2022考研数学（一）9月模考试卷附答案解析

2022考研数学（一）9月模考试卷附答案解析函数/(x)=2+cxsinx-i_函数/(x)=————在x=0处为(A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D.振荡间断点［参考答案］A［答案解析］/（X）在x/（X）在x=0处间断，考虑间断点处的左、右极限.故x=0是/（x）的可去间断点，A正确./@）=（/+3工+2）"-可不可导点的个数为（）.A.1B.2C.3D.4[参考答案]B[答案解析]/(x)=(x+2Xx+1)|x+11|x||x-11,由常用结论：设/(x)=(p(x)|x-a|,其中奴工)在a处连续，则在a处可导的充要条件是以。)=0.可知显然，/(x)有x=O,x=l两个不可导点.*<设11=[/sin(sinx)dx,I2=j?cos(sinx)dx，贝lj( )A.<1<Z2B.J2<1<4c.i<a<a［参考答案］A［答案解析］因为xeOg］,所以在该区间上sinx单调增加，cosx单调减少，而sinx<x,故当x6(0：/)B寸，有sin(sinx)<sinx,cos(sinx)>cosx,jr < K故人=[2sin(sinx)dx<[2sinxdx=-cos瑁=1?Z2=|2cos(sinx)dx>[2cosxdx—sin =1.综上可知,Zl<l</2,A正确.设/(乂y)=arcsin旧+r,则下列选项正确的是()A/(0,0)存在，4。①存在B.£(0,0)不存在，4(0.0)存在C.《(0,0)不存在，4。0)不存在D/(0,0)存在，4。0)不存在［参考答案］B［答案解析］/，/八八、♦・/（工°）一/（°，0）«.arcsinIx|「Ix|丁―

/（0,0）二hm八一八/二hm LJ=hmLJ,不存在，x^O x x^O x xtOxf；（Q,0）=Um/（°6/（Q°）=Um%叱=lim^-=0,故B正确> y 3-0 y jtOy'abb、设/=bab（。,6均不为0）,且r（N*）=l,则必有（）.,bbaA.a=bB.a=b或a+2b=0C.a+26=0-D.awb且a+2b=0［参考答案］C［答案解析］abb 1又|Z|=6ab=(a+26)lbba 1由/(4*)=1,abb 1又|Z|=6ab=(a+26)lbba 10 0a—b0=(a+2b\a—6)*=0,得a+2b=00a-b又当a=6时，“N）=l=2,故a+2b=0（由a］均不为零，可知a+2b=0已经蕴含axb）,故C正确.设向量组外,%,外，外线性无关，则下列向量组线性无关的是（）.a1+ a］+a?：“三+a4：a4+〃］%+ +%：%+。灯a4-%a1+ .a.fltj.a：+ ~~a1a1一a.%一%：a；-a41aa—a、［参考答案］B［答案解析］考虑到选项中每个向量均为J的线性组合,记月=4+/：河=生+生：区=生+q：笈=4一里，"loo-rnl 1100记则（片血血,&=（%%里a）oil。r%%%a）c、0011,由%%线性无关，及|。=200,即c可逆，故月030线性无关.已知％是非齐次线性方程组=6的两个不同解，八蜃是对应齐次线性方程组3=0的基础解系，占他为任意常数，则上=。的通解为()人左耳+用(耳+务)+生干C.瓦电+总(％+/)+"i*D«《+质(％—/)+生于［参考答案］B［答案解析］Ax=b的通解为4r=0的通解加上Ax=b的一个特解，根据非齐次和齐次线性方程组解的性质与结构，知/(4_马=；⑷一如=0,,4("^)=；(沏+9)=6,即是.心=0的解，故排除A,C.因不能判定％-秘是否与。线性无关，所以不能选D.事实上，由：(％+2)是的解，且刍与媪-刍线性无关，所以媪，是缶=0的基础解系，故B正确.下列函数巾，可作为某一随机变量的分布函数的是()A.尸(力+x2B.F(x)=-arctanx+—7l 2‘1y-(1-e),x>0,C.F(x)=j20tx<0,D.F(x)=「/«)必且rf3dt=1J«^d J［参考答案］B［答案解析］尸（x）要成为某一随机变量的分布函数，必满足以下三个条件：（D0<F（x）<LF（-h»）=L尸（y）=0；②F（x）是单调不减函数；③尸（X）右连续，即H吗尸（X）=尸⑷.X-W只有选项B满足以上三个条件，而A,C中产（力不满足5（口）=1,D中产（力不一定单调不减.9设随机变量KF均服从N（OJ）,且X与y相互独立，则（）A.P（^-F>0}=-B.P{X+F>O}=iC.P{min{^,r>>O}=l4D.尸{max{X,y}20}=L4［参考答案］c［答案解析］令4={XN0}.4={YNO},贝|J4与4相互独立，目尸（4）=尸（4）=J；次.其中为“（0」）的概率密■度,故尸{min{X.r>>0}=P{X>o.r>o}=p（4.4）=尸（4）尸（4>=-,c正确.4由X」•相互独立且均服从“（0.1）,矢口X+工X 服从2V（0,2）,故?{x+y>o}=P{jf-r>0）=-,P{max{X.y}N0}=尸（4U=1一尸sU4）=1-尸（Z）尸（石）=：,选项A,B,D错误.10

设袋中有6只红球，4只白球，任意摸出一只球，记住颜色后放回袋中，共进行4次，设X表示摸到红球的次数，则b=().A」5B.§5C25D竺5［参考答案］C［答案解析］依题设，可知试验为有放回摸球，故每次摸到红球的概率为1TOC\o"1-5"\h\z□ 317所以X~3(4，)，故百=摩=4*-=—.故选C.3 5△11设>=f(x)由方程x=f*sin 确定，则lim4/(-)-1]=4 舟"*® 差［参考答案］x=『"sin：(乌辿两边同时对x求导，得l=<y-l>sin：C(j-x)］,Ji4 4解得T=csc12(jt)］+L又由已知，当x=0时,y=1.4即"0)=1,故力3=3，于是lim«(/(-)-1于是lim«(/(-)-1]=lim界t* n 屋fan———=r(o)=3.12积分『法”二

［参考答案］Larctanx,lfzL1 r*®dx——\ax=-\arctanxa(—)=-arctan + -JiXr2 Ji 分邰积分4=--Ivcos—ydv r2 Ji 分邰积分4=--Ivcos—ydv =-T(2+^).户】" 2 TV加Ldx=—H 54J1x(l+F)=lim(in,——-In=-In2,故原积分=二+工1112一iJl+67 02 4213二重积分/=二重积分/=(*Qsinf4'+.7tX,sin——av=［参考答案］由已知，作出积分区域。，交换积分顺序，如图所示,Z=sin^fr=f：^(cos--cos-y)rfv'K“Jj2yJ1乃2 2'14方程（1-f）P-孙'=o满足v（o）=osy（o）=1的特解为

［参考答案］已知方程为不显含y的可降阶方程，令旷=「，则/=7,原方程变为Q-1)p'-空=0,即p—:、p=0(xH±l),为一阶线性微分1-X方程,由P(O)=y(O)=l，得G=l, ?=arcsinx+C2.• •VI-x2又由>,(0)=0，得G=。，所以y=arcsinx(T<x<l).15设"x)=x1设"x)=x131-lxI3x12；，则f的系数为［参考答案］若按第1若按第1行展开,只有-2x乘以其代数余子式会出现x3项,故只要求出这一项即可.(-2x)-(-l)U21133x(-2x)-(-l)U21133x11-11=2x03x-30=2x(3x-3Xx+l)=6x3-6x,故X3的系数为6.16设事件4瓦C满足尸(X)=尸(B)=尸(C)=LP(,4)=P(BC)=O,P(XC)=L4 8则4瓦C三个事件中至少出现一个的概率为.［参考答案］由JBCuAB,知产(ABC)《尸(，四)=0,所以尸(且BC)=0,故所求概率为产(dU3UC)=尸(冷+尸(3)+P(C)-P(AB)-P(AQ-P(BC)+P(ABC)17求下列极限:01+4^](1)设lim—-^-^=-(a>0,a*l),求TOC\o"1-5"\h\zx-0 a-\ 2 J。x-(2)设/(x)是三次多项式，且有lim""=lim""=1(。工0),求7ax—2a--a,•/(X)lim- .X^3ax-3a[答案解析]Mil+3]i(1)由已知li%一户产■=：,结合极限和无穷小的关系,有1。a—1 2皿1+311其中lima=0,又当x—>0时，a*—1-xlna,所以有x-^>ln[l+ ——xlna4-axlna,sinx2从而 (这里axlnc是比x高阶的无穷小)，即有sinx2f(-g\i f('r\不sinxlna,-sinxlna,故= --Inax2 I乂XT®X2(2)由li中-=lim'(')=l(a*0)»可知/(2a)= =0(否则限为x-»2ax—2ax—"x—4ag)-因而x-2»,x-4a均为/(x)的因式，又/(x)是三次多项式，故可令/(x)=4x-%)(x-4a)O-8),其中43为待定律教TOC\o"1-5"\h\z由liml^L=s心-241水1)一"%T),^x-2a心 x-2a矢口-2322-3)=L ①由kfS…令—X”=2Aa(^a-B).4oay x—4a知2/a(4a-5)=L ②联立①©式，育翠得H=上.3=3a,2a从而/(x)=—(x-2aXx-4a)(x-3a).2aTOC\o"1-5"\h\z妞rMr白(L%Xk4aXx-3a) jAXlim--=lim-==- =——.x~*iax—3ax—3a x—3a 218求平面；+v+;=l和柱面r+/=l的交线上与四，平面距离最短的点.345［答案解析］依题意，平面与柱面的交线在My面的上方，故归纳为求z=5（1V-当在条件/+），2=1下的极值.34利用拉格朗日乘数法，令2=乂1一；一上）+双/+/一1）,贝I34' 5Z!=--+22x=0,3,L!=――+2Av=0,J4 ”£；=x2 -1=0,解方程组，得（"（总令根据题设的实际意义，存在最小值，比较2娱）=*（-,-》=泽知距离最短的点为艰含19设曲面S为上半圆锥z=右了被圆柱面V+丁=2水八0）所截出的有限部分，计算/=］J（/y+）z'+z2x）dS.s［答案解析］

如图所示，曲面S关于xOz面对称，X2｝和关于丁是奇函数，故［Jx2ydS=［［yz2dS=0.s s由z=Jr2,得dS=也+z；2+z；dxc（y=梃dxdy,故Z=[[(x^y+yz2+z2x)dS=0+0+[[z'xdS=五[[+y2)dxdy=0(Xmarcosdr1rdr=>j2^cosOdd/。。*'?*”乎区cos夕(Zapcos53"=立笑应(2a)5、531乃~5 ^642~220设数列｛4｝满足a*=%+nd,n=1,2,--,其中a0工0.d=。为常数.（1）求的收敛域；»>0⑵求它系［答案解析］(1)利用公式求收敛半径1im|也|=lim|%+(〃+1”|=1,劣—sa°+nd故火=1,收敛区间为(-Ll).当》=±1时，3仁l)"q发散(由蚓4工0),故收敛域为(2)求£a“x”的和函数S(x).4。s(x)==乞(%+必/=£"+4代TOC\o"1-5"\h\zn-0 it-0 aO aO记 * Z7a=$i(x)+SJx),S](x)=£ ,2 1-XSB00 » 1SG)= nr"=dx^nx^1=dx£(x")’=dx(£x")'=dr(--)'=---yaO U0 Z aO 1-X (1-X)故S(x)==」+■.令x=；,得它叁=〃+*.1—XU—X) 1A0工21设/为3阶实对称矩阵，二次型/(再，孙巧)=一生在正交变换x=0•下的标准形为-£+形为-£+ +*，其中。的第1列为*,白)，'且|/|=-4・(1)求a的值；(2)求正交矩阵［答案解析］

⑴由二次型在正交变换X=0•下的标准形为-4+2*+*,知矩阵.4的特征值分别为4=-1,4=24=a.又由|/1=4&4=(T)x2xa=-4,得a=2_(2)由正交矩阵Q(2)由正交矩阵Q的第1列为尸，可知特征值4=-1对应的特征向量为q=(1,1,1/.令a=(4孙七)7'是4=4=2对应的特征向量，则由afa=R+Xj+x3=0,解得生=Q-L0)。/=43,-1尸是&=%对应的特征向量，且生，生正交.将名,生,区单位化，得不=,则为所求的正交矩阵.将名,生,区单位化，得不=,则为所求的正交矩阵.r1设总体X的概率密度为〃x)=反「' 为总体X的［0, x<0,简单随机样本.(1)求4的最大似然估计量(2)记y=lnX,求】'的分布函数和［答案解