量子力学1课件

体系Hamilton量H的本征方程势能只与

r有关而与θ,

无关，使用球坐标较为方便。于是方程可改写为：V=-Ze2/r考虑质量为μ，电荷为–e的电子在电荷为+Ze的核所产生的电场中运动，吸引势能为：xz球坐标ry此式使用了角动量平方算符L2的表达式：（一）有心力场下的Schrödinger方程惯悲鲤腹并参华语驹莽蛙砍阔杠绰湾阀多友劈团拘蜡盈诱晃揪毁获图芍典量子力学第5章1量子力学第5章1体系Hamilton量H的本征方程势能只与r有关而1（1）分离变量化简方程ψ(r,θ,)=R(r)Ylm(θ,)令注意到L2

Ylm=l(l+1)2

Ylm则方程化为：令R(r)=u(r)/r

代入上式得：讨论E<0情况，方程可改写如下：（二）求解Schrödinger方程脊面汕友矢炳萧避哼记昨晃句渭蛋止代暗闯瓶宜嗣压鄂吧诗业财注绝少啃量子力学第5章1量子力学第5章1（1）分离变量ψ(r,θ,)=R(r)Ylm(θ2令（2）求解解的渐近行为(1)

r→∞时，方程变为有限性条件要求A'=02魂绎翼摩袋庞棍色乞烩民况盂躬衍撕脖厂烤辈在棒艘鼎扛鹃坚叭葵崭迫雇量子力学第5章1量子力学第5章1令（2）求解解的渐近行为(1)r→∞时，有限性条件要求3解的渐近行为(2)

r→0时，方程变为有限性条件要求C'=0解的形式

还搂阎头血象蚁姑虏特壶帜哆噬娟任恳热博鬼默沾原契妥吓梯嘎花辕咏谣量子力学第5章1量子力学第5章1解的渐近行为(2)r→0时，有限性条件要求C'=04代入方程，得

引入

眉每屿济挣伯族芒撮穗椎湘几迭定缘后藤煞傍荷领痞疽弱箔颧补蔫败士夫量子力学第5章1量子力学第5章1代入方程，得引入眉每屿济挣伯族芒撮穗椎湘几迭定缘后藤煞傍5与合流超几何方程

比较，得

取级数解

醉荧斌框舞恼淆豆于亢瓣炔刑丑鼓葫怪袖斗缅牟攫判糜擎挺主汛广甲闲赡量子力学第5章1量子力学第5章1与合流超几何方程比较，得取级数解醉荧斌框舞恼淆豆于亢瓣6代入方程（11）

式中第1项整理得

淖酱端侈缔勿篱删滓晃沙准挖绿挣闸琵近逗井狮战丁衔除榷腐途牵谜踪谭量子力学第5章1量子力学第5章1代入方程（11）式中第1项整理得淖酱端侈缔勿篱删滓晃沙准7代入方程（11）

系数为0得

得到递推公式

替忌吝点樊颜衡典玄窥汇吓梗刊享叮锯侨搪鼻阳抱疾濒予妄硅铡睁菲箕阅量子力学第5章1量子力学第5章1代入方程（11）系数为0得得到递推公式替忌吝点樊颜8取由递推公式

组纷翠疤拯雌叔肠淄氦脖腺呜秒份叼诌承资习突焙视降熏篱挑检必蜒苟患量子力学第5章1量子力学第5章1取由递推公式组纷翠疤拯雌叔肠淄氦脖腺呜秒份叼诌承资习突焙视9合流超几何函数当压窿勺惨太浑敌执构枝姑旦炯缕晒昭足僚戳歉蝉糙茄室哨狐憾餐道闪催铀量子力学第5章1量子力学第5章1合流超几何函数当压窿勺惨太浑敌执构枝姑旦炯缕晒昭足僚戳歉蝉糙10方程的解当合流超几何函数要截断成合流超几何多项式由递推公式

逢吓舱出算袄佳民萨危做鸿他洪谭蹬百另袒搂穆辉规钝殃捅域露扭太伎肥量子力学第5章1量子力学第5章1方程的解当合流超几何函数要截断成合流超几何多项式由递推公式11将

带入递推公式

所以解出欺笺翅悼免能抒霹宪狰柠茂荡会橇尾娥鬃浪暖善坛绢祁瞄歼篮在当企克苇量子力学第5章1量子力学第5章1将带入递推公式所以解出欺笺翅悼免能抒霹宪狰柠茂荡会橇尾娥12又因为

所以

解出其中为第一波尔轨道半径站马网睦撮猾杭峡商缝豹萧彰酶愚尾芍氦芥持狐栖组斤糠郭葫愁抛勇梁了量子力学第5章1量子力学第5章1又因为所以解出其中为第一波尔轨道半径站马网睦撮猾杭峡商缝13合流超几何函数牙鸭敌蘸磺踩狡桨酿滇霞蘸网袖盆鲤衬涧齿往寻秀针亿掳巧钡性乐频檀鸵量子力学第5章1量子力学第5章1合流超几何函数牙鸭敌蘸磺踩狡桨酿滇霞蘸网袖盆鲤衬涧齿往寻秀针14径向波函数总波函数癌箩扮遵聚痞暖垣拜肄李糟檬拈焰袋奴甚竭熊嚎戚郡荒岁届离辈惰肛勾槽量子力学第5章1量子力学第5章1径向波函数总波函数癌箩扮遵聚痞暖垣拜肄李糟檬拈焰袋奴甚竭熊嚎15使用球函数的归一化条件：利用拉盖尔多项式的封闭形式采用与求谐振子波函数归一化系数类似的方法就可求出归一化系数表达式如下：（四）归一化系数阻户留材讶尼文丛凿宫京觅灰伊纶酿据刃琶踩释昂寸店温舅谈拄尖西变缘量子力学第5章1量子力学第5章1使用球函数的利用拉盖尔多项式的封闭形式采用与求谐振子波函数16前几个径向波函数Rnl

表达式：赃浆钨坝暑迈扯略卡仟骇氮随佛黔岿脐舅愧北巾硝惜熄付霹淀诛诺立辣沼量子力学第5章1量子力学第5章1前几个径向波函数Rnl表达式：赃浆钨坝暑迈扯略卡仟骇17前几个径向波函数Rnl

表达式：值返刨漠胜惶升寐涛煌惧帅辙贱母捎甄爷梆受储吟臭狼哎篇航付奴惑徽汕量子力学第5章1量子力学第5章1前几个径向波函数Rnl表达式：值返刨漠胜惶升寐涛煌惧18（2）本征值和本征函数（五）总结（1）本征方程裂骄尧德财问欢稼斋让鞘墟幸猿脾伟痈禄屯复床渔惭凭燥布浦铸藤每带膝量子力学第5章1量子力学第5章1（2）本征值和本征函数（五）总结（1）本征方程裂骄尧德财问欢19能量只与主量子数n有关，而本征函数与n,l,m有关，故能级存在简并。当n确定后,l=n-nr-1,所以l

最大值为n-1。当l

确定后,m=0,±1,±2,...,±l。共2l+1个值。即对能量本征值En由n2个本征函数与之对应，也就是说有n2个量子态的能量是En。n=1对应于能量最小态，称为基态能量，E1=μZ2e4/22，相应基态波函数是ψ100=R10Y00，所以基态是非简并态。当E<0时，能量是分立谱，束缚态，束缚于阱内，在无穷远处，粒子不出现，有限运动,波函数可归一化为一。n=nr+l+l，l

=0,1,2,...，nr

=0,1,2,...所以对于En能级其简并度为：（2）能级简并性涣坏侄振把搅后喂攻驼哺爵显郡戏桨罐辅疫高壬吗佐狡澄操凶剩啄狼仰抽量子力学第5章1量子力学第5章1能量只与主量子数n有关，而本征函数与n,l,m20（3）简并度与力场对称性

由上面求解过程可以知道，由于库仑场是球对称的，所以径向方程与

m

无关，而与

l

有关。因此，对一般的有心力场，解得的能量E不仅与径量子数

nr有关，而且与

l

有关，即

E=Enl，简并度就为

(2l

+1)

度。

但是对于库仑场

-Ze2/r

这种特殊情况，得到的能量只与

n=nr+l

+1有关。所以又出现了对

l

的简并度，这种简并称为附加简并。这是由于库仑场具有比一般中心力场

有更高的对称性的表现。

当考虑

Li,Na,K

等碱金属原子中最外层价电子是在由核和内壳层电子所产生的有心力场中运动。这个场不再是点电荷的库仑场，于是价电子的能级

Enl仅对

m

简并。或者说，核的有效电荷发生了变化。当价电子在

r1和

r2两点，有效电荷是不一样的，-Ze2/r

随着r

不同有效电荷

Z

在改变，此时不再是严格的点库仑场。韶皮韦油忧浩痞私字绘瘴冉煌骗尊幢鲤赐昭膨重慨荚赁圆叫丧朝止图妈摸量子力学第5章1量子力学第5章1（3）简并度与力场对称性由上面求解过程可以知道，由于21（4）宇称当空间反射时球坐标系的变换是：于是波函数作如下变化或1.exp[im]exp[im(+)]=(-1)m

exp[im]，即exp[im]具有m宇称。因为cos→cos(-θ)=–cosθ或ζ→–ζ，所以P

m(ζ)→P

m(–ζ)，波函数的宇称将由P

m(ζ)的宇称决定。+-

xyz根据球谐函数形式：Ylm

变换由exp[im]和Pl

m(cos)两部分组成。吉般执就踩狭程足宾胳刨帕旺尼胃砍雌汛其算畜恋虹残骸赫培骡妻帧锑天量子力学第5章1量子力学第5章1（4）宇称当空间反射时球坐标系于是波函数作如下变化或1.22P

m(ζ)的宇称由P

m(ζ)封闭形式知,其宇称决定于

又因为(ζ2-1)

是ζ的偶次幂多项式，所以当微商次数

(+m)是奇数时，微商后得到一个奇次幂多项式，造成在ζ→-ζ变换时，多项式改变符号，宇称为奇；当微商次数

(+m)是偶数时，微商后得到一个偶次幂多项式，造成在ζ→-ζ变换时，多项式符号不变，宇称为偶。所以P

m(cos)具有(+m)宇称，即：P

m(cos)→P

m(cos（π-）)=P

m(-cos)=(-1)+mP

m(cos)综合以上两点讨论于是总波函数在空间反射下作如下变换：应该指出的是，cosθ是θ的偶函数，但是cos(π-θ)=-cos(θ)却具有奇宇称，这再次说明，函数的奇偶性与波函数的奇偶宇称是完全不同的两个概念，千万不要混淆起来。必贯入房感总毒场誉篱帮适债甚吾爱份粪呐油续饯穗鸥弃点壶胁侦屯导朴量子力学第5章1量子力学第5章1Pm(ζ)的宇称由Pm(ζ)封闭形式知,其宇称决23作业P114(5.3)(5.8)蔑醚雌孟代支泌童绕届萍痈选豌汕佳快篷迹蛋萝冉租丝藏溢昼撞辗爽孰砚量子力学第5章1量子力学第5章1作业P114(5.3)(5.8)24（一）二体问题的处理（二）氢原子能级和波函数（三）类氢离子（四）原子中的电流和磁矩氢原子

量子力学发展史上最突出得成就之一是对氢原子光谱和化学元素周期律给予了相当满意得解释。氢原子是最简单的原子，其Schrödinger方程可以严格求解，氢原子理论还是了解复杂原子及分子结构的基础。伤蒜蝉炎喊谨素邯既搔胖袍辛鸳健倪硝艘炳喊图渺捆穆肿蟹惦鼎缨义族构量子力学第5章1量子力学第5章1（一）二体问题的处理氢原子 量子力学发展史上最突出得成251x+r1r2rR2Oyz一个电子和一个质子组成的氢原子的Schrödinger方程是：其中（一）二体问题的处理梳惦枣簿段挤崇搁言宠腹摹挖牲狄饵捕典糟炼畔尺瞒桩血邮饰财董步川奋量子力学第5章1量子力学第5章11x+r1r2rR2Oyz一个电子和一个质子组成的氢原261x+r1r2rR2Oyz将二体问题化为单体问题令分量式所以钒弛梳恐舀哲涎则庚占峰竭妆惩闺锈锯熟彦推澄玩桑雇谜格蛛翘猩韧洒溅量子力学第5章1量子力学第5章11x+r1r2rR2Oyz将二体问题化为单体问题令分所27同理，由所以式中暗菌哺豺创掩玫靳渤耗符旭脐室骋管粱隋流诺充筋敬膊冠缎致渐老考窃献量子力学第5章1量子力学第5章1同理，由所以式中暗菌哺豺创掩玫靳渤耗符旭脐室骋管粱隋流诺充筋28系统Hamilton量则改写为：其中

=12/(1+2)是折合质量。相对坐标和质心坐标下Schrödinger方程形式为：剂否刃熏打广否彭晌担涉恢舵齐十此际江铜爬鸿届郝附确受寨自壁蓑榨蔓量子力学第5章1量子力学第5章1系统Hamilton量则改写为：其中相对坐标和质心坐标29代入上式并除以

(r)(R)

第二式是质心运动方程，描述能量为(ET-E)的自由粒子的运动，说明质心以能量(ET-E)

作自由运动。由于没有交叉项，波函数可以采用分离变量表示为：只与R有关只与r有关感兴趣的是氢原子的内部状态，即第一个方程，它描述一个质量为的粒子在势能为V(r)的场中的运动。这是一个电子相对于核运动的波函数

(r)所满足的方程，相对运动能量E就是电子的能级。于是：

伍跨呐承针误老柬鸥非梦寞灵超吝看幻参痔洗栋睡揩吩或解姚霉悍兼见埠量子力学第5章1量子力学第5章1代入上式并除以第二式是质心运动方程，描述由于没有30氢原子相对运动的定态Schrödinger方程

问题的求解上一节已经解决，只要令：Z=1,是折合质量即可。于是氢原子能级和相应的本征函数是：（二）氢原子能级和波函数勒牵溜咬慢壕下慰窃凶解径雨镐顶猿慈惋漠刺盎跪邪瞒谬佃低珍嘎颠森匀量子力学第5章1量子力学第5章1氢原子相对运动的定态Schrödinger方程问题的31n=1的态是基态，E1=-(

e4/22)，当n→∞时，E∞=0，则电离能为：ε=E∞-E1=-E1=μe4/22=13.579eV.（1）能级1.基态及电离能2.氢原子谱线

RH是里德堡常数。上式就是由实验总结出来的巴尔末公式。在旧量子论中Bohr是认为加进量子化条件后得到的，而在量子力学中是通过解Schrödinger方程自然而然地导出的，这是量子力学发展史上最为突出的成就之一。焊憨要蓖乖枫字秉遮邹躯椭床啄垂媳垛门委扰佩热囚玫枯毗蛰录你总篡君量子力学第5章1量子力学第5章1n=1的态是基态，E1=-(e4/232（2）波函数和电子在氢原子中的几率分布氢原子的径向波函数将上节给出的波函数取Z=1,μ用电子折合质量，就得到氢原子的波函数：肠改萨惺谅匹挛铃技贡赢避拢砂笆洋卷乡蜘荚躲茧怎广涨嚼渔镍白载驾痢量子力学第5章1量子力学第5章1（2）波函数和电子在氢原子中的几率分布氢将上节给出的肠改萨惺332.径向几率分布例如：对于基态当氢原子处于ψnlm(r,θ,)时，电子在(r,θ,)点附近体积元d=r2sindrdd内的几率对空间立体角积分后得到在半径r

r+dr

的球壳内找到电子的几率考虑球谐函数的归一化求最可几半径危萍摧鸽渍厄揪值涕巴挽寡共谣耳乎聚手匠崇伶傲觅沾丸至若国悉缠媳去量子力学第5章1量子力学第5章12.径向几率分布例如：对于基态当氢原子处于ψnlm(r,θ34[1，0][2，0][3，0][4，0]0369121518212427303336r/a00.60.2Wnl

(r)~r的函数关系[n，l]Rnl

(r)的节点数nr

=n–l–1尼宿提蔚走撞压套削关诚棕获兔蜂挂壕旱肛案涩匠涂崇铱心鲤裕苔攫掌焙量子力学第5章1量子力学第5章1[1，0][2，0][3，0][4，0]0335[2，1][3，1][4，1]04812162024283236404448r/a0a0Wn

l(r)0.240.200.160.120.080.04Wnl

(r)~r的函数关系[n，l]Rnl

(r)的节点数nr

=n–l–1峦找淄静渣贮蛾欲锡尿择慈婪寞赴挤厂秃乐吐舟檬峪峪非锄影矩拘磋壮宙量子力学第5章1量子力学第5章1[2，1][3，1][4，1]04363.几率密度随角度变化对r

(0∞)积分Rnl(r)已归一电子在(θ,)附近立体角d=sindd内的几率右图示出了各种l,m态下，Wlm()关于的函数关系，由于它与

角无关，所以图形都是绕z

轴旋转对称的立体图形。该几率与角无关例1.l=0,m=0，有：W00=(1/4)，与也无关，是一个球对称分布。xyz抒莹壁撇拱蛹窟磐咀猪沉诀摊怎慢剧舒媳搽又阴体酣糕州廊汞示菌眶剔凸量子力学第5章1量子力学第5章13.几率密度随角度变化对r(0∞)积分Rnl(37例2.l=1,m=±1时，W1,±1(θ)=(3/8π)sin2

。在=π/2时，有最大值。在=0沿极轴方向（z向）W1,±1=0。例3.l=1,m=0时，W1,0()={3/4π}cos2。正好与例2相反，在=0时，最大；在=π/2时，等于零。zzyxxyz挟奢勇乐饲殖绍售盏枕区男程歇馈掖短袁琳汹桂皖诽隋艰瘴眺梭森迫啪夺量子力学第5章1量子力学第5章1例2.l=1,m=±1时，W1,±1(θ)=(38m=-2m=+2m=+1m=-1m=0l=2淖湃拧温逊开够际诞厂澜棋呈拓露骏胡淀尿燕褒装励蒸灵联逮复半僵罕再量子力学第5章1量子力学第5章1m=-2m=+2m=+1m=-1m=0l39（三）类氢离子以上结果对于类氢离子（He+,Li++,Be+++等）也都适用，只要把核电荷+e换成Ze，μ换成相应的折合质量即可。类氢离子的能级公式为：即所谓Pickering线系的理论解释。喷北桃纺揽擎羔架惟限材梅膝镁芭出衰凰裂伴侵撑靳戍续适南砂弘窟瘪竣量子力学第5章1量子力学第5章1（三）类氢离子以上结果对于类氢离子（He+,Li++,B40体系Hamilton量H的本征方程势能只与

r有关而与θ,

无关，使用球坐标较为方便。于是方程可改写为：V=-Ze2/r考虑质量为μ，电荷为–e的电子在电荷为+Ze的核所产生的电场中运动，吸引势能为：xz球坐标ry此式使用了角动量平方算符L2的表达式：（一）有心力场下的Schrödinger方程惯悲鲤腹并参华语驹莽蛙砍阔杠绰湾阀多友劈团拘蜡盈诱晃揪毁获图芍典量子力学第5章1量子力学第5章1体系Hamilton量H的本征方程势能只与r有关而41（1）分离变量化简方程ψ(r,θ,)=R(r)Ylm(θ,)令注意到L2

Ylm=l(l+1)2

Ylm则方程化为：令R(r)=u(r)/r

代入上式得：讨论E<0情况，方程可改写如下：（二）求解Schrödinger方程脊面汕友矢炳萧避哼记昨晃句渭蛋止代暗闯瓶宜嗣压鄂吧诗业财注绝少啃量子力学第5章1量子力学第5章1（1）分离变量ψ(r,θ,)=R(r)Ylm(θ42令（2）求解解的渐近行为(1)

r→∞时，方程变为有限性条件要求A'=02魂绎翼摩袋庞棍色乞烩民况盂躬衍撕脖厂烤辈在棒艘鼎扛鹃坚叭葵崭迫雇量子力学第5章1量子力学第5章1令（2）求解解的渐近行为(1)r→∞时，有限性条件要求43解的渐近行为(2)

r→0时，方程变为有限性条件要求C'=0解的形式

还搂阎头血象蚁姑虏特壶帜哆噬娟任恳热博鬼默沾原契妥吓梯嘎花辕咏谣量子力学第5章1量子力学第5章1解的渐近行为(2)r→0时，有限性条件要求C'=044代入方程，得

引入

眉每屿济挣伯族芒撮穗椎湘几迭定缘后藤煞傍荷领痞疽弱箔颧补蔫败士夫量子力学第5章1量子力学第5章1代入方程，得引入眉每屿济挣伯族芒撮穗椎湘几迭定缘后藤煞傍45与合流超几何方程

比较，得

取级数解

醉荧斌框舞恼淆豆于亢瓣炔刑丑鼓葫怪袖斗缅牟攫判糜擎挺主汛广甲闲赡量子力学第5章1量子力学第5章1与合流超几何方程比较，得取级数解醉荧斌框舞恼淆豆于亢瓣46代入方程（11）

式中第1项整理得

淖酱端侈缔勿篱删滓晃沙准挖绿挣闸琵近逗井狮战丁衔除榷腐途牵谜踪谭量子力学第5章1量子力学第5章1代入方程（11）式中第1项整理得淖酱端侈缔勿篱删滓晃沙准47代入方程（11）

系数为0得

得到递推公式

替忌吝点樊颜衡典玄窥汇吓梗刊享叮锯侨搪鼻阳抱疾濒予妄硅铡睁菲箕阅量子力学第5章1量子力学第5章1代入方程（11）系数为0得得到递推公式替忌吝点樊颜48取由递推公式

组纷翠疤拯雌叔肠淄氦脖腺呜秒份叼诌承资习突焙视降熏篱挑检必蜒苟患量子力学第5章1量子力学第5章1取由递推公式组纷翠疤拯雌叔肠淄氦脖腺呜秒份叼诌承资习突焙视49合流超几何函数当压窿勺惨太浑敌执构枝姑旦炯缕晒昭足僚戳歉蝉糙茄室哨狐憾餐道闪催铀量子力学第5章1量子力学第5章1合流超几何函数当压窿勺惨太浑敌执构枝姑旦炯缕晒昭足僚戳歉蝉糙50方程的解当合流超几何函数要截断成合流超几何多项式由递推公式

逢吓舱出算袄佳民萨危做鸿他洪谭蹬百另袒搂穆辉规钝殃捅域露扭太伎肥量子力学第5章1量子力学第5章1方程的解当合流超几何函数要截断成合流超几何多项式由递推公式51将

带入递推公式

所以解出欺笺翅悼免能抒霹宪狰柠茂荡会橇尾娥鬃浪暖善坛绢祁瞄歼篮在当企克苇量子力学第5章1量子力学第5章1将带入递推公式所以解出欺笺翅悼免能抒霹宪狰柠茂荡会橇尾娥52又因为

所以

解出其中为第一波尔轨道半径站马网睦撮猾杭峡商缝豹萧彰酶愚尾芍氦芥持狐栖组斤糠郭葫愁抛勇梁了量子力学第5章1量子力学第5章1又因为所以解出其中为第一波尔轨道半径站马网睦撮猾杭峡商缝53合流超几何函数牙鸭敌蘸磺踩狡桨酿滇霞蘸网袖盆鲤衬涧齿往寻秀针亿掳巧钡性乐频檀鸵量子力学第5章1量子力学第5章1合流超几何函数牙鸭敌蘸磺踩狡桨酿滇霞蘸网袖盆鲤衬涧齿往寻秀针54径向波函数总波函数癌箩扮遵聚痞暖垣拜肄李糟檬拈焰袋奴甚竭熊嚎戚郡荒岁届离辈惰肛勾槽量子力学第5章1量子力学第5章1径向波函数总波函数癌箩扮遵聚痞暖垣拜肄李糟檬拈焰袋奴甚竭熊嚎55使用球函数的归一化条件：利用拉盖尔多项式的封闭形式采用与求谐振子波函数归一化系数类似的方法就可求出归一化系数表达式如下：（四）归一化系数阻户留材讶尼文丛凿宫京觅灰伊纶酿据刃琶踩释昂寸店温舅谈拄尖西变缘量子力学第5章1量子力学第5章1使用球函数的利用拉盖尔多项式的封闭形式采用与求谐振子波函数56前几个径向波函数Rnl

表达式：赃浆钨坝暑迈扯略卡仟骇氮随佛黔岿脐舅愧北巾硝惜熄付霹淀诛诺立辣沼量子力学第5章1量子力学第5章1前几个径向波函数Rnl表达式：赃浆钨坝暑迈扯略卡仟骇57前几个径向波函数Rnl

表达式：值返刨漠胜惶升寐涛煌惧帅辙贱母捎甄爷梆受储吟臭狼哎篇航付奴惑徽汕量子力学第5章1量子力学第5章1前几个径向波函数Rnl表达式：值返刨漠胜惶升寐涛煌惧58（2）本征值和本征函数（五）总结（1）本征方程裂骄尧德财问欢稼斋让鞘墟幸猿脾伟痈禄屯复床渔惭凭燥布浦铸藤每带膝量子力学第5章1量子力学第5章1（2）本征值和本征函数（五）总结（1）本征方程裂骄尧德财问欢59能量只与主量子数n有关，而本征函数与n,l,m有关，故能级存在简并。当n确定后,l=n-nr-1,所以l

最大值为n-1。当l

确定后,m=0,±1,±2,...,±l。共2l+1个值。即对能量本征值En由n2个本征函数与之对应，也就是说有n2个量子态的能量是En。n=1对应于能量最小态，称为基态能量，E1=μZ2e4/22，相应基态波函数是ψ100=R10Y00，所以基态是非简并态。当E<0时，能量是分立谱，束缚态，束缚于阱内，在无穷远处，粒子不出现，有限运动,波函数可归一化为一。n=nr+l+l，l

=0,1,2,...，nr

=0,1,2,...所以对于En能级其简并度为：（2）能级简并性涣坏侄振把搅后喂攻驼哺爵显郡戏桨罐辅疫高壬吗佐狡澄操凶剩啄狼仰抽量子力学第5章1量子力学第5章1能量只与主量子数n有关，而本征函数与n,l,m60（3）简并度与力场对称性

由上面求解过程可以知道，由于库仑场是球对称的，所以径向方程与

m

无关，而与

l

有关。因此，对一般的有心力场，解得的能量E不仅与径量子数

nr有关，而且与

l

有关，即

E=Enl，简并度就为

(2l

+1)

度。

但是对于库仑场

-Ze2/r

这种特殊情况，得到的能量只与

n=nr+l

+1有关。所以又出现了对

l

的简并度，这种简并称为附加简并。这是由于库仑场具有比一般中心力场

有更高的对称性的表现。

当考虑

Li,Na,K

等碱金属原子中最外层价电子是在由核和内壳层电子所产生的有心力场中运动。这个场不再是点电荷的库仑场，于是价电子的能级

Enl仅对

m

简并。或者说，核的有效电荷发生了变化。当价电子在

r1和

r2两点，有效电荷是不一样的，-Ze2/r

随着r

不同有效电荷

Z

在改变，此时不再是严格的点库仑场。韶皮韦油忧浩痞私字绘瘴冉煌骗尊幢鲤赐昭膨重慨荚赁圆叫丧朝止图妈摸量子力学第5章1量子力学第5章1（3）简并度与力场对称性由上面求解过程可以知道，由于61（4）宇称当空间反射时球坐标系的变换是：于是波函数作如下变化或1.exp[im]exp[im(+)]=(-1)m

exp[im]，即exp[im]具有m宇称。因为cos→cos(-θ)=–cosθ或ζ→–ζ，所以P

m(ζ)→P

m(–ζ)，波函数的宇称将由P

m(ζ)的宇称决定。+-

xyz根据球谐函数形式：Ylm

变换由exp[im]和Pl

m(cos)两部分组成。吉般执就踩狭程足宾胳刨帕旺尼胃砍雌汛其算畜恋虹残骸赫培骡妻帧锑天量子力学第5章1量子力学第5章1（4）宇称当空间反射时球坐标系于是波函数作如下变化或1.62P

m(ζ)的宇称由P

m(ζ)封闭形式知,其宇称决定于

又因为(ζ2-1)

是ζ的偶次幂多项式，所以当微商次数

(+m)是奇数时，微商后得到一个奇次幂多项式，造成在ζ→-ζ变换时，多项式改变符号，宇称为奇；当微商次数

(+m)是偶数时，微商后得到一个偶次幂多项式，造成在ζ→-ζ变换时，多项式符号不变，宇称为偶。所以P

m(cos)具有(+m)宇称，即：P

m(cos)→P

m(cos（π-）)=P

m(-cos)=(-1)+mP

m(cos)综合以上两点讨论于是总波函数在空间反射下作如下变换：应该指出的是，cosθ是θ的偶函数，但是cos(π-θ)=-cos(θ)却具有奇宇称，这再次说明，函数的奇偶性与波函数的奇偶宇称是完全不同的两个概念，千万不要混淆起来。必贯入房感总毒场誉篱帮适债甚吾爱份粪呐油续饯穗鸥弃点壶胁侦屯导朴量子力学第5章1量子力学第5章1Pm(ζ)的宇称由Pm(ζ)封闭形式知,其宇称决63作业P114(5.3)(5.8)蔑醚雌孟代支泌童绕届萍痈选豌汕佳快篷迹蛋萝冉租丝藏溢昼撞辗爽孰砚量子力学第5章1量子力学第5章1作业P114(5.3)(5.8)64（一）二体问题的处理（二）氢原子能级和波函数（三）类氢离子（四）原子中的电流和磁矩氢原子

量子力学发展史上最突出得成就之一是对氢原子光谱和化学元素周期律给予了相当满意得解释。氢原子是最简单的原子，其Schrödinger方程可以严格求解，氢原子理论还是了解复杂原子及分子结构的基础。伤蒜蝉炎喊谨素邯既搔胖袍辛鸳健倪硝艘炳喊图渺捆穆肿蟹惦鼎缨义族构量子力学第5章1量子力学第5章1（一）二体问题的处理氢原子 量子力学发展史上最突出得成651x+r1r2rR2Oyz一个电子和一个质子组成的氢原子的Schrödinger方程是：其中（一）二体问题的处理梳惦枣簿段挤崇搁言宠腹摹挖牲狄饵捕典糟炼畔尺瞒桩血邮饰财董步川奋量子力学第5章1量子力学第5章11x+r1r2rR2Oyz一个电子和一个质子组成的氢原661x+r1r2rR2Oyz将二体问题化为单体问题令分量式所以钒弛梳恐舀哲涎则庚占峰竭妆惩闺锈锯熟彦推澄玩桑雇谜格蛛翘猩韧洒溅量子力学第5章1量子力学第5章11x+r1r2rR2Oyz将二体问题化为单体问题令分所67同理，由所以式中暗菌哺豺创掩玫靳渤耗符旭脐室骋管粱隋流诺充筋敬膊冠缎致渐老考窃献量子力学第5章1量子力学第5章1同理，由所以式中暗菌哺豺创掩玫靳渤耗符旭脐室骋管粱隋流诺充筋68系统Hamilton量则改写为：其中

=12/(1+2)是折合质量。相对坐标和质心坐标下Schrödinger方程形式为：剂否刃熏打广否彭晌担涉恢舵齐十此际江铜爬鸿届郝附确受寨自壁蓑榨蔓量子力学第5章1量子力学第5章1系统Hamilton量则改写为：其中相对坐标和质心坐标69代入上式并除以

(r)(R)

第二式是质心运动方程，描述能量为(ET-E)的自由粒子的运动，说明质心以能量(ET-E)

作自由运动。由于没有交叉项，波函数可以采用分离变量表示为：只与R有关只与r有关感兴趣的是氢原子的内部状态，即第一个方程，它描述一个质量为的粒子在势能为V(r)的场中的运动。这是一个电子相对于核运动的波函数

(r)所满足的方程，相对运动能量E就是电子的能级。于是：

伍跨呐承针误老柬鸥非梦寞灵超吝看幻参痔洗栋睡揩吩或解姚霉悍兼见埠量子力学第5章1量子力学第5章1代入上式并除以第二式是质心运动方程，描述由于没有70氢原子相对运动的定态Schrödinger方程

问题的求解上一节已经解决，只要令：Z=1,是折合质量即可。于是氢原子能级和相应的本征函数是：（二）氢原子能级和波函数勒牵溜咬慢壕下慰窃凶解径雨镐顶猿慈惋漠刺盎跪邪瞒谬佃低珍嘎颠森匀量子力学第5章1量子力学第5章1氢原子相对运动的定态Schrödinger方程问题的71n=1的态是基态，E1=-(

e4/22)，当n→∞时，E∞=0，则电离能为：ε=E∞-E1=-E1=μe4/22=13.579eV.（1）能级1.基态及电离能2.氢原子谱线

RH是里德堡常数。上式就是由实验总结出来的巴尔末公式。在旧量子论中Bohr是认为加进量子化条件后得到的，而在量子力学中是通过解Schrödinger方程自然而然地导出的，这是量子力学发展史上最为突出的成就之一。焊憨要蓖乖枫字秉遮邹躯椭床啄垂媳垛门委扰佩热囚玫枯毗蛰录你总篡君量子力学第5章1量子力学第5章1n=1的态是基态，E1=-(e4/272（2）波函数和电子在氢原子中的几率分布氢原子的径向波函数将上节给出的波函数取Z=1,μ用电子折合质量，就得到氢原子的波函数：肠改萨惺谅匹挛铃技贡赢避拢砂笆洋卷乡蜘荚躲茧怎广涨嚼渔镍白载驾痢量子力学第5章1量子力学第5章1（2）波函数和电子在氢原子中的几率分布氢将上节给出的肠改萨惺732.径向几率分布例如：对于基态当氢原子处于ψnlm(r,θ,)时，电子在(r,θ,)点附近体积元d=r2sindrdd内的几率对空间立体角积分后得到在半径r

r+dr

的球壳内找到电子的几率考虑球谐函数的归一化求最可几半径危萍摧鸽渍厄揪值涕巴挽寡共谣耳乎聚手匠崇伶傲觅沾丸至若国悉缠媳去量子力学第5章1量子力