麦克斯韦分布律与麦克斯韦-玻耳兹曼分布律

麦克斯韦分布律与麦克斯韦-玻耳兹曼分布律◆麦克斯韦速率分布律(1859)证明如下：利用数学公式：(见教材p228)麦克斯韦速度分布函数为：麦克斯韦速率分布函数为：(证毕)分子源温度T分子堆集层分子束速度选择器∴只有分子速率为：附近的那些分子才能穿过木槽而收集板上堆集。

显然堆集层越厚,在这个速度范围内的分子就越多。可测◆麦克斯韦速率分布律的实验检验(1955)◆麦克斯韦分布律的一些应用(1)分子速率的三种统计平均值(必记!!!)①平均速率：②方均根速率：③最概然速率：摩尔质量(2)气体分子碰壁数Γ与泻流数率Γeffu(自证或参见教材p61-62)单位时间内碰到单位面积容器壁上的分子数Γ:单位时间内从器壁小孔泻流的分子数Γeffu:可应用于同位素分离：例如容器内有两种气体(氢、氘)小孔氘(n1,m1)氢(n2,m2)收集容器V单位时间后，收集容器内n1',n2'∴氘分离(3)星体周围大气的稳定性物体逃逸出星球(Rs,Ms)需要的速率：G:万有引力常数;Ms:星球质量;Rs:星球半经星球表层气体气分子的方均根速率为：若K>>1时,气体分子不会逃脱星球;若K≤1时,气体分子会逃脱星球;定义：星球大气稳定系数K：计算结果表明：火星表面仅有CO2的稀薄气体；太阳系中其它行星无生命。必记公式:①平均速率：②方均根速率:③最概然速率：摩尔质量④归一性:必知概念：⑥[C]选择题1.

三个容器A、B、C中装有同种理想气体，其分子数密度n相同，而方均根速率之比

=1:2:4,则压强之比pA:pB:pC为：

(A)1:2:4(B)1:4:8(C)1:4:16(D)4:2:1

[B]金属导体中的电子，在金属内部作无规则运动,与容器中的气体分子很类似.设金属中共有N个自由电子，其中电子的最大速率为,电子速率在v～v+dv之间的概率为式中A为常数.则该电子气电子的平均速率为选择题2.(A)(C)(D)(B)选择题3.

按照麦克斯韦分子速率分布定律，具有最概然速率的分子，其动能为:(A)(B)(C)(D)[C]关于温度的意义，有下列几种说法：(1)气体的温度是分子平均平动动能的量度.(2)气体的温度是大量气体分子热运动的集体表现，具有统计意义(3)温度的高低反映物质内部分子运动剧烈程度的不同.(4)从微观上看，气体的温度表示每个气体分子的冷热程度.这些说法中正确的是(A)(1)、(2)、(4)(B)(1)、(2)、(3)(C)(2)、(3)、(4)(D)(1)、(3)、(4)选择题4.[B]◆重力场中微粒密度随高度的等温分布n0是z=0(地面)处的微粒数密度m大则n↓快→大气上层氧气(O2)少,氢气(H2)相对多。应用:P可测，从而求出h式中：p0是z=0(地面)处微粒系统的压强。∴该系统中的n、p随高度z的增大而指数衰减。显然:图中小区间内的粒子数：无限高的柱体内总粒子数：所以，重力场中粒子随高度z的等温分布律为：◆玻尔兹曼密度按位置分布律与麦克斯韦-玻尔兹曼分布律(1)玻尔兹曼密度按位置分布律在重力场中粒子数密度分布为：式中：U(z)表示粒子在重力场中的势能在回转系统中粒子势能U(r)为:所以,龙卷风等的外沿破坏力极大,而中心如常。

玻尔兹曼推广：若粒子在任意外场中的势能为U(r),则各物理量的分布律为：(2)麦克斯韦-玻尔兹曼分布律

微覌粒子按速度的麦克斯韦速度分布律：为动能

微覌粒子在外场中按位置的玻尔兹曼分布律：为势能

由概率论知：两独立事件同时出现的概率是各独立事件概率之积，所以粒子按速度v和位置r的分布律即麦克斯韦-玻尔兹曼分布律为：§2.3

能量均分定理与热容

★分子的自由度自由度:决定物体位置所需要的独立坐标的数目质心自由度t；转动自由度r；掁动自由度s单原子分子:

若原子视为质点→3个自由度→t=3

若原子视为有体积大小→3+3个自由度→t+r=6两个确定转轴取向,一个旋转双原子分子:

原子视为质点→t+r+s=3+2+1=6个自由度两个确定空间取向,无旋转n原子分子:

t+r+s=3+3+(3n-6)=3n个自由度两个确定转轴取向,一个旋转(∵有体积大小了)注：刚性分子无振动自由度.刚性双原子5个自由度.★能量均分定理频繁碰撞→传递动量和能量→系统热平衡态各自由度上的能量相互充分交换→能量均分每个分子的平均平动动能：由§1.6知：所以，每个平动自由度上的动能平均值为：能量均分定理：分子在每个自由度上的平衡能量：所以每个分子平均热能量为：注：一个振动自由度s上有振动动能和振动势能★理想气体的内能及热容(1)理想气体的内能组成理想气体系统的所有粒子自身的热运动能量质量为M的理想气体内能为：摩尔质量总粒子数粒子能量1摩尔的理想气体内能为：t:质心平动自由度；r:转动自由度；s:掁动自由度注：(2)理想气体的定体热容CV系统体积不变,温度升高或降低1K时系统吸收或放出的热量

由热力学第一定律知：在体积不变时，系统吸收的热量△Q全部用于系统内能增加△U。所以有：摩尔定体热容CV,m：比定体热容cv：←单位质量的定体热容单原子分子(t=3,r=0,s=0)：刚性双原子分子(t=3,r=2,s=0)：刚性多原子分子(t=3,r=3,s=0)：§2.4微覌粒子运动状态分布規律的一般讨论●微观粒子运动状态的描述微观粒子:分子、原子、电子、原子、光子、核子等经典理论：粒子运动状态由x,y,z,vx,vy,vz构成六维空间→相空间中轨迹→相轨道来描述；能量ε连续量子理论：微观粒子具有实物粒子性和波动性→波粒二象性,运动状态由概率波函数ψi和分立能量εi的来描述。量子理论结论：能级简并度粒子数分布微覌粒子的内禀属性：质量m,电荷量q,自旋s等自旋：微观粒子绕自身的某些轴转动自旋量子数s：描述自旋的自由度●微观粒子系统的分类费米子：自旋量子数为半奇数即s=1/2,3/2,5/2,…如:电子等.

在费米系统中,一个量子态只允许有一个费米子。玻色子：自旋量子数为整数即s=0,1,2,3,…如:光子等.

在玻色系统中,一个量子态允许有多个玻色子。全同粒子：具有完全相同的内禀性质(质量、电荷、自旋等)的同类粒子近独立粒子系统：系统中粒子间的相互作用可忽略，系统能量可表示所有单个粒子能量之和。强关联系统：系统中粒子间的相互作用不能忽略，系统能量是所有单个粒子能量再加所有粒子间相互作用能。泡利不相容原理：在费米系统中，不可能有两个全同的费米子处于同一量子态。玻耳兹曼系统：在经典近似下，由可分辨近独立粒子组成,并且每个量子态上允许有多个粒子。●近独立粒子系统的粒子数按能量的最概然分布

ab0ba

ab0ab①②③④微观态数：22个AB

201

102①②③宏观态数：3个AB

①箱分成两等份格子：

◆箱内有两个分子a、b：a、b分子在箱内可能位置如表:AB(1)微观态与宏观态所有微观粒子运动状态的可能组合称为系统的微观态◆箱内有三个分子

abc0

bcacba

abc

cba

abacbc0abc

AB①②③④⑤⑥⑦⑧微观态数：23个30

2

1

1

2

03

AB①②③④宏观态数：4个

◆箱内有四个分子a,b,c,dabcd0acdcdadababcabcdcdabbdacbcadabcdacbdadbcdcbaabcabdbcdbcd0abcdAB微观态数：24个=161234567891011121314151640

31

22

1

304AB宏观态数：5个①②③④⑤

可見，第3个宏观态对应的微观态个数最多(有6个微观态)，最可能出现.……

若箱内N个分子，则有2N个微观态，并且每个微观态出现的概率相同。显然，对应微观态最多的那个宏观态最稳定即N个分子均匀地分布在A、B两格子内是最可能出现的宏观态.当N很大时，该宏覌态所对应的微覌态个数可近似为2N.

②箱分成三等份格子：ABC有3N个微观态③箱分成n等份格子：有nN

个微观态结论：△一个宏覌态对应多个微观态；△最多的微观态所对应的那个宏观态就是平衡态；N个分子均匀分布在n个格子的宏观态所对应的微观态数目最多(可近似为nN个),所以概率最大.该宏观态就是平衡态。研究路线：

平衡态下各微覌态出现概率→统计方法→微观量统计平均值宏覌量(2)等概率原理(玻尔兹曼1871年提出)平衡态孤立系统中每个可能微观态出现的概率都相等。设微覌态总数为Ω，则任意一个微观态出覌的概率为1/Ω。(3)最概然分布的概念

能级简并度粒子数分布

一个宏观态对应于一个确定的｛N｝分布；一个确定｛N｝分布对应于一定数量的微观态；一个宏观态对应于确定数量的微观态。最概然分布：微观态数目最多的那个宏观态(平衡态)对应的分布｛Ni｝为最概然分布。

例如：箱内有四个分子a,b,c,dabcd0acdcdadababcabcdcdabbdacbcadabcdacbdadbcdcbaabcabdbcdbcd0abcdAB微观态数：24个=161234567891011121314151640

31

22

1

304AB宏观态数：5个①②③④⑤最概然分布(3)玻尔兹曼系统的最概率分布玻尔兹曼系统:粒子可分辨,粒子能级属简并的(即每个能级允许多个粒子)研究路线：

任意分布｛Ni｝对应微覌态数Ω→Ω极值→最概然分布∴编了号的Ni个粒子占据gi个量子态有giNi种方式

能级简并度粒子数分布有gi个量子态第1个粒子占据gi个量子态，有gi种可能方式;第2个粒子占据gi个量子态，也有gi