高等代数因式分解定理

高等代数课件因式分解定理第1页，共13页，2022年，5月20日，21点11分，星期四复习因式分解与多项式系数所在数域有关x44=(x22)(x2+2)

QRC第2页，共13页，2022年，5月20日，21点11分，星期四一、不可约多项式定义：设p(x)P[x]，且(p(x))>0，若p(x)不能表示成数域P上两个次数比p(x)低的多项式的乘积，则称p(x)为数域P上的不可约多项式．第3页，共13页，2022年，5月20日，21点11分，星期四注意:①一个多项式是否不可约依赖于系数域．②一元多项式总是不可约多项式③p(x)不可约p(x)的因式只有零次多项式与它自身的非零常数倍.④若p(x)不可约，对f(x)P[x],有(p(x),

f(x))=1或p(x)|f(x).第4页，共13页，2022年，5月20日，21点11分，星期四⑤定理5：设p(x)是不可约多项式，f(x),g(x)P[x]，若p(x)|f(x)g(x)，则p(x)|f(x)或p(x)|g(x)．推广：设p(x)是不可约多项式,fi(x)P[x],i=1,2,…,s，若p(x)|f1(x)f2(x)…fs(x),则必存在某个fi(x),使得p(x)|fi(x)。⑥设p(x)是不可约多项式，cP,则cp(x)也是不可约多项式。第5页，共13页，2022年，5月20日，21点11分，星期四二、因式分解及唯一性定理1.定理

f(x)P[x],若(f(x))1,则f(x)可唯一地分解成数域P上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说,若有两个分解式

f(x)=p1(x)p2(x)…ps(x)=q1(x)q2(x)…qt(x)则s=t,且适当排列因式的次序后,有pi(x)=ciqi(x),其中ci,i=1,2,…,s是一些非零常数．

第6页，共13页，2022年，5月20日，21点11分，星期四1)理解证明过程.注:

2)整个证明过程中没有具体的分解多项式的方法.3)定理的作用主要是理论上的.第7页，共13页，2022年，5月20日，21点11分，星期四2．标准分解式设f(x)P[x],(f(x))1,则f(x)总可表成其中c为f(x)的首项系数，pi(x)为互不相同的首项系数为1的不可约多项式，riZ+，称之为f(x)的标准分解式．

第8页，共13页，2022年，5月20日，21点11分，星期四性质1设f(x),h(x)P[x],(f(x))1,(h(x))0,

且f(x)的标准分解式为，则h(x)|f(x)的充分必要条件是h(x)具有这样的形式其中0liri,i=1,2,…,s.第9页，共13页，2022年，5月20日，21点11分，星期四性质2设f(x),g(x)P[x],f(x)0,

g(x)0,

且ri,li0,i=1,2,…,s,其中p1(x),p2(x),…,ps(x)是互不相同的首项系数为1的不可约多项式,则其中mi=min{ri,li},i=1,2,…,s,第10页，共13页，2022年，5月20日，21点11分，星期四设fi(x)P[x],i=1,2,…,n,

且其中rij0,

1in,1js,

p1(x),p2(x),…,ps(x)是互不相同的首1的不可约多项式,则其中mi=min{r1i,r2i,…,rni},i=1,2,…,s.性质3第11页，共13页，2022年，5月20日，21点11分，星期四注意：虽然上面给出了利用因式分解定理求最大公因式的公式，但由于对于多项式的因式分解没有一般的方法，因而这种方法不能取代辗转相除法求最大公因式。第12页，共13页，2022年，5月20日，21点11分，星期四例1求f(x)=x4+x22的标准分解式。例2设p1(x),p2(x)是数域P上两个不同的首项系数为1的不可约多项式,f