取整运算(高斯函数)中的“断点”

运算（高数）中的“如果一组数是由连续的整数组成，我们就称这组数是连续的；如一组数是由一些不连续的整数组成，那么中间缺掉的整数就称为断点，所有断点的个数称为断点数。如｛1，2，4｝断点为，点数为｛0，，4，5｝断点为1，3，断点数为。设[表示不大于x的最大整数（关于高斯函数的详细前文）。【例】≤100时，[x]+[x/3]所有能取到的值为一组整数，求这组数的断点数。【解析当x=0时[x]+[x/3]=0x=100时[x]+[x/3]=100+33=133理论上[x]+[x/3]有134个；但是当x=3时，[x]+[x/3]=3+1=4，当＜＜3，[x]，[x/3]=0∴[x]+[x/3]=2，可见，[x]+[x/3]的值不能取到；当x=6时[x]+[x/3]=6+2=8，当＜＜6，[x]，[x/3]=1∴[x]+[x/3]=6，∴[x]+[x/3]的不能取到；同理[x]+[x/3]的不能取到，15，，131（3+4×32）故[不取到的共有个其断数；【例】≤200时，求的断点数。【解析】当x=0时，[2x/3]+[5x/4]=0，当时，[2x/3]+[5x/4]=133+250=383，论上[2x/3]+[5x/4]可能有个；但是当时，[2x/3]+[5x/4]，当＜x＜12时，[2x/3]=7，[5x/4]≤14，∴[2x/3]+[5x/4]，可见是[2x/3]+[5x/4]的断点；当x=24时[2x/3]+[5x/4]=16+30=46；当＜x＜24时，[2x/3]，[5x/4]≤29，∴[2x/3]+[5x/4]，∴是[2x/3]+[5x/4]的断点；同理68，91，，367（22+23×15）是的点，故[2x/3]+[5x/4]的断点数为；【探索1】过以上两个例子，可以看出，[(m/n)x]+[(q/p)x]（，p为整数，且，互，p，互质）在x=np，np-1＜＜时，存断点：当x=np时，当np-1＜x＜时，[(m/n)x]，[(q/p)x]-1，∴[(m/n)x]+[(q/p)x]-2，断点为mp+nq-1；当时，[(m/n)x]+[(q/p)x]=2mp+2nq，当2np-1＜x＜时[(m/n)x]，[(q/p)x]≤2nq，∴[(m/n)x]+[(q/p)x]≤2mp+2nq，

其断点为（）+（；，由此可知，（mp+nq-1（（k为非负整数）均为的点，断点数为k的大加1。如果x可为负数那么结论还能成立吗？【例】100≤x≤0时，求[x]+[x/3]的点。【解析时[x]+[x/3]=0x=-100时[x]+[x/3]=-134上[x]+[x/3]有135个；但是当-1＜x＜时[x]+[x/3]=-1-1=，可见-1为[x]+[x/3]的断点；当x=时[x]+[x/3]=-3-1=；当-4x＜-3时，[x]=-4，[x/3]=-2，∴[x]+[x/3]=，可见-5为[x]+[x/3]的断点；当x=时[x]+[x/3]=-8，当-7x＜-6时，[x]=-7，，∴[x]+[x/3]=-10，∴为[的点；由于-1=3+4×（），-5=3+4×（-2）-9=3+4×（-3）故形如为整数)的均是[x]+[x/3]的点，∵3+4k-134，：-34，∴[x]+[x/3]的点数为34结合【例1】【例】当100≤100时，∵-≤32，∴[x]+[x/3]的点数为67所以当x为负数时，仍然存在断点。【探索2】过【例3】以看出，[(m/n)x]+[(q/p)x]（，n，q为整数，且m，互，p，q互）在x为数时，存在断点：当-1)x，＜(q/p)x＜0时[(m/n)x]+[(q/p)x]=-2，故-（mp+nq-1）+（）（mp+nq）的断点；当x=-np时[(m/n)x]+[(q/p)x]=；当-np-1＜x＜-np时，[(m/n)x]，[(q/p)x]，∴[(m/n)x]+[(q/p)x]≤-mp-nq-2，其断点为-mp-nq-1=（mp+nq-1）（-2）mp+nq）；当x=时[(m/n)x]+[(q/p)x]=-2mp-2nq，当-x＜-2np时，[(m/n)x]-2mp-1，[(q/p)x]，∴，其断点为-2mp-2nq-1=（mp+nq-1+（-3）mp+nq），由此可知，（mp+nq-1）（mp+nq）k为整数）均为[(m/n)x]+[(q/p)x]的断点，断点数为|k最大值。

通过【探索1】和【探索2】知，形如[(m/n)x]+[(q/p)x]（，n，，q为正整数，且m，互，，互）的断点具有（）+k（）k为整数）的形式。如果有三个取整运算相加，那么断点具有什么特性呢？【例】≤100时，求（）=[(1/2)x]+[(2/3)x]+[(5/4)x]的点数。【解析】F0）=0，（）；根据前面的经验，当x=[2，，时即x为，，4的小公倍数）：F（）=6+8+15=29；当＜x＜12时，F（x）≤5+7+14=26，∴，为F（x）断点；当12=24时：F（）；当＜x＜24时，F（x），∴，为F（x）断点；，可见，F（）断点具备形如：及28+29k（k）的特点；令28+29k≤241，：≤7；令27+29k≤241，：k≤7；∴（x）0≤x≤100时断点数为综上所述，我们在讨论形如几个[（/n）x]（m，n均