数学高考真题卷-全国1理数（含答案解析）

1.2018年普通高等学校招生全国统一考试•全国I卷(理科数学)一、选择题:本题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的..设z喘+2i,则|z|=A.OB.-C.1D.V22.已知集合4={x"-x-2刈，则A.{x\-1<x<2} B.{x|-1W后2}C.{x|x<T}U{x/x>2} D.{x| -1}U{x/x22}.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如图所示的饼则下面结论中不正确的是A.新农村建设后,种植收入减少B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半.记4为等差数列{a}的前"项和.若3W=S+S,a=2,则m=A.-12 B.-10C.10D.12.设函数f(x)=£+(a-l)八ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=F(x)在点(0,0)处的切线方程为A.y=~2xB.y=-xC.y=2xD.y=x.在优中,AD为6c边上的中线,E为的中点，则方=K,-AB-AC B.-AB-AC4 4 4 4

C.-AB^-AC7.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点“在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从材到N的路径中，1 || |最短路径的长度为A.2V17B.2V5C.3 D.2.设抛物线C:y=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为:的直线与C交于机V两点，则丽•FN=.已知函数f(x)号之g(x)=fB+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是(.lnx,x>U,A.[-1A.[-1,0)C.[C.[T,+8)d.n,+8).如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形4优的斜边BC,直角边AB,AC. 肉的三边所围成的区域记为I,黑色部分记为〃，其余部分记为处在整个图形中随机取一点，此点取自I,〃，勿的概率分别记为肉则D.pi-pi+ps.已知双曲线。为坐标原点,F为c的右焦点,过尸的直线与c的两条渐近线的交点分别为也'若△a%v为直角三角形,贝H河=C.2V3.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面。所成的角都相等,则。截此正方体所得截面面积的最大值为二、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.

lx-2y-2^0,.若x,y满足约束条件,.y+1>0,则z=3户2y的最大值为 .lyW0,.记S为数列｛a,,｝的前〃项和.若S=2a.+1,则&=..从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.（用数字填写答案）.已知函数/U）=2sinA+sin2x,则f（x）的最小值是三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.（一）必考题:共60分..（12分）在平面四边形ABCD中,乙四俏90°,N/=45°,AB=2,盼5.⑴求cos/月加；⑵若DC=242,求BC..（12分）如图，四边形ABCD为正方形,£尸分别为AD,6c的中点，以炉为折痕把△WC折起，使点C到达点P的位置,且PF1BF.⑴证明:平面际J■平面叨；⑵求〃与平面ABFD所成角的正弦值..（12分）

设椭圆c：9+/=l的右焦点为区过尸的直线,与C交于46两点，点〃的坐标为(2,0).(1)当/与x轴垂直时,求直线4〃的方程；(2)设0为坐标原点,证明：NOMA=NOMB..(12分)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为0(05<1),且各件产品是否为不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点小(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的R作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为％求以；(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验？.(12分)已知函数/'(x)上一户alnx.(1)讨论f(x)的单调性;⑵若/Xx)存在两个极值点用,及,证明:号等『2.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分..［选修4":坐标系与参数方程］(10分)在直角坐标系X。中，曲线G的方程为y^kx\+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为0，20cos"3=0.(1)求C的直角坐标方程；(2)若G与G有且仅有三个公共点,求G的方程..［选修4~5:不等式选讲］(10分)已知f(%)=|a+1I-|ax-11.(1)当炉1时，求不等式/•J)>1的解集；(2)若xd(0,1)时不等式fgx成立,求a的取值范围.12345678910111213141516CBABDABDCABA6-63163>/321.C【考查目标】本题主要考查复数的运算与复数的模的概念，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力,考查的核心素养是数学运算.【解析】通解因为zW^+2i-,£*,、+2i=-i+2i=i,所以|z|=l,故选C.优解因为z,+2iW)聿,所以|z|=|筌鼎著1,故选C.1+1 1+1 1+1 1+1 |1+1|V2【方法总结】求解此类问题需过两关:一是“运算关”，即熟练掌握复数的四则运算,对复数能准确快速地进行加法、减法、乘法与除法运算;二是“概念关”，明晰复数的相关概念及结论,如本题若能利用结论却用可提升求解速度.Z2㈤2.B【考查目标】本题主要考查集合的补集运算、解一元二次不等式等，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.【解析】通解/={x/(x-2)(x+1)刈={x/x<T或x>2},所以Cr4={x/T〈xW2},故选B.优解因为/Mx/V-x-2刈，所以CM={x/xZ-x-2W0}={x/-1W启2},故选B.【方法总结】求解此类题的关键:一是会化简集合;二是借形解题，有关集合的补集、交集、并集问题,需深刻理解集合的相关概念,通过观察集合之间的关系，借助数轴寻求元素之间的关系，使问题直观准确地得到解决.3.A【考查目标】 本题主要考查以实际生活为背景的统计知识等，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是数学运算、数据分析.【解析】通解设建设前经济收入为a,则建设后经济收入为2a,则由饼图可得建设前种植收入为0.6a,其他收入为0.04a,养殖收入为0.3a.建设后种植收入为0.74a,其他收入为0.la,养殖收入为0.6a,养殖收入与第三产业收入的总和为1.16a,所以新农村建设后,种植收入减少是错误的.故选A.优解因为0.6<0,37X2,所以新农村建设后,种植收入增加,而不是减少,所以A是错误的.故选A.【误区警示】审题时若没有注意到建设后农村的经济收入翻番,而直接观察饼图进行比较,就会得到错误的选项.

4.B【考查目标】本题主要考查等差数列的通项公式与前〃项和公式，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.【解析】通解设等差数列｛a｝的公差为d/3W=S+S,.：3(3团殁4掰a若d解得d=-沐：,团=2,."=-3,二国=&掰</之尚X(-3)=T0.故选B.优解设等差数列｛4｝的公差为d,:3£=£母，.：3S=S-&+£+&,.：*&-&,.：3团强d=draH,."=-3,.：8=aiM<7=2*4X(-3)=T0.故选B..D【考查目标】 本题主要考查奇函数的定义、导数的几何意义，考查运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.【解析】通解因为函数f｛x)4+(2-1)/为”为奇函数,所以F(-x)=-/(*),所以(-x)s+(aT)(-x)2+a(-x)--[x+(aT)x+ax],所以2(aT) 因为xGR,所以a=l,所以f｛x)=x+x,所以/(*)=3x2+1,所以f'(0)-1,所以曲线片/1(*)在点(0,0)处的切线方程为y=x.故选D.优解一因为函数f(x)nfMa-Df+ax为奇函数，所以f(-l)”⑴电所以-1+aT-a+(l+aT+a)4),解得a=l,所以ZU)=Hx,所以r(x)所以'(0)=1,所以曲线y=F(x)在点(0,0)处的切线方程为y-x.故选D.优解二易知f(jd=x+(a-l)x+ax=x\_x*(a-l)x+a\,因为f(x)为奇函数,所以函数g(x)4+(a-Dx+a为偶函数,所以a-1丸解得a=l,所以f(x)=R+x,所以f'(x) 所以/''(())=1,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.故选D.【方法总结】破解此类题的关键:一是活用奇函数的定义,寻找关于参数的方程,若能用特殊代替一般,如优解一,则可快速求出参数的值;二是会利用导数的几何意义,求曲线在某点处的切线方程..A【考查目标】 本题主要考查平面向量的线性运算，考查考生的化归与转化能力、数形结合能力、运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.【解析】选A.通解【解析】选A.通解如图所示，而丽痂上而△丽gx；(彳至瓶)^-(AB^AC)^AB-AC,故2 2 2 2 2 4 4优解前夕豆-荏4豆工而领=短(同瓶)"血a尼，故选a.2 2 2 4 47.B【考查目标】本题主要考查三视图、空间几何体的直观图、最短路径，考查考生的空间想象能力、运算求解能力，考查的核心素养是数学建模、直观想象、数学运算.【解析】由三视图可知,该几何体为如图①所示的圆柱,该圆柱的高为2,底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图,如图②所示,连接网；贝k始之,SNA则从"到、的路径中,最短路径的长度为7Ms2+SN2R22+42之遥.故选B.M M SN 图②【方法总结】求解以三视图为背景的空间几何体上的两点间的最短路径问题的关键是过好双关：一是还原关,即利用“长对正,宽相等,高平齐”还原出空间几何体的直观图;二是转化关,即把空间问题转化为平面问题去解决.8.D【考查目标】本题主要考查直线与抛物线的位置关系、平面向量的数量积运算，考查数形结合能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解析】通解过点(-2,0)且斜率为;的直线的方程为六＜(*+2),由卜=式"+2)，得/_5*幽=0,\y2=4%,解得x=l或X4所以g二；'或「二:'不妨设Ml,2),M4,4),易知尸(1,0),所以询=(0,2),丽=(3,4),所以前•FN=8.故选D.优解过点(-2,0)且斜率为;的直线的方程为yg(广2),由卜=3(X+2)，得f~5x掰丸设3 3 1y2=4x,Mxi,yi),Mx2,⑸，则A电必电根据根与系数的关系，得xix-2=4.易知尸(1,0),所以丽=(小-,%),而=(xzT,㈤，所以bM,fW-(xi-l)(x2-l)+yiy2-xiX2-(xi-f-X2)+1司七力^8=8.故选D.【方法总结】破解此类题的关键:一是会用点斜式写出直线的方程;二是会联立方程,求出直线与抛物线的交点的坐标;三是会用公式,即会利用平面向量的数量积的坐标公式求出平面向量的数量积..C【考查目标】本题主要考查分段函数的零点，考查考生的化归与转化能力、数形结合能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.【解析】函数g(x)=f(x)+x+a存■在2个零点，即关于X的方程f(x)=-x-a有2个不同的实根,即函数F(x)的图象与直线y=-x-a有2个交点，作出直线y=-x-a与函数/'(x)的图象,如图所示，由图可知，-a〈l,解得a2T,故选C.【方法总结】破解此类题的关键:一是会转化,先把函数的零点问题转化为方程的根的问题,再转化为两个函数图象的交点问题;二是会借形解题，即作出两函数的图象,数形结合可快速找到参数所满足的不等式,解不等式即可求出参数的取值范围..A【考查目标】本题主要考查几何概型，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解析】通解设直角三角形力叫的内角44C所对的边分别为a,6,c,则区域I的面积即的面积,为S^bc,区域H的面积乂台尸白贝&+»给+bc=bc,所以2 2222228 22S=S,由几何概型的知识知p\=p>,故选A.优解不妨设△力勿为等腰直角三角形,AB=AC2则BC2T1,所以区域I的面积即回的面积,为Sfx2X22,区域I[的面积W=“XI2-[^^-2]-2,区域力的面积$卫察-2E-2.根据几何概型的概率计算公式,得n.=1，三,所以讪丰出+m，故选A.n+2 n+2.B【考查目标】本题主要考查双曲线的几何性质、直线与直线的位置关系，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解析】因为双曲线9-/=1的渐近线方程为X当,所以/加!忙60°.不妨设过点尸的直线与直线交于点M,由△6MV为直角三角形,不妨设/的册90:则/奶％60°,又直线,脏过点H2,0),所以直线,恻的方程为尸二后(x-2),由、,_百()得[K所以"|，争，所以/〃"/=J(|)2+(F)2=后所以J/VV3/加/=3,故选3X， V—2,B.【方法总结】破解此类题的关键:一是会“用图”，即根据图形的特征,寻找转化的桥梁,如本题，观察图形,快速寻找直角三角形中直角的位置;二是运算准确,求解圆锥曲线试题运算要准确.12.A【考查目标】本题主要考查直线与平面所成的角、截面面积的最值,考查考生的化归与转化能力、空间想象能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.【解析】 记该正方体为｛即正方体的每条棱所在直线与平面。所成的角都相等,即共点的三条棱A%A'B',A与平面a所成的角都相等.如图,连接AB\AD',B，D，,因为三棱锥A'-48'〃'是正三棱锥,所以4'4力与平面46'〃'所成的角都相等.分别取CD',B'C',BB\AB,AD,如'的中点E,F,G,H,I,工连接EF,FG,GH,IHJJ,JE,易得E,F,G,H,I,J六点共面,平面好幽/与平面46'〃'平行,且截正方体所得截面的面积最大.又EF=FG=GH=IH=I尸JE*,所以该正六边形的面积为6邛^(当尸岑，所以。截此正方体所得截面面积的最大值为苧,故选A.D'EC'它I 1/AHR(易错警示】本题在寻找截面面积的最大值时，易误以为截面4?'〃’的面积最大,从而误选D.为避免出现此类错误，不仅需要考生提升空间想象能力，还需要考生掌握正方体的截面可能是三角形、四边形、五边形、六边形.13.6【考查目标】本题考查简单的线性规划，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解析】作出可行域为如图所示的纪所表示的阴影区域，作出直线3x6yF,并平移该直线，当直线过点4(2,0)时，目标函数2y取得最大值,且z皿WX2+2X0W.【方法总结】作二元一次不等式组表示的平面区域的方法:直线定边界，分清虚实;选点定区域，常选坐标原点.求线性目标函数的最值的一般步骤:一画、二移、三求，关键是准确作出可行域，准确理解目标函数Z的几何意义.-€3【考查目标】 本题主要考查数列的前〃项和与通项公式之间的关系、等比数列的前〃项和公式，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解析】通解因为S2&+1,所以当〃=1时,解得a=T;当n=2时，a为2之生+1,解得32--2;当n=3时，小+氏+出=2改+1、解得a二Y;当n=4吐国%2依上&=2d+1,解得at--8;当/7=5时，a七29出&也=2&+1,解得®=T6;当n=&时，a产出依上国七5七6之戈+1,解得as--32.所以^-1-2-4-8-16-32^-63.优解因为S依an+1、所以当〃可时，aHa产1,解得团二T,当〃22时,（2/_产1）,所以所以数列｛&｝是以T为首项,2为公比的等比数列，所以aX,所以&半用-63.【方法总结】求解本题的关键是公式a4吃彳=的应用.16【考查目标】本题主要考查排列组合，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解析】通解可分两种情况:第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有的鬃=12（种）；第二种情况,有2位女生入选,不同的选法有第最N（种）.根据分类加法计数原理知,至少有1位女生入选的不同的选法有16种.优解从6人中任选3人,不同的选法有瑞之0（种），从6人中任选3人都是男生,不同的选法有日乜（种），所以至少有1位女生入选的不同的选法有20/=16（种）.【考查目标】本题主要考查三角函数的最值，导数的应用，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力,考查的核心素养是数学运算.【解析】解法一因为r（x）2sinX飞in2乂所以f'(MNcosx+2cos2xNcos—f2cos 2r4(cosx-^)(cosx+1),由f'(x)20得：Wcos 即2kgkUL,由F'(x)<0得T〈cos启条即2kB+jt 片或2kw-n2kbqkGZ,所以当X±keW(4£Z)时,F(x)取得最小值，且F(A)min=F(24n-^-):=2sin(2Ang)依in2(2AnW)=一手.解法二因为/*(x)=2sinx-^sin2x=2sinx(14os%)^4sin-cos-•2cos"-^8sin-cos-^t=/3sin2-cos6 ~~/3sin2-cos6-,2 2 2 2 2V32 2V3y)2 2所以"(x)]2《X3si嗓。s亨(把工产0)号当且仅当3sin丝-cos;即sin丝上时取等号，2 2 24所以0<"(x)]拳所以当£f(*)w喙所以/"(X)的最小值为-苧.解法三因为F(x)之sin"sin2产2sinx(l代osx},所以[F(x)]2Nsin'x(1Tteosx)‘乂(Iposx)(1A:osx)\设cosx=t,则尸4(1H)(l+t)3(-lWWl),所以yWIl用§用(―/(I域2]乂(1增2(2/),所以当-lag时,y'X;当*<1时,y'e.所以函数yN(l-t)(l攵)"TWtwl)在(-1,今上单调递增，在$1)上单调递减，TOC\o"1-5"\h\z所以当港时,％x岑;当t-±\时,为„女2 4所以即0<"(x)所以上W^4 4 2 2所以7"(*)的最小值为-警.解法四因为f(x)=2sinx-^sin2产2sinx(1Tteos6,所以"(M^Nsin'd女。sMd-cosx)(l加。s •[3(1-<：皿)+(-1+叩)+(1+由)丁*3 4 4当且仅当3(1posx)-1A:os乂即cosx/时取等号，

所以0<"（x）]2忘学所以考<F（x）〈苧，所以/Xx）的最小值为-苧.17.【考查目标】本题考查正弦定理、余弦定理、特殊角的三角函数值，考查考生的数形结合能力、化归与转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算、直观想象.【解题思路】（1）在4加中,利用正弦定理,求出sinNADB,利用大边对大角,判断出N4"的取值范围,再利用同角三角函数的基本关系,求出cos乙⑵利用⑴的结果,求出cosN加C的值,再利用余弦定理即可求解.【解析】（1）在△/!劭中，由正弦定理得bd-项.smZ4s\nZADB由题设知,5sin45°由题设知,5sin45°_ 2sinZADB由题设知，N°,所以cosN40Tl-检聋.（2）由题设及（1）知，cos/初C=sinN/游史.在ABCD中,由余弦定理得Bd=Blf+DC~2•BD•DC，cosNBDC25用-2X5X2夜xg-25.所以605.【方法总结】求解此类问题的突破口：一是观察所给的四边形的特征,正确分析已知图形中的边角关系,判断是用正弦定理,还是用余弦定理,求边或角；二是注意大边对大角，在解三角形中的应用.18.【考查目标】本题主要考查平面与平面的垂直关系及线面角,考查考生的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.【解题思路】（1）欲证平面必尸J_平面ABFD,只需证明身U平面PEF,只需在平面期内寻找两条相交直线与直线跖垂直；（2）建立空间直角坐标系,求出平面4身力的法向量与直线”的方向向量，利用线面所成角的向量公式,即可得明与平面]眄所成角的正弦值.【解析】⑴由已知可得,阴母工体所以mL平面物；：又BFu平面ABFD、所以平面月%_1_平面ABFD.

（2）作恒能垂足为〃由（1）得,物L平面48叨.以〃为坐标原点，丽的方向为y轴正方向，石P/为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz.由⑴可得,DE1PE.又DP=2、DEA,所以PE忐.又PFAEF2故PEA.PF.可得P吟,照.则”（0,0,0）,尸（0,0,y）,2）（-1,go）, 争,乔=（0,0,争为平面曲》的法向量., , 3设"7与平面4?/力所成角为"，则sinI=儒温/场当所以分与平面4身”所成角的正弦值为【误区警示】求线面角的易错点:一是求平面的法向量出错,应注意点的坐标的求解的准确性;二是公式用错,把线面角的向量公式与二面角的向量公式搞混,导致结果出错.注意，线面角的取值范围为[0°,90°]..【考查目标】本题考查椭圆的标准方程及其简单性质、直线与椭圆的位置关系、证明等角，考查考生的推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.【解题思路】（1）先求出椭圆C：?+炉=1的右焦点尸的坐标，由于/与x轴垂直，所以可求出直线/的方程,从而求出点A的坐标,再利用直线方程的两点式,即可求出直线4〃的方程；（2）对直线1分三类讨论:当直线/与x轴重合时,直接求出〃磔0°.当直线/与x轴垂直时，可直接证得Z0MA=Z.0MB.当直线1与x轴不重合也不垂直时,设1的方程为y=k[x-\]（A^O）,J（xi,y），B（x%刑）,利用斜率公式表示出以％叫把直线/的方程代入椭圆C的方程，消去y转化为关于）的一元二次方程,利用根与系数的关系即可证明kuA+k康内,从而证得/〃阳二/〃监.【解析】（1）由已知得FG,0）,7的方程为x=l.由己知可得，点｛的坐标为（1,争或（1,号）.所以加的方程为y/或y^-x^/2.⑵当/与x轴重合时，NOMA=ZOMB=G0.当/与x轴垂直时，为49的垂直平分线,所以NQ朋=/0地.当/与x轴不重合也不垂直时，设/的方程为y=%（xT）（丘0）"（汨,必），6（打必）,则X、<近,X2<V2,直线也,"的斜率之和为""的啜合.由y\=kx\-kyy2=kx2-k得2/cx1x2-3/c(x1+x2)4-4/c(Xf2)(X2-2)将y=4(xT)代入得(2〃+1)/-4〃*+2〃-2-0.2k2-2X\X2=^—.2k2+12k2+l则2kX\X25(X'+X。M%*E-12k3+8k3+4k从而检+A*0,故MA,奶的倾斜角互补.2k2+l综上，NOMA=NOMB.【方法总结】破解此类解析几何题的关键:一是“图形”引路，一般需画出大致图形，把已知条件翻译到图形中，利用直线方程的点斜式或两点式,即可快速表示出直线方程;二是“转化”桥梁,即会把要证的两角相等,根据图形的特征,转化为斜率之间的关系,再把直线与椭圆的方程联立,利用根与系数的关系，以及斜率公式即可证得结论..【考查目标】 本题主要考查相互独立事件的概率、随机变量的期望、导数的应用、二项分布、决策型问题等,考查数据处理能力、运算求解能力,考查或然与必然思想,考查的核心素养是逻辑推理、数学建模、数学运算、数据分析.【解题思路】(1)由每件产品为不合格品的概率都为P,结合独立重复试验，即可求出20件产品中恰有2件不合格品的概率f(p),对Ap)求导,利用导数的知识,即可求出f(p)的最大值点R,注意p的取值范围；(2)(i)利用(1)的结论,设余下的产品中不合格品的件数为匕则V服从二项分布，利用二项分布的期望公式、V与I的关系式求出EX,(ii)求出检验余下所有产品的总费用，再与比较,即可得结论.【解析】(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为/"(0)^^/(17严.因此/'7p)<i0[2p(l-p),8-18p(l-p)17]=2Cf0P(lT?)17(1-1Op).令f'(p)R,得上0.1.当pw(0,0.1)时,f'(p)R;当pw(o.i,i)时,y'(p)e.所以Ap)的最大值点为p>=0.1.(2)由(1)知,小。1.(i)令y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知K?&(180,0.1),%20X2+25匕即XN0+25R所以EX=E(4Q+25Y)目0+25罚&190.(ii)如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于£“400,故应该对余下的产品作检验.【方法总结】破解此类题的关键:一是认真读题,读懂题意;二是会利用导数求最值;三是会利用公式求服从特殊分布的离散型随机变量的期望值;四是会利用期望值,解决决策型问题..【考查目标】 本题主要考查导数及其应用、函数的单调性、函数的极值点与不等式的证明等,考查考生的推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.【解题思路】(1)求/Xx)的定义域,对函数f(x)求导,对参数a进行分类讨论,即可判断f(x)的单调性；(2)结合(1),求出/'(x)存在两个极值点打也时a的取值范围，以及击,xz的关系式,并将/a"(八)进行转化,利用分析法,构造函数,判断所构造函数的单调性,即可证得结果.xrx2【解析】 ⑴/U)的定义域为(o,乃=三令.⑴若aW2,则f'(x)W0,当且仅当a-2,x=l时f'(x)丸所以f(x)在(0,+8)单调递减.(ii)若a>2,令f'(x)4)得,T宇或*3笠.当xe(0,竺鲁)U(竺笠，+同时，f，(x)<0;当xe(匕要,竺笠)时,f，(*)以所以f(x)在(0,哼i),(丝要,+8)单调递减,在(竺鲁，丝等i)单调递增.(2)由(1)知,/Xx)存在两个极值点时，当且仅当a>2.由于F(x)的两个极值点xi,也满足x-ax+\=Q,所以x\x2=ly不妨设小<%则x2>l.由于/(x1)-/(xz)__J]^\nxr\nx2 篇吟=_2七生涯Xt-X2XtX2xl'x2 xl~x2 4必，所以f(xD-f(xz)g_2等价于工-用+21n及<0.41一42 x2设函数g(x)上-x+21nX,由(1)知,g(x)在(0,+8)单调递减,又g(i)=ot从而当(1,+8)X时,g(x)<0.所以2-E+21nX2<0,即“xDq-2.必【方法总结】 判断可导函数的单调性的关键:首先,确定函数的定义域;其次,求导数f'（X）；最后,对参数进行分类讨论,由f'（X）刀,得函数/■（*）的单调递增区间，由/•'（X）<0,得函数Mx）的单调递减区间.注意:如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，这些单调区间不能用“U”连接，而只能用“，”或“和”字隔开.有关不等式的证明问题可利用分析法与综合法相结合去解决.【真题互鉴】本题来源于2011年湖南文科数学第22题:设函数/"（x）=x2-alnx（aGR）.X（1）讨论函数f（x）的单调性.⑵若/U）有两个极值点汨，热,记过点力（小，/（小）），以及,的直线的斜率为★.问：是否存在a,使得A=2-a?若存在，求出a的值;若不存在,请说明理由.2018年的全国1卷的第21题只是把20