直线的一般式方程和点的对称问题教师版

直线的一般式方程和点的对称问题教师版直线的一般式方程和点的对称问题教师版直线的一般式方程和点的对称问题教师版直线的一般式方程和点的对称问题教师版编制仅供参考审核批准生效日期地址：电话：传真:邮编:直线的一般式方程知识点一直线的一般式方程1.若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A、B应满足的条件为()A．A≠0 B．B≠0C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0答案D解析要使Ax＋By＋C＝0表示直线，需A、B不同时为零(包括一个为0，另一个不为0)，显然A、B项均不满足，C项中表示A与B同时不为零，也不满足，只有D项正确．2．直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m的值为()A．－2B．2C．－3D．3答案D解析由已知得m2－4≠0，且eq\f(2m2－5m＋2,m2－4)＝1，解得：m＝3或m＝2(舍去).知识点二平行、垂直问题3.直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则n的值为()A．－12B．－2C．0D．10答案A解析由两直线垂直得2m－20＝0，m＝10，将(1，p)代入10x＋4y－2＝0得p＝－2，将(1，－2)代入2x－5y＋n＝0得2＋10＋n＝0，n＝－12.4．已知点P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C＝0外一点，则方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示()A．过点P且与l垂直的直线B．过点P且与l平行的直线C．不过点P且与l垂直的直线D．不过点P且与l平行的直线答案D解析∵点P(x0，y0)不在直线Ax＋By＋C＝0上，∴Ax0＋By0＋C≠0，∴直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0不经过点P.又直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0与直线l：Ax＋By＋C＝0平行．故选D.知识点三直线一般式方程的应用5.设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定m的值：(1)l在x轴上的截距是－3；(2)斜率是1.解(1)由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m－3≠0，①,\f(2m－6,m2－2m－3)＝－3，②))由①式，得m≠3且m≠－1.由②式，得3m2－4m－15＝0，得m＝3或m＝－eq\f(5,3).∴m＝－eq\f(5,3).(2)由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m2＋m－1≠0，③,\f(m2－2m－3,2m2＋m－1)＝－1，④))由③式，得m≠－1且m≠eq\f(1,2).由④式，得3m2－m－4＝0，得m＝－1或m＝eq\f(4,3).∴m＝eq\f(4,3).6．求分别满足下列条件的直线l的一般式方程；(1)斜率是eq\f(3,4)，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6；(2)经过两点A(1,0)，B(m,1)；(3)经过点(4，－3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等．解(1)设直线l的方程为y＝eq\f(3,4)x＋b.令x＝0，得y＝b.令y＝0，得x＝－eq\f(4,3)b，∴eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)b))))＝6，解得b＝±3.∴直线l的方程为y＝eq\f(3,4)x±3，化为一般式为3x－4y±12＝0.(2)当m≠1时，直线l的方程是eq\f(y－0,1－0)＝eq\f(x－1,m－1)，即y＝eq\f(1,m－1)·(x－1)；当m＝1时，直线l的方程是x＝1.综上，所求直线l的方程是x－(m－1)y－1＝0或x－1＝0.(3)设l在x轴，y轴上的截距分别为a，b.当a≠0，b≠0时，l的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1.∵直线过(4，－3)，∴eq\f(4,a)－eq\f(3,b)＝1.又∵|a|＝|b|，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)－\f(3,b)＝1，,a＝±b.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝7，,b＝－7.))当a＝b＝0时，直线过原点且过(4，－3)，∴l的方程为y＝－eq\f(3,4)x.综上所述，直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0.课堂练习：7．直线eq\r(2)x＋eq\r(6)y＋1＝0的倾斜角是()A．150°B．30°C．60°D．120°答案A解析直线的斜率k＝－eq\f(\r(2),\r(6))＝－eq\f(\r(3),3)，故其倾斜角为150°.8．直线5x－2y－10＝0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则有()A．a＝2，b＝5 B．a＝2，b＝－5C．a＝－2，b＝5 D．a＝－2，b＝－5答案B解析直线5x－2y－10＝0可以化为截距式方程eq\f(x,2)＋eq\f(y,－5)＝1，所以a＝2，b＝－5.9．两直线l1：mx－y＋n＝0和l2：nx－y＋m＝0在同一坐标系中，则正确的图形可能是()答案B解析化一般式为斜截式，得l1：y＝mx＋n，l2：y＝nx＋m，可见两条直线的斜率、截距恰好互换，所以选B.10．已知直线mx＋ny＝－1平行于直线4x＋3y＋5＝0且在y轴上的截距为eq\f(1,3)，则m、n的值分别为()A．4和3 B．－4和3C．－4和－3 D．4和－3答案C解析由题意得n≠0，于是直线可化为y＝－eq\f(m,n)x－eq\f(1,n).由－eq\f(m,n)＝－eq\f(4,3)，－eq\f(1,n)＝eq\f(1,3)，得m＝－4，n＝－3.11．已知直线(a＋2)x＋2ay－1＝0与直线3ax－y＋2＝0垂直，则实数a的值是()A．0 B．－eq\f(4,3)C．0或－eq\f(4,3) D．－eq\f(1,2)或eq\f(2,3)答案C解析当a＝0时，两直线分别为2x－1＝0，－y＋2＝0，此时两直线显然垂直；当a≠0时，两直线的斜率分别为－eq\f(a＋2,2a)，3a，所以－eq\f(a＋2,2a)·3a＝－1，解得a＝－eq\f(4,3).故选C.二、填空题12．直线l与直线m：3x－y－2＝0关于x轴对称，则这两条直线与y轴围成的三角形的面积为________．答案eq\f(4,3)解析由题意可得直线l：3x＋y－2＝0，则直线l，m与y轴围成的三角形的面积为eq\f(1,2)×4×eq\f(2,3)＝eq\f(4,3).13．如果对任何实数k，直线(3＋k)x＋(1－2k)y＋1＋5k＝0都过一个定点A，那么点A的坐标是________．答案(－1,2)解析解法一：取k＝－3，方程为7y－14＝0，y＝2；取k＝0.5，方程为3.5x＋3.5＝0，x＝－1.所以点A的坐标是(－1,2)；将点A的坐标代入方程得－(3＋k)＋2(1－2k)＋1＋5k＝0，所以直线恒经过点A.解法二：将k当作未知数，则方程可写成(x－2y＋5)k＋3x＋y＋1＝0.因为对于任意k值，等式成立，所以x－2y＋5＝0,3x＋y＋1＝0，解得x＝－1，y＝2，所以点A的坐标是(－1,2)．14．已知直线l与直线3x＋4y－7＝0平行，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，则直线l的方程为________．答案3x＋4y±24＝0解析设l：3x＋4y＋m＝0(m≠－7)，令y＝0得x＝－eq\f(m,3)；令x＝0得y＝－eq\f(m,4).∵直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为24，∴eq\f(1,2)×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(m,3)))×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(m,4)))＝24，∴m＝±24.∴直线l的方程为3x＋4y±24＝0.三、解答题15．求满足下列条件的直线方程．(1)经过点A(－1，－3)，且斜率等于直线3x＋8y－1＝0斜率的2倍；(2)过点M(0,4)，且与两坐标轴围成三角形的周长为12.解(1)因为3x＋8y－1＝0可化为y＝－eq\f(3,8)x＋eq\f(1,8)，所以直线3x＋8y－1＝0的斜率为－eq\f(3,8)，则所求直线的斜率k＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,8)))＝－eq\f(3,4).又直线经过点(－1，－3)，因此所求直线的方程为y＋3＝－eq\f(3,4)(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.(2)设直线与x轴的交点为(a,0)，因为点M(0,4)在y轴上，所以由题意有4＋eq\r(a2＋42)＋|a|＝12，解得a＝±3，所以所求直线的方程为eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)＝1或eq\f(x,－3)＋eq\f(y,4)＝1，即4x＋3y－12＝0或4x－3y＋12＝0.16．(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？

解(1)由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0，l2：mx＋3y－2＝0知：①当m＝0时，显然l1与l2不平行．②当m≠0时，l1∥l2，需eq\f(2,m)＝eq\f(m＋1,3)≠eq\f(4,－2).解得m＝2或m＝－3，∴m的值为2或－3.(2)由题意知，直线l1⊥l2.①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0显然垂直．②若2a＋3＝0，即a＝－eq\f(3,2)时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直．③若1－a≠0，且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－eq\f(a＋2,1－a)，k2＝－eq\f(a－1,2a＋3).当l1⊥l2时，k1·k2＝－1，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a＋2,1－a)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a－1,2a＋3)))＝－1，∴a＝－1.综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.对称问题点关于点对称17.若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点()A．(0,4) B．(0,2)C．(－2,4) D．(4，－2)答案B解析直线l1：y＝k(x－4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)．又直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2恒过定点(0,2)．18．已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是()A．4 B.eq\r(13)C.eq\r(15) D.eq\r(17)答案D解析由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝\f(x－2,2)，,y＝\f(5－3,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝1.))∴d＝eq\r(42＋12)＝eq\r(17).点关于线对称19．点P(2,5)关于直线x＋y＝0的对称点的坐标是()A．(5,2) B．(2，－5)C．(－5，－2) D．(－2，－5)答案C解析解法一：设P(2,5)和Q(m，n)关于直线y＝－x对称，则PQ的中点Req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋2,2)，\f(n＋5,2)))在直线y＝－x上，且kPQ×(－1)＝－1.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m＋2,2)＋\f(n＋5,2)＝0，,\f(n－5,m－2)×－1＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－5，,n＝－2.))∴对称点Q的坐标是(－5，－2)．20.求点P(－4,2)关于直线l：2x－y＋1＝0的对称点P′的坐标．解解法一：设点P′(x，y)，由PP′⊥l及PP′的中点在l上得方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y－2,x＋4)·2＝－1，,2·\f(x－4,2)－\f(y＋2,2)＋1＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝0，,2x－y－8＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(16,5)，,y＝－\f(8,5).))∴P′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)，－\f(8,5))).解法二：设点P′(x，y)，PP′⊥l于M，∵PP′的方程为(x＋4)＋2(y－2)＝0，即x＋2y＝0，∴解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝0，,2x－y＋1＝0，))得PP′与l的交点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5)，\f(1,5)))，由中点坐标公式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(－4＋x,2)＝－\f(2,5)，,\f(2＋y,2)＝\f(1,5)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(16,5)，,y＝－\f(8,5).))故P′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)，－\f(8,5))).距离最短问题21．已知A(1,6)，B(5,2)，点P在x轴上，则使|AP|＋|BP|取得最小值时点P的坐标为________．答案(4.0)解析∵A(1,6)关于x轴的对称点为A′(1，－6)，则|PA|＝|PA′|，当P点为A′B与x轴的交点时，|PA|＋|PB|取得最小值，又A′B的方程为eq\f(y＋6,2＋6)＝eq\f(x－1,5－1)，即2x－y－8＝0，令y＝0，得x＝4，∴P(4,0)．22.某地A，B两村在一直角坐标系下的位置分别为A(1,2)，B(4,0)，一条河所在直线的方程为l：x＋2y－10＝0.若在河边l上建一座供水站P，使分别到A，B两镇的管道之和最省，问供水站P应建在什么地方？

解如图，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，因为若P′(异于P)在直线l上，则：|AP′|＋|BP′|＝|A′P′|＋|BP′|>|A′B|，因此供水站只能建在P处，才能使得所用管道最省．设A′(a，b)，则AA′的中点在l上，且AA′⊥l，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a＋1,2)＋2×\f(b＋2,2)－10＝0，,\f(b－2,a－1)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1.))解之得eq\b\lc\{\rc\(\