角.

AB=BA,AC=BD.在Rt△ABC和Rt△BAD中，∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).∴BC﹦AD.ABDC应用“HL”的前提条件是在直角三角形中.这是应用“HL”判定方法的书写格式.利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路.考点探究1利用“HL”定理判定直角三角形全等例1如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC﹦BD.证

如图，∠ACB=∠ADB=90°，要证明△ABC≌△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由.（1）

（）（2）

（）（3）

（）（4）

（）ABDCAD=BC∠DAB=∠CBABD=AC∠DBA=∠CABHLHLAASAAS

如图，AC、BD相交于点P，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C、D，AD=BC.

求证：AC=BD.HLAC=BDRt△ABD≌Rt△BAC如图，AC、BD相交于点P，AC⊥BC，BD⊥AD如图：AB⊥AD，CD⊥BC，AB=CD，判断AD和BC的位置关系.HL∠ADB=∠CBDRt△ABD≌Rt△CDBAD∥BC如图：AB⊥AD，CD⊥BC，AB=CD，判1.如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.求证：Rt△ABE≌Rt△CBF.证明：在Rt△ABE和Rt△CBF中，∠ABE＝∠CBF＝90°，∵AB＝CB，AE＝CF，∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)．巩固练习1.如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为A例2

如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.

求证：BC＝BE.证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．∴CD＝EF.∵AD＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．∴BD＝BF.∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE.探究新知例2如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE方法点拨证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．方法点拨证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为2.如图，已知AE⊥BC，DF⊥BC，E，F是垂足，AE＝DF，AB＝DC，求证：AC＝DB.证明：AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠AEB＝∠DFC＝90°.在Rt△ABE和Rt△DCF中，∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL)，∴∠ABC＝∠DCB.在△ABC和△DCB中，∴△ABC≌△DCB(SAS)，∴AC＝DB巩固练习2.如图，已知AE⊥BC，DF⊥BC，E，F是垂足，AE＝D例3

如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？解：在Rt△ABC和Rt△DEF中,

BC=EF,

AC=DF.∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).∴∠B=∠DEF(全等三角形对应角相等).∵∠DEF+∠F=90°,∴∠B+∠F=90°.考点探究2利用直角三角形全等解决实际问题探究新知例3如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边3.如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。所以Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)所以BD=CD解：BD=CD因为∠ADB=∠ADC=90°在Rt△ABD和Rt△ACD中,

AB=ACAD=AD巩固练习3.如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆D1.判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（）

A.两条直角边对应相等

B.斜边和一锐角对应相等

C.斜边和一条直角边对应相等

D.两个锐角对应相等课堂检测基础题D1.判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（3.如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC

（填“全等”或“不全等”），根据

（用简写法）.全等HLA2.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点

E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则

CH的长为（）A．1

B．2C．3

D．43.如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△A4.如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE⊥AB，BD=CE.求证：△EBC≌△DCB.ABCED证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，

∴∠BEC=∠BDC=90°.在Rt△EBC和Rt△DCB中，

CE=BD,BC=CB.∴Rt△EBC≌Rt△DCB(HL).4.如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE⊥AB，BD如图，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BF=DE.证明:∵BF⊥AC,DE⊥AC,∴∠BFA=∠DEC=9