2022高考数学真题分类汇编06数列

2022高考数学真题分类汇编

六、数列一、选择题1.（2022•全国乙（文）T10）已知等比数列｛《,｝的前3项和为168,%一生=42,则％=（）A.14 B.12 C.6 D.3【答案】D【解析】【分析】设等比数列｛4｝的公比为4，4#0,易得q#l，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列｛为｝的公比为q,qxO,若q=l,则。2-%=0，与题意矛盾，所以q。1,[a,=96TOC\o"1-5"\h\z则「 2 3 ]_g ,解得 ，a2-a5=axq-axq^=42 I2所以4=a、q-=3.故选：D.2.（2022•全国乙（理）T8）已知等比数列｛《,｝的前3项和为168,%-%=42,则4=（）A.14 B.12 C.6 D.3【答案】D【解析】【分析】设等比数列｛a,,｝的公比为q,q。。，易得根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列｛4｝的公比为若4=1,则生一。5=。，与题意矛盾＞

所以qHl,解得,所以qHl,解得,所以4=4。'=3.I

q=-2故选：D., 1亿=1H -数列也｝：4=1+工，- ±.CZ1, 1亿=1H -数列也｝：4=1+工，- ±.CZ1 '%%eN*(Z=l,2,…).则()Ab.<bs B.b.<b*lJ Jo【答案】D【解析】%+—彳，…，依此类推，其中+ %C.4<b? D.”<b]【分析】根据4eN*(Z=l,2,…)，再利用数列｛2｝与4的关系判断｛2｝中各项的大小,即可求解.【详解】解:因为4eN*(Z=l,2,…)，,111 > 所以囚<6+——，a]1,得到4>打，ai11a.+—>a.+ - , ,同理a?a+1_，可得&4>4%故4＜故4＜々，&以此类推，可得4>4>/>&>•••,4>&，故A错误:4〉打〉々，故B错误:11«2+——，得打<绿，故c错误:11,+ j—>/+ j—。2+ 「 «2+-- 丁，得仇<4，故D正确.故选：D.4.（2022•新高考n卷T3）中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现.如图是某古建筑物的剖面图，。口,。。1,5男,/141是举，。2，。£,。耳,姐是相等的步，相邻桁的举步之比分别为奈=0.5，U=K，7^=%2，W：=%，若勺,攵2，%是公差为01Cz£x| jL7（_j CZ>| O/i|

B.0.8CB.0.8C.0.85A.0.75D.0.9【答案】D【解析】【分析】设则可得关于占的方程，求出其解后可得正确的选项.[详解】设OD、=DC1=CB]= =1,则CC\=A,BB、=k2,AA,=k3,DD.+CC.+BB,+AA八。依题意，有七一。2=仁，%-0.1=%2,且标二方=。725,UL)\+ZJC,+Co,+o/A|4故选：4故选：D0.725,故&=0.9,5.(5.(2022•浙江卷T10)已知数列｛4｝满足q=I,/=an--a^(neN—<1—<100tz.f¥><32 10073<10040nv—1002D.75v100%00V4【解析】【分析】先通过递推关系式确定｛4｝除去q,其他项都在(0,1)范围内，再利用递推公式

1111 1 1/ C、 2 c变形得到 =-——累加可求出一＞彳（〃+2）,得出100即融＜3,再利用4+143-an3 an3iiiii v a“+ia”3-an3_33〃+25,再次放缩可得出1004no＞].2【详解】易得生=36（0，1），依次类推可得（01）由题意，an+l由题意，an+l=ani,即一=

«n+I - F an3-an'1 1_1 \_an+l an3-a” 311,一、 >;,(〃22),

an-\3累加可得 1>彳(〃-1)，即―>彳(〃+2),(〃22),4 3 an3a”< ,(〃N2),即41nov—»lOO6Zww,< <3,"n+2v' ""34网3411_]]_111_]]_1,(n>2)l-1<i1a3a2311+ 3),nJ1,1/累加可得 !<-(«-«„ 31)h—,(n>3),

nJ--1<33+-(-+-+..-+—|<33+-(-x4+lx94|<39,40G 3(23 99J3^2 6 )99即」一<40, 即100a心>2；4oo 40 ，x）2综上：—<l（X）tZ］（）0<3.故选：B.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用递推关系进行合理变形放缩.二、填空题（2022・全国乙（文）T13）记5“为等差数列｛《,｝的前〃项和.若253=3§2+6,则公差d=.【答案】2【解析】【分析】转化条件为2（q+2t/）=2q+d+6,即可得解.【详解】由2s3=3S2+6可得2（q+02+43）=3（4+4）+6,化简得2a3=4+出+6，即2（q+2t/）=2q+d+6,解得d=2.故答案为：2.（2022•北京卷T15）己知数列各项均为正数，其前〃项和J满足凡=9（〃=1,2,…）.给出下列四个结论：①｛4｝的第2项小于3： ②｛4｝为等比数列；③｛4｝为递减数列； ④｛““｝中存在小于焉的项.其中所有正确结论的序号是.【答案】①③④【解析】9 9【分析】推导出为= ,求出4、的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利4%用数列单调性的定义可判断③.【详解】由题意可知，V〃eN*，。“>°，

当〃=1时，a；=9,可得q=3；TOC\o"1-5"\h\z9 9 9 9当〃22时，由S〃=一可得S〃_]= ,两式作差可得。〃= ,凡 an-\ anan-l9 9 9所以，——=一一%，则一一4二3,整理可得。；+3。2-9=0,an-\an 〃2因为生＞。，解得%=当等口＜3,①对:所以，S；=S3,可得da+qfudO+q+T),解得g=0,不合乎题意,故数列｛4｝不等比数列，②错：假设数列｛4｝为等比数列，设其公比为假设数列｛4｝为等比数列，设其公比为q,则a；81S59a 9(a-a)当〃22时，an= = _J〉。，可得4＜勺_1,所以，数列｛4｝为递减数anan-\ anan-\列，③对；假设对任意72GN*»-tt»则S]0000GN10。00°x =1000，100 1009 9 1所以，400000=1-4诉^＜诉，与假设矛盾，假设不成立，④对.3100000KKK,故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导.三、解答题2s1.(2022•全国甲(文T18)(理T17)记S”为数列｛q｝的前"项和.已知一^+n=2an+l.n(1)证明：｛4｝是等差数列；(2)若为，%,％成等比数列，求S"的最小值.【答案】(1)证明见解析：(2)-78.

【解析】5"-5“t，”22S.一］【分析】（1）依题意可得25“+〃2=2〃41+〃，根据4=｛”" 5"-5“t，”224〃~an-\-1，从而得证；（2）由（1）及等比中项的性质求出“，即可得到｛4｝的通项公式与前〃项和，再根据二次函数的性质计算可得.【小问1详解】2S ,解：因为一-+n=2an+1,即2s〃+〃2=2〃。〃+〃①，当“N2时，2sAi+("-1)2①一②得，+〃2_2szi_1一("—I]=2nan+n-2(«-l)azl_1-(«—1),即2tz〃+2〃-1= -2(〃一+1,即2(〃- 一2(〃-I)。”〕=2(〃-1),所以。〃一。〃_1=1,且〃wN*,所以｛凡｝是以1为公差的等差数列.【小问2详解】解：由(1)可得4=4+3,%=4+6,%=4+8,又能，叫，。9成等比数列，所以外？=。4•%，即(4+6)2=(4+3)•(4+8),解得4=-12，所以,当〃=12或〃=13时(Sjin=-78.是公差为一的

32.（2022•新高考I卷T17）记S“为数列血｝是公差为一的

3等差数列.（1）求｛4｝的通项公式;TOC\o"1-5"\h\z1 1 1c(2)证明：—।■> 1<2.【答案】(1)% ——Ln2(2)见解析【解析】【分析】(1)利用等差数列的通项公式求得巨=1+：(〃-1)=修，得到S=("2)%«„ 3 3 " 3利用和与项的关系得到当〃22时，a“二S“_S“ + + ,进而得:""a3 3幺-=空，利用累乘法求得％=""+1),检验对于“=1也成立，得到｛4｝的通项公〃一] 2(2)由(1)的结论，利用裂项求和法得到'+1•+…+,=2(1-一]],进而证得.axa2an〈 n+1J【小问1详解】S.,V4=1,/.St=«1=1, =1,s又(口■〉是公差为一的等差数列，la»J3..上=i+:(〃tW，...s=(^kan3、 ' 3'% 3，当〃22时，5=(〃+1)。”3,"T3.„ec (〃+2)勺(〃+1)%•W=>fT=-3 3-整理得：(〃-1)。“=(〃+1)。1，

日n4〃即 ,%〃Ta. a.an:.an=%x=x-x...x-——a]a2 an-2an-\TOC\o"1-5"\h\z,34nn+1 +=lx—X—X...X X = -23n-2n-\ 2显然对于〃=1也成立，二｛4｝的通项公式an=；【小问2详解】上=」一=2仕一」4an+\nn+1)(2022•新高考II卷T17)已知｛〃〃｝为等差数列，也｝是公比为2的等比数列，且67)-h-y=々3_"3=仇― ,(1)证明：4=b］；(2)求集合｛4也=am+a1,l<m<500｝中元素个数.【答案】(1)证明见解析；(2)9.【解析】【分析】(1)设数列｛《,｝的公差为d,根据题意列出方程组即可证出;(2)根据题意化简可得加=2卜2,即可解出.【小问1详解】设数列｛4｝的公差为设数列｛4｝的公差为d,所以,q+d-24=q+2d_4bl

%+d—2bl=8Z?|—(q+3d),即可解得，所以原命题得证.【小问2详解】由（1）知，瓦=%=三,所以％=。,“+4 x2&t=4+（，〃-l）d+q,即2k~'=2m>亦即机=2"2G[1,500],解得2WZW10,所以满足等式的解攵=2,3,4,…[0,故集合住也=《“+4，14小4500｝中的元素个数为10-2+1=9.（2022•北京卷T21）已知0：4M2,…，4为有穷整数数列.给定正整数〃?，若对任意的ne ,在°中存在4,4+i吗+2,…NO）,使得4+4+1+4+2+…+a*=n则称0为小—连续可表数列.（1）判断Q：2,1,4是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；（2）若Q：4M2,…，见为8-连续可表数列，求证：上的最小值为4；（3）若。吗,小，…，应为20-连续可表数列，且4+/+…+%<20,求证：k>l.【答案】（1）是5-连续可表数列；不是6-连续可表数列.（2）证明见解析. （3）证明见解析.【解析】【分析】（1）直接利用定义验证即可；（2）先考虑&W3不符合，再列举一个k=4合题即可；（3）左W5时，根据和的个数易得显然不行，再讨论无=6时，由q+%+♦••+,<2。可知里面必然有负数，再确定负数只能是-1,然后分类讨论验证不行即可.【小问1详解】4=1,q=2,q+〃2=3,%=4,4+。3=5,所以Q是5-连续可表数列；易知，不存在使得4+4z+-+q+/=6,所以。不是6-连续可表数列.【小问2详解】若女43,设为。：。,方起,则至多々+人,。+孰4+。+仁04。，6个数字，没有8个，矛盾：当％=4时，数列1,4,1,2,满足q=l,%=2,%+。4=3,出=4,axd-Oj=5,4+%+/=6,%+。3+。4=7,q+。2+。3+。4=8,kn^n=4.【小问3详解】,若i=J最多有2种，若i*j,最多有C；利i,所以最多有,,女住+1）川k+Cj=」——^种，若％W5,则",生，…，4至多可表式甘"=15个数，矛盾，从而若&<7,则％=6,a,"c,d,e,f至多可表我』=21个数，而a+b+c+d+e+/<20,所以其中有负的，从而a,b,c,d,e,f可表1〜20及那个负数（恰21个），这表明。〜/中仅一个负的，没有0,且这个负的在。〜/中绝对值最小，同时。〜/中没有两数相同,设那个负数为一皿，"21）,则所有数之和Nm+l+/M+2d i-m+5—m=4m+l5,4/n+15<19=>/n=l..•.（a,b,c,d,e,f}={-l,2,3,4,5,6},再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足20个，•.•1=7+2（仅一种方式），.♦.一1与2相邻，若-1不在两端，则？，-1,2,一一」形式，若x=6,贝心=6+（-1）（有2种结果相同，方式矛盾），：.x^6,同理xw5,4,3,故7在一端，不妨为2,A旦C，9"形式，若4=3,则5=2+3（有2种结果相同，矛盾），A=4同理不行，A=5,则6=-1+2+5（有2种结果相同，矛盾），从而A=6,由于7=-1+2+6,由表法唯一知3,4不相邻,、故只能一1,2,6,3,5,4,①或一1,2,6,4,5,3,②这2种情形，对①：9=6+3=5+4,矛盾，对②：8=2+6=5+3,也矛盾，综上A片6：.k>l.【点睛】关键点睛，先理解题意，是否为可表数列核心就是是否存在连续的几项（可以是一项)之和能表示从1到加中间的任意一个值.本题第二问ZW3时，通过和值可能个数否定&W3；第三问先通过和值的可能个数否定％45,再验证％=6时，数列中的几项如果符合必然是｛-1,2,3,4,5,6)的一个排序，可验证这组数不合题.5.(2022•浙江卷T20)已知等差数列｛4｝的首项4=-1,公差d>l.记｛4｝的前〃项和为S“(〃eN*).(1)若S4-2a2a3