数字信号处理习题集(附答案)

第一章数字信号处理概述简答题：1． 在A/DD/A器，它们分别起什么作用？A/D2在D/A滤波器。判断说明题：2自己要增加一道采样的工序就可以了。 （ 答：错。需要增加采样和量化两道工序。3．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理理论，对信号进行等效的数字处理（ ）基础。一、连续时间信号取样与取样定理计算题：1．过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中表示采样周期（足够小，足以防止混迭效应，把从xtyt)的整个系统等效为一个模拟滤波器。如果h(n)截止于8radT10kHz，求整个系统的截止频率。对于T20kHz，重复（a）的计算。xnyn采样（T）hnD/A理想低通xnyn采样（T）hnD/A理想低通TcY(ej)1XT a

(j)1XT

(jT所以h(n)得截止频率 8对应于模拟信号的角频率为c cTc 8 1因此 f c 625Hzc 由于最后一级的低通滤波器的截止频率为T

，因此对8T

没有影响，故整个系统的截止频率由H(ej)决定，是625Hz。（b）采用同样的方法求得1T20kHz，整个系统的截止频率为f 1 1250Hzc 二、离散时间信号与系统频域分析计算题：设序列x(nX(e，试求下列序列的傅里叶变换。（1）x(2n) （2）x*(n)（共轭（）x(2n)由序列傅氏变换公式DTFT[x(n)]X(ej)n

x(n)ejn可以得到DTFT[x(2n)]

n

x(2n)ejn

x(n)ejnn为偶数2222n22

1 jn[x(n) (1)nx(n)]e 2212n

x(n)ejn

12n

x(n)ej()n1X(ej)1X(ej())2 22 21X(ej)X(ej)2 22（2）x*(n（共轭）解：DTFTx*(n)

x*(n)ejn[

x(n)ejn]*X*(ej)n n计算下列各信号的傅里叶变换。1（a）2nu[n] （b）(4)nu[n2]11n()n（c）[42n] （d） 2（）X)

2n[nejn

2nejnn n

n111(ej)111X()

2n0 1

1 ej22]e

1njn（b）

（）u[n

()e4 4n n20

1()m2ej4

(m2)16 ej211 ej1（c）X()

m[nejn

4[42nejnej2（d）X)

n

1njn

n1 [ 11

1 （）e2n利用频率微分特性，可得X()jdX()d

1 ej 1 ej2 2 ej ej2 1ej)2 2 1ej)22 2序列x(nX(ejw，求下列各序列的傅里叶变换。（1）x*(n) （2）Re[x(n)] (3)nx(n)解：（）n

x*(n)ejwn

[x(n)ejw(n)]*X*(ejw)n（）

Re[x(n)]ejwn

1[x(n)x(n)ejwn1[X(ejw)X(ejw)]n

2 2n（）

1dx(n)ejwn d

dX(ejw)nx(n)en

jwnn

j x(n)ej dw dwn

jwnjdw序列x(nX(ejw，求下列各序列的傅里叶变换。（1）x(n)

（2）jIm[x(n)]

(3)

x2(n)（）

x(n)ejwn

[x(n)ej(w)(n)][

x(n)ej(w)n]X(ejw)（2）

n

n

n1[x(n)x(n)ejwn1[

x(n)ejwn

x(n)ejwn]2n

2n

n 1 X(ejw)

x(n)ej(w)n1 1

n X(ejw)X(ejw2（3）n

x2(n)ejwnn

12

X(ej)n

x(n)ej(w)n1

X(ej)X(ej(w))d12

X(ej)X(ejw)令x(nX(ejw表示一个序列及其傅立叶变换，利用X(ejw表示下面各序列的傅立叶变换。（1）g(n)x(2n)（2）g(n)2n为偶数 0 为奇数（）G(ejw)

n

g(n)ejnw

n

x(2n)ejnw

k

kx(k)ej2wk为偶数k

x(k)(1)kx(k)ej2w11 122k2

x(k

jkw2

12k

x(k)(e

)ejkw221X(ejw)12 222

x(k)ejk(w)1X(ejw)1

k

j(w)222 Xe2 22 1 w w X(ej2)X(ej2)2 （2）G(ejw)

n

g(n)ejnw

r

g(2r)ej2rw

r

x(r)ejr2wX(ej2w)设序列x(nX(ejw，求下列序列的傅立叶变换。0 x(nn) n0 g(n)2n为偶数 0 n为奇数（3）x(2n)（）X(ejw)ejwn0x(x(n

n为偶数g(n) X(ej2w)0 n（3）x(2n)X(ejw2)计算下列各信号的傅立叶变换。1n ()（1）2

u(n3)u(n2)（2）n7)sin(2n)）x(n)cosn3) 1n4 0 其它（1）

1

j2knX(k)

n

()n2

u(nu(n2)e N

1()n2

j2N

1 () 2

j2Nn32

n22 j3Nk

ej2NkN11ej2kN21

411ej22Nj52kN21()5e Nj3Nk 2N11ej2kN27（2）假定n和sin(2nX(kX(k，则71 2X(k)(k182)(k182)1k

N

7 N 7 X(k)

(2k22k)(2k22k)2 jk

N

N 所以 X(k)X1

(k)

(k)2(k182)(k182)j(k22)j(

k22k) N 7k

N 7 N N ）X(k)4n44

cos31

nejn2kNN

2 (ej3nej3n)ejnNk2n4N33NN31ej4(2k)9ej(2k)n1ej4(k)9N33NN3

23Nej( )n3N2 2n0 n01 2

21ej( k)9 1

2

21ej( k)9 ej4(Nk32

3N21ej(3Nk)

ej4(Nk32

3N21ej(3Nk)求下列序列的时域离散傅里叶变换0x(n)， x(n)0解：

x(n) x(n)ej(n)X(ej) Rex(n)1x(n)x(n)ejn1X(ej)X(ej)X2 2

(ej) x0

(n)ej12

x(n)x(n)ejnjImX(ej)三、离散时间系统系统函数填空题：设Hz是线性相位FIRH(z31+j，该系统阶数至少为（。10.8z1j41阶。简答题：min何谓最小相位系统？最小相位系统的系统函数H (Z)有何特点？min式H(Z)

P(Z)

Mr

bZrr

，他的所有极点都应在单位圆内，即Q(Z)

1Nk1

aZkk 1。但零点可以位于Zk一个系统，使它的逆系统G(Z)1H(Z也是稳定因果的。这就需要H(Z)的零点也位于单位圆内，即 1。一个稳定因果的滤波器，如r果它的逆系统也是稳定因果的，则称这个系统是最小相位。等价的，我们有如下定义。【定义】一个有理系统函数，如果它的零点和极点都位于单位圆内，则有最小相位。一个最小相位系统可由它的傅里叶变换的幅值H(e唯一确定。从e求H(Z)的过程如下：给定e，先求ejw2，它是cos(kw)的函数。然后，用1(ZkZk替代cos(kw，我们得到G(ZH(Z)H(Z1。最后，2最小相位系统由单位圆内的G(Z)的极、零点形成。一个稳定因果系统总可以分解成一个最小相位系统和一个全通系统的乘积，即H(Z)H

min

(Z)Hap

(Z)完成这个因式分解的过程如下：首先，把H(Z)的所有单位圆外的零点映射到它在单位圆内的共轭倒数点

min

(Z)是最小相位的。然后，选择全通滤波器Hap的零点映射回单位圆外。

(Z，把与之对应的

min

(Z)中ap何谓全通系统？全通系统的系统函数H (Z)有何特点？ap解：一个稳定的因果全通系统，其系统函数Hap

(Z)对应的傅里叶变换幅值H(ej1该单位幅值的约束条件要求一个有理系统函数方程式的零极点必须呈共轭倒数对出现，即H (Z)P(Z)

Mr

bZrr

Z1k

Z

处有一个ap Q(Z)

1NaZkk1

1Zkkk极点，则在其共轭倒数点Z

处必须有一个零点。11kxnxnhnynH(ej)

h(n)ejn系统函数：H(Z)

h(n)ZnX(Z)ZX(Z) 卷积关系：y(n)

h(n)x(n)第三章离散傅立叶变换一、离散傅立叶级数计算题：如果x(n)2的周期序列。把x(n)的周期序列有x(n)

~(k)X1X

（周期为；把x(n)2的周期序列有x(n)~

~（周期为2~2。2

X(k)2

X（k）1~ N1

N1~

j2kn解： X1

(k)

x(n)WknN

x(n)e Nn0 n0X~(k)X2

2N1~ x(n~ 2N

N1x(

j2kN2

~2N~x

j2kN2n0 n0 nN对后一项令nnN，则~ N1

j2k

N1~

j2k(nN)X(k)2

x

N2

x(nN)e N2n0 n0e

)N1x(n0

j2kN2)X(ejk )X(2~k

k为偶数

(k)

2X()122

k为奇数二、离散傅立叶变换定义填空题某DFT的表达式是Xl)N1x(kWkl，则变换后数字频域上相邻两Mk0个频率样点之间的间隔是（ 解：2MDF的表达式是Xl)N1x(kWkl，由此可看出，该序列的时Mk0域长度（ 变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是（ 。解：N M如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满条件（ 。解：纯实数、偶对称采样频率为FHzz代表的物理s意义是（ ，其中时域数字序列x(n)的序号n代表的样值际位置（ ；x(n)DFTk)中序号k代表的样值实际位置又是（ 。解：延时一个采样周期T1FnTnF，k

2kN用8kHz的抽样率对模拟语音信号抽样，为进行频谱分析，计算了512点的DFT。则频域抽样点之间的频率间隔f为 ,数字角率间隔为 和模拟角频率间隔 。解：15.625，0.0123rad，98.4rad/s判断说明题：一个信号序列，如果能做序列傅氏变换对它进行分析，也就能DFT对它进行分析。 （ ）解：错。如果序列是有限长的，就能做DFT对它进行分析。否则，频域采样将造成时域信号的混叠，产生失真。计算题1X(k表示N点的序列x(n的NX(k本身也是一个NX(k的离散傅里叶变换得到一序列x(n)，11试用x(n)求x(n)。1解：x(n)N1X(kW

N1N1x(nWn

N1x(n)N1

k(nn)1 N

W WNN Nk0因为N1 N

k

n0 n0 k0nnNlk0所以

Wk(nn)N 0 其他x(n)N1Nx(nNl)Nx((n))1 n

R(n)Nx(n4点DFTx(k)x(n按下列（（点的DF（尽量利用DFT的特性）Xx(n)y(n)

n kn0~3（1）1

x(n4) n4~7x(n)y(n)

n0~3（2）2

0 n4~7y(n)x(n2

n偶数（3）3

0 n奇数解（）Y2k2Xk, 0k31 Y2k101（2）

k Yk X1Xk,k2k,0

7,0k32 1 2 1 1（3）

Y3

Xk1

Xk40k1

7,0kkk1

mod4设x(n2Nx(nN)x(n)x1

(n)x(n)RN

(nNDFTX1

(kx(n的2N点DFTX(k)X(k的关系。1解：X2

k推导过程略 12 N点DFT（闭合形式表达式）（1）x(n)anR(n) （2）x(n)nR(n)N N（）因为x(n)anRN

(n)，所以N1 j2

1aNX(k)

n0

ane

N 1

j2Nx(nnR(n，得NX(k)N1nWnkRN N

(k)n0WkX(k)N1nW(n)kR

(k)N N Nn0X(k)1Wk)(N1nWnkN1nW(n)k)R

(k)N N N N n0 n0 Wk2W2k3W3k(N1)W(N1)k(W2k2W3k(N2)W(N1)kN1)R

(k)N N N N N N N N((N)N1Wnk)RN N

(k)n1 Wk1(N1) N R(k)NR

(k)1Wk N N所以NX(k)

R1Wk N

(k)116计算下列序列N点DFT：116（1）x(n)an,0nN1（2）x(n)cosnm，0nN，0mN（）

N1

N 1aNWNK 1aN ，X(k)

n0

anWnkN

N1aWkN

1aWkN

0kN1（2）

N1

1N1

2 2 j mn j mn j nk2 2 X(k)

cos mnWnk eN e N e NN N 2 n0 n0 11ej2(km)1ej2(km)2 2 2 1e

j (km)N

1ejN(km)1ej(km)ej(km)

ejN1(km)

ej(km)ej(km)

ejN1(km)N2

N ejN(km)ejN(km) ejN(km)ejN(km) /r/