2022-2023学年人教版九年级数学专题《旋转》经典基础题《旋转中的规律问题》含答案解析

专题旋转经典基础题三：旋转中的规律问题一、单选题1．（2022·河南郑州·九年级期末）如图是两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋转，第一次旋转后得到图①，第二次旋转后得到图②，…，则第次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（

）A．图① B．图② C．图③ D．图④【答案】B【分析】探究规律后利用规律解决问题即可．【详解】观察图形可知每4次循环一次，，∴第2022次旋转后得到的图形应与图②相同，故选：B．【点睛】本题考查中心对称、旋转变换，规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律利用规律解决问题．2．（2020·浙江·九年级期末）如图，在矩形中，已知，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右旋转至图①位置，再绕右下角的顶点续向右旋转至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2020次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可．【详解】解：，，，转动一次的路线长是：，转动第二次的路线长是：，转动第三次的路线长是：，转动第四次的路线长是：0，以此类推，每四次循环，故顶点转动四次经过的路线长为：，，顶点转动四次经过的路线长为：．故选：B．【点睛】本题主要考查了探索规律问题和弧长公式的运用，掌握旋转变换的性质、灵活运用弧长的计算公式、发现规律是解决问题的关键．3．（2022·山东德州·九年级期末）如图，直线与x轴、y轴分别相交于点A、B，过点B作，使，将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2021次旋转结束时，点C的对应点落在反比例函数的图象上，则k的值为（

）A． B．4 C． D．6【答案】D【分析】过点作⊥x轴于点H，根据旋转的性质可知旋转4次一个循环，进而可得第2021次旋转结束时，点C的坐标落在的位置，求出的坐标即可求出k．【详解】解：如图，过点作⊥x轴于点H，∵绕点O顺时针旋转，每次旋转，发现规律：旋转4次一个循环，∴2021÷4＝505……1，则第2021次旋转结束时，点C的坐标落在的位置．∵直线与x轴、y轴分别相交于点A、B，∴A（-1,0），B（0,1）∴OA＝OB＝1，∴∠ABO＝∠BAO＝45°，∵∠AOB＝90°，∴BA=，=2∴∵∠ABO＝45°，⊥x轴∴∴∴OH=3∴把代入，解得k=6故选：D．【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转、规律型﹣点的坐标，待定系数法求反比例函数的解析式，解决本题的关键是根据旋转的性质发现规律，总结规律．二、填空题4．（2021·广东·深圳市南山区第二外国语学校（集团）九年级期末）有两个全等矩形纸条，长与宽分别为11和7，按如图所示的方式交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形的周长为_______________．【答案】【分析】先证四边形BGDH为平行四边形，再证BG=BH，然后由勾股定理求BＧ，四边形BGDH的周长=4BH即可．【详解】由题意得矩形矩形，，∴四边形是平行四边形，∴平行四边形的面积，，∴四边形是菱形，．设，则．在中，由勾股定理得，解得，∴四边形的周长．【点睛】本题考查四边形的周长问题，关键是证四边形BGDH为菱形，用勾股定理求BH，掌握矩形的性质，菱形的性质与判定，会用勾股定理解决问题．三、解答题5．（2021·河北保定·九年级期末）随着科学技术的发展，机器人早已能按照设计的指令完成各种动作．在坐标平面上，根据指令[S，α]（S≥0，0°＜α＜180°）机器人能完成下列动作：先原地顺时针旋转角度α，再朝其对面方向沿直线行走距离s．（1）如图，若机器人在直角坐标系的原点，且面对y轴的正方向，现要使其移动到点A（2，2），则给机器人发出的指令应是什么；（2）机器人在完成上述指令后，发现在P（6，0）处有一小球正向坐标原点做匀速直线运动，已知小球滚动的速度与机器人行走的速度相同，若忽略机器人原地旋转的时间，请你给机器人发一个指令，使它能最快截住小球．（如图，点C为机器人最快截住小球的位置，角度精确到度；参考数据：sin49°≈0．75，cos37°≈0．80，tan37°≈0．75）【答案】（1）[2，45°]；（2）[2.5，98°]．【分析】（1）求出∠AOB与OA的大小即可得解；（2）作AC=PC，设PC=x，则BC=4-x，根据勾股定理可以求得PC的值，然后根据锐角三角函数的定义可以得到∠DAC的值，从而得到答案．【详解】解（1）作AB⊥x轴，∵A（2，2），∴OA=2，∴∠AOB=45°，∴给机器人发的指令为：[2，45°]；（2）作AC=PC，设PC=x，则BC=4-x，在Rt△ABC中：，解得x=2.5，又∵tan∠BAC=，∴∠BAC=37°，∵∠OAB=45°，∴∠OAC